一題為基一通百通

張文珠　周麗萍

一題為基一通百通

張文珠周麗萍

概率問題的探究旨在讓同學們在學習中培養(yǎng)和發(fā)展隨機觀念，初步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識.“等可能條件下的概率”是初中數(shù)學概率部分的重點，用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結果來計算概率是學好本章的關鍵，也是中考重點考查的內(nèi)容.本文以“摸球實驗”為基本模型，和同學們一起來探究在列舉的過程中如何有條理地思考，并把思考過程有序、直觀、簡捷地呈現(xiàn)出來，使得列舉的結果不重不漏，從而解決問題并形成解題模型，達到“一通百通”的目的.

一、一題為基，外形多變

例1一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，求摸到紅球的概率.

變1：一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

變2：一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后不放回，攪勻，再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

變3：一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出3個球.求三次都摸到紅球的概率.

【分析】一問：“摸球幾次？”

請同學們仔細閱讀以上例題和變式，你會發(fā)現(xiàn)題目雷同卻存不同，在摸球實驗中，若摸一次球，則利用事件A發(fā)生的概率公式P（A）=（m為事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結果數(shù)；n為所有等可能出現(xiàn)的結果數(shù)）直接計算概率，如上題中的“例題”直接可求出P（摸到紅球）=；若摸球次數(shù)為2次或2次以上，則可以用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結果來計算概率.這“一問”是解題基礎，“摸幾次”的答案直接將題目進行分類，從而將題目“定性”；若摸球次數(shù)為2次或2次以上，可根據(jù)摸球的次數(shù)再次將樹狀圖或表格進行“定形”.所以，同學們在審題時，一定要找準這審題第一問的答案，為以下解題筑好基礎.

二問：“摸球以后放不放回？”

在多數(shù)摸球實驗中，摸球次數(shù)為2次或2次以上，所以，“二問”將目光瞄準了此類題目.同學們在審題過程中，要找準摸球實驗的規(guī)則和方法，找準關鍵詞“放回”“不放回”.如“變1”強調了“放回”，“變2”強調了“不放回”.此類題目在樹狀圖或表格法的繪制上略有不同，如下：

在變1、2題中，相同之處為摸球2次，在樹狀圖中表現(xiàn)為樹狀圖分為兩層（如圖1、圖2）；在表格的繪制上表現(xiàn)為表格的第一行和第一列（如圖3、圖4）.若摸球3次（如變3題），則樹狀圖分為三層，以此類推.

圖1（變1）

圖2（變2）

圖3（變1）

圖4（變2）

兩張樹狀圖的不同之處在于圖1第二層每個枝丫下分了4支，圖2每個枝丫下則分為了3支；兩張表格的不同之處在實驗結果的矩形對角線上.導致這些不同之處的原因，相信同學們都已經(jīng)找到了答案，那就是摸球后“放不放回”起了關鍵性的作用.

由此可見，同學們在解題時，一定要找準關鍵詞“放回”“不放回”，這是解此類概率題的易錯點，也是畫對樹狀圖和表格的重中之重.但是，有一類題沒有明確的導向性字眼，如變3題，敘述為“摸出3個球”，其試驗模型為“不放回”，這就需要同學們在審題時結合生活情境仔細分析，從而得出“放回”“不放回”的結論用于解題.這也需要同學們接觸題目時多思考多總結，找到題目特征，形成一套正確的判斷標準.

三問：“樹狀圖和表格法哪個更適用？”

“工欲善其事，必先利其器”，只有選對了工具，才能事半功倍.在題目涉及用樹狀圖和表格法解決時，同學們要思考一下：“樹狀圖和表格法哪個更適用？”當試驗中摸球2次，則樹狀圖和表格法都可以用.但實際繪制中可以發(fā)現(xiàn)，所有等可能事件的結果數(shù)量較少時，樹狀圖是一個很好的選擇；反之，所有等可能事件的結果數(shù)量較多時，表格法更加清晰明了.當試驗中摸球3次或3次以上，則表格法就不適用了，這時樹狀圖更加適合.

【解答】當審題三問都明確答案后，進入解題程序：

第一步：用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結果；

第二步：結合題意挑選出符合要求的結果（為了不漏解，可在圖表上做上恰當?shù)臉俗ⅲ?，并做好分析，如?分析為“共有16種等可能的結果，其中‘2次都摸到紅球’的有9種”；

第三步：計算概率，下好結論，如變1的計算過程為“P（2次都摸到紅球）=，即2次都摸到紅球的概率是”.

【點評】“等可能條件下的概率”中概率值的求得，一定要明確三個要點：1.明確題型列結果；2.找準目的取所需；3.精準計算得概率.第一個要點是在“三問”的基礎上得出的；第二個要點強調了要根據(jù)題意明確目的找自己需要的結果，在這一環(huán)節(jié)上，同學們較容易犯錯，少解、漏解情況頻頻發(fā)生；第三個要點要注意計算的正確性.

二、一題為基，方法多解

例2在一個盒子中裝有紅球、綠球、白球各1個，這三個球除顏色外都相同，小明先從盒子中摸出2個球后放回，小李再從盒子中摸出2個球.請用列表或畫樹狀圖法求他們摸到的4個球恰好包含所有顏色的概率.

【解答】設紅—R、綠—G、白—W；

法1：畫出樹狀圖：

共有36種等可能的結果，其中“4個球包含所有顏色”的結果有24種；

共有9種等可能的結果，其中“4個球包含所有顏色”的結果有6種.P（4個球包含所有顏色），所以4個球包含所有顏色的概率為.

法3：畫出樹狀圖：

共有9種等可能的結果，其中“4個球包含所有顏色”的結果有6種.P（4個球包含所有顏色?），所以4個球包含所有顏色的概率為

【點評】法1體現(xiàn)了“一通百通”的精髓，即：摸球摸了4次，小明、小李摸球以后都不放回，但是在樹狀圖的繪制上較復雜，在找需要的等可能結果時工作量也較大，容易犯錯；法2用枚舉法直接列舉了小明、小李摸球2次的結果，將結果看成整體繪制樹狀圖，本質為“不放回”，較為簡潔，但是在枚舉時容易遺漏；法3則是換了一個角度思考問題，考慮的是小明、小李摸球兩次后剩下的球，本質為“不放回”，樹狀圖也較為簡潔，但是在找需要的等可能結果時也需要反向思維.三種方法在解題時都遵循了三要素：明確題型列結果；找準目的取所需；精準計算得概率.在解題過程中的“化繁為簡”也是同學們在方法、技巧學習上的一個升華，這樣往往能夠達到事半功倍的效果.

本章內(nèi)容緊密聯(lián)系生活實際，涉及的題目背景內(nèi)容寬泛，但萬變不離其宗，對于題目的“華麗變身”，我們要建立“摸球試驗”的模型，找異同、抓本質，審題時緊扣“三問”、解題時踐行“三步”、檢驗時遵循“三要”，靈活機動考慮問題.相信同學們抓住了這些，就能做到真正的“一通百通”.

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)第一實驗學校）