血液流速的微分方程模型

刁菊芬

摘 要： 本文通過對(duì)血管內(nèi)血液流速分布情況的分析，認(rèn)真研究了血液流速與血管半徑的關(guān)系，然后根據(jù)生理學(xué)原理建立了微分方程模型，并對(duì)該模型進(jìn)行了求解。

關(guān)鍵詞： 微分方程 模型 血液流速

1.問題分析及基本假設(shè)

根據(jù)生理學(xué)可知，人體不同部位的血管粗細(xì)是不一樣的，所以不同部位的血液流速也是不相等的。并且同一段血管內(nèi)，管壁處的血液流速與血管管軸處的流速是不相同的。圖1是血管和及流動(dòng)血液的縱剖面，當(dāng)血液從管壁移向管軸時(shí)，流動(dòng)速度逐漸增加。那么，人體內(nèi)血液的流動(dòng)速度與血管粗細(xì)之間具體關(guān)系可以怎么表示呢？為了便于研究，需要做如下假設(shè)：

（1）設(shè)血液在血管中的流動(dòng)是穩(wěn)定流動(dòng)的（即流動(dòng)速度與時(shí)間無關(guān)，只與位置有關(guān)）；

（2）設(shè)血管的半徑R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)（R比L小得多）；

（3）血液流動(dòng)的速度為V；

（4）血液的黏滯度為常數(shù)η；

（5）單位長(zhǎng)度的血管，左端血壓力為P，右端血壓力為P（P>P）。

2.模型建立

由于各層流體運(yùn)動(dòng)速度不同，之間產(chǎn)生摩擦力，則上層液體促使下層液體運(yùn)動(dòng)，同時(shí)下層液體延緩上層液體的運(yùn)動(dòng)?？梢栽O(shè)想血液中平放著一塊面積為A的平板，根據(jù)黏滯流體動(dòng)力學(xué)知識(shí)，作用于面積A上的力F等于ηA。

利用微元法，現(xiàn)對(duì)血液中的部分血液（看成空心圓柱體狀，長(zhǎng)度為一個(gè)單位）的流動(dòng)速度進(jìn)行討論，此空心圓柱的內(nèi)半徑為r，圓柱的厚度為dr，設(shè)它的軸與血管的軸相重合（如圖2）。圓柱的內(nèi)表面面積為2πr，上面受到的力為F=η·2πr。

該力方向與血液運(yùn)動(dòng)方向相同，圓柱的外表面上受到相反的力的作用，

F=η·2πr-d（η·2πr）

因而兩力之和（摩擦力）為：

F+F=-d（η·2πr）=-2πη（+r）dr

因?yàn)檠菏欠€(wěn)定流動(dòng)的，所以摩擦力的大小應(yīng)該和促使空心圓柱沿著軸流動(dòng)的力相等。這個(gè)促使空心圓柱沿著軸流動(dòng)的力決定于壓力降，就等于：

F′=（P-P）2πrdr

由此有：

-2πη（+r）dr=（P-P）2πrdr

整理得：

+·=-（1）

由此得到微分方程模型。

3.模型求解

令=u，則=，方程（1）可化為

+u=-（2）

利用一階線性微分方程的通解公式，可得方程（2）的通解為u=-r，即：

=-r（3）

方程（3）為可分離變量的微分方程，通過分離變量、兩邊積分可得方程（1）的通解為：

V=Clnr-r+C

因?yàn)閞→0時(shí)，lnr→∞，但運(yùn)動(dòng)速度是一個(gè)有限數(shù)，所以C=0；當(dāng)r=R時(shí)，運(yùn)動(dòng)速度V=0，所以C=R。綜上所得，血液的流動(dòng)速度與血管半徑之間的關(guān)系為：

V=（R-r）

4.模型總結(jié)

根據(jù)模型的求解結(jié)果可知，血液流速與其黏滯系數(shù)成反比，與血管兩端壓力降成正比，血管的半徑越大則流速越大。血管內(nèi)血液流速的分布符合醫(yī)學(xué)生理學(xué)知識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

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