概率難點(diǎn)輕松突破

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概率難點(diǎn)輕松突破

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事件發(fā)生的可能性有大有小.概率是度量事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)量，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，概率也是初中數(shù)學(xué)較為重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).初中教材中與概率相關(guān)的內(nèi)容共出現(xiàn)了三次∶第一次是在八年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)概率》，從中我們知道了概率的定義，并知道可以用頻率的穩(wěn)定值估計(jì)概率；第二次就是本章《等可能條件下的概率》，從中我們又知道了等可能性的概念，并會(huì)通過合適的方法求等可能條件下的概率；最后一次出現(xiàn)在九年級(jí)下冊(cè)《概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用》，顧名思義，就是運(yùn)用概率進(jìn)行估計(jì)、判斷、決策……幫助我們解決一些實(shí)際問題.可見，本章在整個(gè)初中階段概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)中起到承上啟下的作用.

一、緊扣概念，精準(zhǔn)判定

教材中等可能性概念是“一般地，設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn).如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，那么我們說這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性.”

我們可以把這個(gè)概念濃縮成2句話：①試驗(yàn)結(jié)果有多個(gè)，但每次有且只有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)；②結(jié)果出現(xiàn)是隨機(jī)的，但每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)機(jī)會(huì)均等.

結(jié)合這2句話，我們就可以判斷某試驗(yàn)的結(jié)果是否具有等可能性，并可以求出某種結(jié)果發(fā)生的概率.

例1（2016·江蘇淮安）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球，這些球除顏色外完全相同，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是黃球的概率是________.

【分析】本題摸到的球有7種不同的結(jié)果：黃1，黃2，黃3，藍(lán)1，藍(lán)2，藍(lán)3，藍(lán)4，并不是只有黃球或藍(lán)球這兩種可能，即摸到黃球和籃球不是等可能的，故摸到黃球的概率不是.

【解答】因?yàn)橐粋€(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球，而摸出每個(gè)球是等可能的，即所有等可能的結(jié)果數(shù)為7，而摸到黃球的結(jié)果數(shù)為3，所以摸出的球是黃球的概率是.

二、有無(wú)“放回”，謹(jǐn)慎判斷

一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個(gè)結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=，其中m為事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n為所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).對(duì)于試驗(yàn)過程并不復(fù)雜的問題，如上例，只要能緊扣概念，便不會(huì)出現(xiàn)問題.而對(duì)于試驗(yàn)步驟較復(fù)雜的問題，則需要謹(jǐn)慎地判斷試驗(yàn)中前一個(gè)步驟與后一個(gè)步驟有無(wú)區(qū)別，即要考慮“摸球有無(wú)放回”.

例2（2016·江蘇鹽城）一個(gè)不透明的袋子中有大小、質(zhì)地完全相同的4只小球，小球上分別標(biāo)有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字.

（1）從袋中隨機(jī)摸出一只小球，求小球上所標(biāo)數(shù)字為奇數(shù)的概率；

（2）從袋中隨機(jī)摸出一只小球，再?gòu)氖Ｏ碌男∏蛑须S機(jī)摸出一只小球，求兩次摸出的小球上所標(biāo)數(shù)字之和為5的概率.

【分析】第（2）問說明試驗(yàn)有兩步，第1步是從4只小球中隨機(jī)摸1只，而第2步是從剩下的小球，也就是3只小球中隨機(jī)摸1只，是“無(wú)放回的摸球游戲”.所以在解答時(shí)要謹(jǐn)慎對(duì)待.

1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 45 7 4 5 6 7

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球上所標(biāo)數(shù)字之和為5的可能性有4種，所以P（兩次摸出的小球數(shù)字之和為

方法二（樹狀圖）

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球上所標(biāo)數(shù)字之和為5的可能性有4種，所以P（兩次摸出的小球數(shù)字之和為5）=

三、圖表有別，合理選擇

從例2中，我們可以看出，對(duì)于步驟為兩次的試驗(yàn)，可以通過列表法或樹狀圖的方法找出所有的等可能結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).但對(duì)于不同情形的問題，是不是都適合用這兩種方法呢？

例3（2016·蘭州）小明和小軍兩人一起做游戲，游戲規(guī)則如下：每人從1，2，…，8中任意選擇一個(gè)數(shù)字，然后兩人各轉(zhuǎn)動(dòng)一次如圖所示的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被分為面積相等的四個(gè)扇形），兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和等于誰(shuí)事先選擇的數(shù)，誰(shuí)就獲勝；若兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和不等于他們各自選擇的數(shù)，就再做一次上述游戲，直至決出勝負(fù).若小軍事先選擇的數(shù)是5，用列表或畫樹狀圖的方法求他獲勝的概率.

【分析】本題是可以用樹狀圖或列表法進(jìn)行研究的，但是因?yàn)樵囼?yàn)有兩個(gè)步驟，且每個(gè)步驟均有4種等可能的結(jié)果，如果用樹狀圖，則答題時(shí)會(huì)因?yàn)椤皹渲Α陛^多，導(dǎo)致答題區(qū)域過大，甚至?xí)霈F(xiàn)雜亂無(wú)章的可能，因此，建議對(duì)于試驗(yàn)步驟是兩次，且每個(gè)步驟有3個(gè)（或以上）結(jié)果時(shí)用列表法（試題有明確要求的除外）.

解答：列表如下：

1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8

所有等可能的情況有16種，其中兩次指針?biāo)笖?shù)字的和為5的情況有4種，所以小軍獲勝的概率=

例4（2009·江蘇）一家醫(yī)院某天出生了3個(gè)嬰兒，假設(shè)生男生女的機(jī)會(huì)相同，那么這3個(gè)嬰兒中，出現(xiàn)1個(gè)男嬰、2個(gè)女嬰的概率是多少？

【分析】列表法的優(yōu)點(diǎn)在于處理試驗(yàn)步驟僅有2個(gè)，且當(dāng)每個(gè)步驟可能的結(jié)果數(shù)較多時(shí)，能夠清楚、簡(jiǎn)潔地刻畫所有等可能的結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，但對(duì)于步驟超過2的試驗(yàn)，則無(wú)能為力.3個(gè)嬰兒的性別，相當(dāng)于試驗(yàn)步驟有三次，因此，只能用樹狀圖來(lái)研究.

【解答】用樹狀圖分析如下：

第一個(gè)第二個(gè)第三個(gè)所有結(jié)果

因此共有8種等可能的結(jié)果，其中1個(gè)男嬰、2個(gè)女嬰的結(jié)果數(shù)為3，所以P（1個(gè)男嬰，2個(gè)女嬰）=.

四、枚舉之法，不可忽略

平時(shí)在上課時(shí)，可能老師對(duì)列表法或樹狀圖法強(qiáng)調(diào)過多，同學(xué)們往往形成了思維定式，而忽略了使用這兩種方法的目的：找出試驗(yàn)所有的等可能結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).就如乘船過河，列表法或樹狀圖只是解題（過河）的工具（船），沒有“船”，難道我們過不了“河”嗎？

例5（2016·江蘇南京）某景區(qū)7月1日-7月7日一周天氣預(yù)報(bào)如圖，小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游，求下列事件的概率：

（1）隨機(jī)選擇一天，恰好天氣預(yù)報(bào)是晴；

（2）隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預(yù)報(bào)都是晴.

【分析】因?yàn)椋?）中是選擇連續(xù)的兩天，故可以用枚舉法將所有等可能的結(jié)果列出來(lái)解答.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校、江蘇省無(wú)錫市新城中學(xué)）