對一類特殊的橢圓焦點三角形的研究

孫　延

(四川省富順縣第二中學，643200)

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對一類特殊的橢圓焦點三角形的研究

孫延

(四川省富順縣第二中學，643200)

證明如圖1,以F1F2為直徑作圓,記該圓與橢圓的交點為P，則該圓的半徑c與橢圓的短半軸b滿足c≥b．

∵橢圓的離心率e∈(0,1)，

兩邊同除以面積平方，得

∴S′=

得證.

三角形有4個．

性質1在直焦點三角形F1PF2中,

|PF1||PF2|=2b2．

證明在?F1PF2中,由余弦定理，可得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2

=(|PF1|+|PF2|)2

-2|PF1||PF2|.

∴(2c)2=(2a)2-2|PF1||PF2|，

化簡得|PF1||PF2|=2b2．

性質2直焦點三角形面積S=b2．

=b2.

性質3設頂點P的坐標為(xP,yp),則有

證明在?F1PF2中,不妨設∠PF1F2=α,則

2csin α=|PF1|,

2ccos α=|PF2|,

2c(sin α+cos α)

=|PF1|+|PF2|=2a,

現(xiàn)利用以上結論解決引例中的問題:

設∠OF1P=α,由性質4可知離心率