三角形中與海倫公式類似的兩個公式

朱廣軍

(山東省微山縣第一中學(xué)，277600)

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三角形中與海倫公式類似的兩個公式

朱廣軍

(山東省微山縣第一中學(xué)，277600)

在人教版高中數(shù)學(xué)必修5的解三角形中,提到海倫公式,

利用它可以解決已知三角形三邊直接求其面積的問題

這個公式最早出現(xiàn)在海倫的著作《測地術(shù)》中，并在海倫的著作《測量儀器》和《度量術(shù)》中給出證明(據(jù)說這個問題最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決).此公式結(jié)構(gòu)簡單、形式漂亮、便于記憶，堪稱數(shù)學(xué)中的經(jīng)典公式.

在人教版必修5第20頁,給出了三角形中線和高與三邊的關(guān)系等式. 進(jìn)一步研究三角形的中線、高與面積的關(guān)系,可得到了與海倫公式結(jié)構(gòu)形式類似的面積公式

定理1已知?ABC,三邊分別為a,b,c,其對應(yīng)的中線為ma,mb,mc,則?ABC面積

證明如圖1，G為?ABC的重心,延長中線AM于點(diǎn)A′,使GM=MA′.

由三角形重心的性質(zhì)，得

在?A′CG中,由海倫公式，得

S?A′CG=

S?A′CG=

得證.

證明∵aha=bhb=chc=2S，

在?ABC中,應(yīng)用海倫公式，得