n維超平形體的體積比

英起志

（江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，江蘇南通226011）

n維超平形體的體積比

英起志

（江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，江蘇南通226011）

文章給出了n維超平形體體積比的計(jì)算公式，得出了它的漸進(jìn)性質(zhì)，并計(jì)算了部分超平形體的體積比。

n維超平形體；正方體；John橢球；體積比；漸進(jìn)性質(zhì)

在Rn中，我們通常把含有非空內(nèi)點(diǎn)的緊致凸集稱為凸體，多胞形（polytope）是一類基本的凸體，它是由有限個(gè)超平面圍成的凸體。而n-超平形體（n-dimensionalparallelotope）是一種特殊的多胞形，它是2維平行四邊形、3維平行六面體到高維空間的推廣，后者可以分別叫做2-parallelotope和3-parallelotope，超矩形（orthotope）和超正方體（hypercube）都是特殊的超平形體。

凸體的體積比是凸體的重要特征之一，Rn中凸體K的體積比vr（K）定義為

其中ε是包含于K的橢球，vn（K）和vn（ε）分別表示K和ε的體積。1948年，F(xiàn)ritz John在著名的John橢球定理中證明了對(duì)于Rn中的任意凸體都包含體積最大的橢球，被稱為凸體的John橢球。R Howard在文獻(xiàn)［1］中證明了凸體的John橢球是唯一的。如果一個(gè)凸體的John橢球是歐氏單位球，則稱該凸體處于“John位置”，任何凸體都可以在仿射變換的作用下使之處于John位置。R Howard在文獻(xiàn)［1］中還證明了對(duì)于中心對(duì)稱的凸體Cn，存在橢球E（Cn的John橢球），使得

有了John橢球的概念，Rn中凸體K的體積比可以重新定義為

其中εK為凸體K的John橢球。仿射不變性是凸體體積比的重要性質(zhì)。

引理1設(shè)Pn為n維超平形體，則其體積比

證明不失一般性，設(shè)n維超正方體Qn=［-1，1］n，Qn是一個(gè)中心在原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的n維超正方體，其體積vn（Qn）=2n。Qn的 John橢球?yàn)镽n中的歐氏單位球，記為體積比的仿射不變性，vr（Pn）=vr（Qn），又

Keith Ball在文獻(xiàn)［2］中證明了對(duì)于Rn中的所有中心對(duì)稱凸體，n維超正方體的體積比最大。因此，對(duì)于Rn中的任意中心對(duì)稱凸體cn，有。

由體積比的仿射不變性，利用引理1可以求出任意維超平形體（包括超矩形、超正方體）的體積比。此外，結(jié)合體積比的定義，在已知超平形體的體積的條件下，可以求出其John橢球的體積。

定理1設(shè)Pn為n維超平形體，則當(dāng)n→+∞時(shí)，vr（Pn）→+∞，且隨著n的增加，vr（Pn）是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。

證明由引理1和Stirling公式（當(dāng)t→+∞時(shí)，Γ（1+t）～

所以1997年，G.D.Anderson和S.-L.Qiu證明了函數(shù)f（x）=）上單調(diào)遞增，2006年，張素玲等在文獻(xiàn)［3］中將該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間擴(kuò)展到（0，+∞）。下面利用這一重要性質(zhì)，證明當(dāng)n增加時(shí)，vr（Tn）是嚴(yán)格遞增的。

把vr（Pn）看作是關(guān)于n的函數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n＞4時(shí)，它是單調(diào)遞增的。又通過(guò)計(jì)算易知vr（P1）＜vr（P2）＜vr（P3）＜vr（P4）。因此，對(duì)任意的正整數(shù)n，（Pn+1）＞vr（Pn），證畢。

部分n維超平行體的體積比的值見(jiàn)表1。

［1］R Howard.The John ellipsoid theorem［J］.University of South Carolina，1997.

［2］Keith Ball.Volume ratios and a reverse isoperimetric inequality［J］.Journal of the London Mathematical Society，1991，44:351-359.

表1　超平行體的體積比（保留3位小數(shù)）

［3］張素玲，陳超平，等.關(guān)于伽瑪函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)（英文）［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006（04）：50-55.

［4］Keith Ball.Ellipsoids of maximal volume in convex bodies［J］.Geometriae Dedicata，1992，41：241-250.

［5］Keith Ball.Volumes of sections of cubes and related problems［J］.Geometric Aspects of Functional Analysis，1989，13 76:251-260.

［6］John F.Extremum problems with inequalities assubsidiary conditions［M］.Courant Anniversary Volume.New York:Interscie nce，1948：187-204.

［7］英起志.凸體體積比的相關(guān)性質(zhì)［J］.上海大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2008，14（4）：373-376.

A formula was given to calculate the volume ratios of n-parallelotope，the asymptotic property of the volume ratios was observed，and some values of volume ratios of n-parallelotope were calculated.

n-parallelotope；hypercube；John ellipsoid；volume ratio；asymptotic property

O186.5

A

2096-000X（2016）22-0253-02

英起志（1983-），男，江蘇連云港人，江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，數(shù)學(xué)教研室主任，講師，碩士，研究方向?yàn)楦呗殧?shù)學(xué)教學(xué)、凸體幾何。