邱先明

極值問題是高中物理的常見的題型，在力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)和熱學(xué)等各個(gè)部分均能出現(xiàn).由于此類問題涉及面廣、綜合性強(qiáng)，所以成為學(xué)生學(xué)習(xí)物理的一個(gè)難點(diǎn).

數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，在解決極值問題時(shí)經(jīng)常會(huì)被用到.用數(shù)學(xué)方法分析物理問題具有簡(jiǎn)潔、直觀、準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)，便于對(duì)問題進(jìn)行分析、推理、論證得出結(jié)論.能否把一段復(fù)雜的物理情景用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語言表述出來，能夠體現(xiàn)出一個(gè)人的學(xué)科素養(yǎng)和解決問題的能力.《考試大綱》明確提出，要求學(xué)生能根據(jù)具體問題列出物理量間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論，必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形及函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析，能進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

求解物理極值問題常用的數(shù)學(xué)知識(shí)有二次函數(shù)、幾何作圖、三角函數(shù)和不等式知識(shí)等.分析此類問題首先要進(jìn)行的就是用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地描述整個(gè)物理過程，我們稱之為數(shù)學(xué)建模.然后對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型分析和討論，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，得出與實(shí)際物理過程相符的結(jié)論.

下面介紹幾種常用來求解極值問題的數(shù)學(xué)方法.

1利用二次函數(shù)求極值

例題物體A、B同時(shí)從同一地點(diǎn)，沿同一方向運(yùn)動(dòng)，A以10 m/s的速度勻速前進(jìn)，B以2 m/s2的加速度從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求A、B再次相遇前兩物體間的最大距離.

分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)中的追及和相遇問題.此類問題解法較多，常見的有物理分析法、二次函數(shù)求極值法、圖象法、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法等.下面我們分別用二次函數(shù)求極值法和圖象法兩種方法進(jìn)行分析.

解物體A、B的位移隨時(shí)間變化規(guī)律分別為

xA=10t，xB=12at2=t2，

則A、B間的距離Δx=10t-t2，由二次函數(shù)圖象是拋物線可知Δx有極大值，

當(dāng)t=5 s時(shí)，Δx最大，

Δxm=4×（-1）×0-1024×（-1） m=25 m.

2利用圖象法求極值

例題還以上題為例.

解根據(jù)題意作出A、B兩物體的v-t圖象，如圖1所示.

由圖可知，A、B再次相遇前它們之間距離有最大值的臨界條件是vA=vB，得t1=5 s.

A、B間距離的最大值數(shù)值上等于△OvAP的面積，

即Δxm=12×5×10 m=25 m.

與復(fù)雜的運(yùn)算過程相比，圖象法更簡(jiǎn)潔、直觀，甚至能表示出一些無法用語言準(zhǔn)確表達(dá)出的內(nèi)涵.因此，圖象法是處理物理問題的一種不可或缺的數(shù)學(xué)語言工具.但由于圖象法過程簡(jiǎn)單，必須加以必要的文字描述，說明運(yùn)動(dòng)過程、研究對(duì)象以及一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算公式.

3利用三角函數(shù)求極值

例題如圖2所示，一質(zhì)量m=0.4 kg的小物塊，以v0=2 m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t=2 s的時(shí)間物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，A、B之間的距離L=10 m.已知斜面傾角θ=30°，物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=33.（重力加速度g取10 m/s2）

求：拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，拉力F最?。坷的最小值是多少？

4利用不等式求極值

物理中常用的利用不等式求極值的方法有一元二次方程的判別式法、基本不等式法等.

例題1914年富蘭克林和赫茲在實(shí)驗(yàn)中用電子碰撞靜止的原子的方法，使原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，證明了玻爾提出的原子能級(jí)存在的假設(shè).設(shè)電子質(zhì)量為m，原子質(zhì)量為M，基態(tài)與激發(fā)態(tài)的能量差為ΔE，試求入射電子的最小初動(dòng)能.

解設(shè)電子碰撞前后的速率分別為v1和v2，原子碰撞后的速率為v.根據(jù)動(dòng)量守恒定律所以，入射電子的最小動(dòng)能為M+mMΔE.

數(shù)學(xué)方法在解決物理問題時(shí)起到了至關(guān)重要的作用，但值得注意的是，由于物理量受到物理規(guī)律和條件的制約，其取值通常在一定的范圍內(nèi)才符合物理問題的實(shí)際情況，通過數(shù)學(xué)方法直接得出的部分結(jié)論很可能沒有實(shí)際的物理意義.所以，得出結(jié)論之后的驗(yàn)證過程必不可少.分析物理問題時(shí)還是應(yīng)以實(shí)際物理情境為前提，數(shù)學(xué)只不過是解決問題的方法和手段，要避免將物理問題純數(shù)學(xué)化.