邢家省， 楊小遠

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 北京　100191；2.數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京　100191)

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廣義菲涅爾積分的積分交換次序計算方法

邢家省1，2， 楊小遠1，2

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 北京100191；2.數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191)

考慮兩無窮區(qū)間上積分交換次序定理的充分條件，經典定理的充分條件要求函數(shù)在二重無界區(qū)域上絕對可積，這個條件太強，將經典的二重廣義積分的絕對可積條件換成積分的內閉一致收斂性條件，得到數(shù)學分析中應有的廣泛條件下的兩積分交換次序結果。利用廣泛條件下的兩積分交換次序定理，對廣義菲涅爾積分計算中的積分可交換次序給出了一般性證明方法，統(tǒng)一了相關廣義積分的計算問題，溝通了不同方法之間的內在聯(lián)系，給出的方法簡單直接。

菲涅爾積分；廣義菲涅爾積分；含參變量廣義積分；內閉一致收斂性；兩無窮區(qū)間上的積分交換次序定理

兩無窮區(qū)間上的積分交換次序定理[1-12]是數(shù)學分析中的重要經典結果，文獻[1-8，12]給出了兩無窮區(qū)間上積分可交換積分次序的充分條件和證明過程。然而此經典定理在使用中非常不方便，對許多二元函數(shù)實施積分交換次序時不能直接套用，有時只能間接的在兩任意內部區(qū)間上套用[2,5,7-10]，然后再通過對變動區(qū)間上的積分取極限[2,5,7-10]。經典定理的充分條件要求二元函數(shù)在二重無界區(qū)域上絕對可積[1-8]，這個條件也相當苛刻，一些常見函數(shù)也不滿足此條件，也只能間接使用，然后采用其他復雜的解決辦法[2,5,7-10]。這就必然導致要對經典的積分交換次序條件進行改進[2,5,7-14]，在廣泛的充分條件下給出積分交換次序定理的結果，得到數(shù)學分析中最好的理論表現(xiàn)形式，并且在導出好的結果的過程中完全是利用數(shù)學分析自身已有的理論方法，利用新的表述結果可以更方便于解決一批函數(shù)的積分計算問題。以理論先進的形式傳播，達到數(shù)學分析學中應有的理論高度，構成一般性的處理方法。

1　無窮區(qū)間上積分交換次序定理的經典充分條件及其局限性

定理1[1-7](無窮區(qū)間的積分交換次序)設函數(shù)f(x,u)在[a,+∞)×[α,+∞)上連續(xù)，如果滿足下列條件：

定理1是標準數(shù)學分析中的經典結果，文獻[1-7]中對定理1的敘述和證明過程都是此條件。定理1中充分條件(1)是包含端點的半內閉一致收斂性條件，這是不必要的，完全可以改為不含端點的真正內閉一致收斂性條件；定理1的條件(2)是二元函數(shù)在無界區(qū)域上的絕對可積條件，此條件相當苛刻，對許多函數(shù)不能直接套用此定理。在內部區(qū)間上間接的使用[2,5,7-8]，然后采用再取極限的辦法，這是相當繁瑣的?？梢詫⒍ɡ?中的條件(1)和條件(2)改進為一般形式，得到好的一般結果形式，新的結果更方便于使用。

2　函數(shù)列積分的極限理論結果

定理2[1-4]設{fn(x)}是[a,b]上的黎曼可積函數(shù)列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。則有：

(1)f(x)在[a,b]上黎曼可積；

定理3[1-4]設{fn(x)}是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。則有：

(1)f(x)在[a,b]上連續(xù)；

定理4的區(qū)間(a,b)可為有限區(qū)間，也可為無限區(qū)間。定理4常被使用的情形是控制收斂定理。

如果滿足：

(1)對任意b>B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)；

定理5的區(qū)間(a,b)可為有限區(qū)間，也可為無限區(qū)間。

如果滿足：

(1)對任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)；

定理4、5、6雖然是以函數(shù)列的極限形式敘述的，但完全可以寫出其他極限形式的相應結論[1-4]。

3　無窮區(qū)間上積分交換次序的充分條件的改進結果

結論得證。

定理8設函數(shù)f(x,u)在[a,b]×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足條件：

定理9設函數(shù)f(x,u)在[a,b]×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足條件：

定理10設函數(shù)f(x,u)在[a,b]×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足條件：

定理11(無窮區(qū)間上的積分交換次序)設函數(shù)f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足下列條件：

從而

故

定理12[8,12](無窮區(qū)間上的積分交換次序)設函數(shù)f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足下列條件：

顯然定理11和定理12的條件比定理1的條件廣泛自然，也就是定理11和定理12的結果優(yōu)于定理1的結果，應該采用定理11或者定理12去替代定理1，數(shù)學分析中的積分交換次序定理應該以定理11或定理12的結果為最終形式，此結果完全是利用數(shù)學分析自身已有的理論方法，證明過程沒有增加任何困難。定理11或定理12的充分條件，在實際應用中非常方便于驗證，減少了解決問題的難度，使用范圍廣泛。定理11或定理12的結果，達到了數(shù)學分析中應有的理論高度。

一般地，對(a,b)×(c,d)上的積分交換次序定理的充分條件類似的可以給出，這里下限a,c可以是有限的或為-∞，上限b,d可以是有限的或為+∞。

4　Dirichlet積分的簡便計算方法

(1)

需證明成立：

(2)

在(2)式成立的情況下，可得到

(3)

故

(4)

在(4)式兩端，令b→+∞，取極限，則得

(5)

在(5)式兩端，令a→0+，取極限，則得(2)式成立。

5　廣義菲涅爾積分計算中的積分交換次序的一般方法

(6)

可以證明成立[2,5-7]：

(7)

在(7)式成立的情況下，可得

故有

其中利用了貝塔函數(shù)的性質[1-3]和Γ函數(shù)的余元公式[1-3]。

證明(7)式成立：

(8)

H(a,y)-H(b,y)

F(a,b,y)=g(y)H(a,y)-g(y)H(b,y)

利用黎曼積分下的積分收斂定理，于是有

在(8)式兩端令b→+∞,a→0+，取極限，得到成立

故(7)式得證。

(9)

注意到

利用定理14的結果，可以再次得到

定理15[2,5-7]設0<λ<1，則有

證明利用分部積分和定理14的結果，得

定理16[2,5-7]設p>1，則有

用類似于證明(7)式的方法，同理可證成立

(10)

利用(10)式，可以得到：

定理17[2,5-7]設α>0,0<λ<1，則有

定理18[2,5-7]設p>1，則有

6　一類Euler積分公式及其應用

從而

x∈[0,1]

對-1

λcos(λtsinα)sinα]dt=

定理20的結果得證。

定理22[2,15]設k>0,-1<λ<1，則有

(11)

(12)

用類似于證明(7)式的方法，可以證明成立：

(13)

于是

在

于是

定理23[2,15]設k>0,0<λ<1，則有

(14)

利用(14)式，可得

并利用Euler公式

(sinα)λΓ(λ)cosλα

于是，

Γ(1-λ)Γ(λ)(sinα)λcosλα=

F(0)=2π

sin(usinx)sinx]dx=

[1] 常庚哲,史濟懷.數(shù)學分析教程(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2003.

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[15] 華羅庚,著.王元,校.高等數(shù)學引論(第三冊)[M].北京:科學出版社,2009.

CalculationofIntegralsExchangeofGeneralizedFresnelIntegrals

XING Jiasheng, YANG Xiaoyuan

(1.SchoolofMathematicsandSystemsScience,BeihangUniversity,Beijing200191,China;2.LMIBoftheMinistryofEducation,BeihangUniversity,Beijing100191,China)

Consideredthesufficientconditionofexchangetheoremofintegralsequencewithintwoinfiniteinterval,sufficientconditionofclassicaltheoryisverystrongwhichrequirefunctionabsolutelyintegrableintwiceunboundedintervals.Iftheabsolutelyintegrableconditionofclassictwiceintegralintointernaluniformconvergenceofintegralischanged,theresultoftwiceintegralexchangingsequencewithinreasonablegeneralizedconditionofmathematicalanalysisisgained.Usedtheexchangetheoremofintegralsequencewithinthegeneralizedcondition,thegeneralproofofintegralsexchangeofthegeneralizedFresnelintegralwhichunifythecalculationofgeneralizedintegralsisgiven.Furthermore,thismethodcanimprovetheefficiencyofcalculation.

Fresnelintegrals;generalizedFresnelintegrals;generalizedintegralcontainedparameters;innercloseuniformlyconvergence;integralsexchangetheoremoninfiniteinterval

2015-11-22

國家自然科學基金資助項目(61271010)；北京航空航天大學校級重大教改項目(201401)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn;

楊小遠(1964-)，女，遼寧沈陽人，教授，博導，主要從事應用調和分析、圖像處理方面的研究，(E-mail)xiaoyuanyang@buaa.edu.cn

1673-1549(2016)03-0085-08

10.11863/j.suse.2016.03.18

O177.2

A