基于勢能駐值原理的薄壁箱梁畸變效應(yīng)分析

張元海，劉澤翔，林麗霞，周茂定

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基于勢能駐值原理的薄壁箱梁畸變效應(yīng)分析

張元海，劉澤翔，林麗霞，周茂定

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070)

在對梯形截面箱梁的畸變角給出一般定義的基礎(chǔ)上，提出一種與薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析相似的薄壁箱梁畸變效應(yīng)分析方法，推導(dǎo)梯形箱梁畸變效應(yīng)分析的一般公式。應(yīng)用基于勢能駐值原理的能量變分法，建立以所定義的畸變角為未知量的控制微分方程，并給出其初參數(shù)解。對1個簡支箱梁模型的畸變翹曲應(yīng)力計算值與相關(guān)文獻(xiàn)中的有限梁段單元計算值吻合良好，驗證分析方法和所推導(dǎo)公式的正確性。研究結(jié)果表明：按本文方法揭示的梯形箱梁畸變內(nèi)力及位移的分布規(guī)律與相關(guān)文獻(xiàn)中的一致，但本文畸變雙力矩和畸變矩均大于相關(guān)文獻(xiàn)中的相應(yīng)內(nèi)力，而畸變角和畸變翹曲均小于相關(guān)文獻(xiàn)中的相應(yīng)位移。在跨中畸變矩荷載作用下，梯形箱梁腹板與頂板交點處的畸變翹曲應(yīng)力和橫向彎矩絕對值都小于腹板與底板交點處的對應(yīng)值。

薄壁箱梁；畸變效應(yīng)；變分法；畸變角；初參數(shù)解

隨著材料強(qiáng)度的提高，混凝土箱梁采用的壁厚趨于減小。近年來，為了施工方便及減輕自身重力，除在墩頂處設(shè)置必要的橫隔板外，大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁橋在跨內(nèi)已不再設(shè)置橫隔板。采用輕型化單箱單室薄壁箱形截面并采用懸臂澆筑施工方法，是今后大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土梁橋的發(fā)展趨勢。在豎向偏心荷載作用下，這種薄壁箱梁在發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)變形的同時，必然伴隨發(fā)生橫截面輪廓形狀的改變即畸變，薄壁箱梁因偏心布置的汽車荷載而產(chǎn)生的畸變翹曲應(yīng)力在活載總應(yīng)力中占有較大的比例，已成為大跨度箱形梁橋設(shè)計計算中必須考慮的問題[1?3]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者在薄壁箱梁的畸變效應(yīng)分析理論方面開展了不少研究工作[4?8]。徐勛等[5]對以畸變角和畸變撓度為位移參數(shù)的2種畸變分析理論進(jìn)行了比較分析，論證了2種分析理論的統(tǒng)一性。項海帆等[3, 6]選取腹板與底板之間夾角的改變量作為描述箱梁畸變變形的基本未知量，采用板梁框架法的思路，建立了單室梯形箱梁畸變效應(yīng)分析的基本公式和控制微分方程。這種分析方法的缺陷是計算過程繁復(fù)，不便于實際應(yīng)用，尤其是不能與箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析過程相統(tǒng)一。黃劍源等[7]對直線箱梁和曲線箱梁的畸變分析方法進(jìn)行了系統(tǒng)論述，對箱梁畸變角給出了一般性定義，但文中推導(dǎo)的上下角點處畸變翹曲應(yīng)力比的計算公式只適用于矩形箱梁。張文獻(xiàn)等[8]對長懸臂板單室箱梁的畸變效應(yīng)進(jìn)行了試驗研究，指出這類箱梁具有遠(yuǎn)大于普通箱梁的畸變效應(yīng)。WRIGHT等[9]提出了分析箱梁畸變應(yīng)力的彈性地基梁比擬法，在此基礎(chǔ)上，HSU等[10]又提出了等效彈性地基梁比擬法。PARK等[11?14]提出了分析箱梁畸變效應(yīng)的各種箱梁單元，并通過板殼有限元計算結(jié)果和實驗結(jié)果驗證了單元的有效性。RAZAQPUR等[12]提出的箱梁單元還可以同時考慮多室箱梁的剪力滯效應(yīng)。本文作者采用薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析的思路，建立薄壁箱梁畸變效應(yīng)分析的基本公式，運用基于勢能駐值原理的能量變分法，推導(dǎo)畸變控制微分方程及其初參數(shù)解，并結(jié)合數(shù)值算例，對畸變廣義內(nèi)力和位移進(jìn)行對比分析。

1 畸變變形描述

圖1所示為單室梯形箱梁橫截面畸變簡圖。圖1中：0為橫截面形心至頂板中面距離；y為畸變中心的坐標(biāo)；為梁高；1和2分別為頂、底板寬度的一半；3為懸臂板寬度；w為斜腹板寬度；為腹板的俯角。為畸變中心，即箱梁發(fā)生畸變時各板件切向位移所共同對應(yīng)的轉(zhuǎn)動中心；為形心，軸和軸為形心主軸，過畸變中心且平行于軸的直線與位于軸正半軸的腹板相交于點，軸與底板相交于點。箱梁發(fā)生畸變時，點和點分別位移至和，本文將直角∠在箱梁發(fā)生畸變變形過程中的改變量定義為畸變角，并用γ表示，以使直角∠減小者為正?；兘?i>γ只是縱向坐標(biāo)的函數(shù)，它由2部分組成，即γ=γ1+γ2。

圖1 梯形箱梁畸變簡圖

圖2所示為鉸接箱梁模型分別發(fā)生畸變角γ1和γ2時的變位圖。由圖2(a)可知：當(dāng)橫截面只發(fā)生畸變角γ1時，上、下翼緣板將繞其各自的中點轉(zhuǎn)動，只有左、右腹板發(fā)生豎向位移；由圖2(b)可知：當(dāng)橫截面只發(fā)生畸變角γ2時，左腹板將繞點轉(zhuǎn)動，右腹板將繞其上的對應(yīng)點轉(zhuǎn)動，上、下翼緣板則既有水平位移也有豎向位移。

選取周線坐標(biāo)以逆時針方向為正，由圖2可知，各板件沿方向的切向位移u可表達(dá)為

式中，1為點至軸的距離。

畸變角：(a) γD1；(b) γD2

已有研究表明[5]：箱梁畸變時各板件剪切變形的影響很小，故略去各板件的面內(nèi)剪應(yīng)變，即令，其中為畸變翹曲位移。從而，由箱形截面閉合箱室的畸變翹曲位移連續(xù)性條件可知：

將式(1)代入式(2)，經(jīng)整理后可得

式中：

對于矩形箱梁，由于1=2=1，故k=1。

將式(5)代入式(1)，再根據(jù)剪應(yīng)變?yōu)?，可將畸變翹曲位移對的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)為

式中：

將式(6)兩邊對積分，可求得畸變翹曲位移為

式中：0為坐標(biāo)起始點處的畸變翹曲位移，當(dāng)坐標(biāo)起始點選在周線與軸交點處時，0=0，此時可將畸變翹曲位移表達(dá)為

布如圖3所示。圖3中，懸臂板端部、腹板與頂板交點處、腹板與底板交點處的扇形坐標(biāo)如下：

可見本文推演的畸變翹曲位移表達(dá)式(9)與薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)理論中的翹曲位移公式在形式上是完全相同的。在畸變翹曲位移基礎(chǔ)上即可表達(dá)出畸變翹曲應(yīng)力σ，即

式中：為彈性模量。畸變翹曲應(yīng)力在箱梁橫截面上應(yīng)滿足自平衡條件，即

式中：為板厚；為橫截面積。

顯然，第1個和第3個條件是自動滿足的，而根據(jù)第2個條件可求得畸變中心位置坐標(biāo)y為：

式中：為腹板與頂、底板交點處的翹曲應(yīng)力比值；1，2和t分別為上翼緣板、底板和腹板的厚度。

式(4)中的1可按下式求得：

2 畸變總勢能

2.1 畸變翹曲應(yīng)變能1

畸變翹曲應(yīng)變能1可在式(10)基礎(chǔ)上求得，即

式中：I為畸變翹曲慣性矩；為箱梁體積；為箱梁跨度。

2.2 畸變橫向框架應(yīng)變能2

為了計算畸變橫向框架應(yīng)變能2，首先需確定畸變橫向框架彎矩分布圖。

由圖2所示鉸接模型發(fā)生畸變變形時的幾何關(guān)系，可將箱梁橫截面上任一點沿軸和軸方向的橫向位移表達(dá)為

式中：x()為與所考察點同一水平線處腹板至軸的距離。沿箱梁軸線方向取單位長度梁段，所得橫向框架變形如圖4所示，圖中4個角點分別用1，2，3和4表示。借助式(13)，可將角點1和2的水平位移和豎向位移表達(dá)為

式中：

；

。

圖4 畸變橫向框架變形圖

按圖4所示各角點位移方向，分別對1-4桿和1-2桿應(yīng)用轉(zhuǎn)角位移方程，并利用對稱性條件，即1=4,1=4，可得角點1的桿端彎矩分別為

值得注意的是：圖4中角點1的1的方向與軸正方向相反，為了與式(14)表達(dá)的1的正方向相統(tǒng)一，故已在式(15)中的1前加了負(fù)號。

將式(14)代入式(15)，并利用角點1的彎矩平衡條件1(1?4)+1(1?2)=0，可得

式中：

同理，由角點2的彎矩平衡條件，可得：

聯(lián)立求解式(16)和(17)，解出角點轉(zhuǎn)角1和2后，即可求得角點1和2的橫向彎矩為(以框架內(nèi)側(cè)受拉為正)：

式中：

；

注意到框架彎矩圖具有左右反對稱性及沿各桿件線性分布的性質(zhì)，則可求得整個箱梁的畸變橫向框架應(yīng)變能2為

式中：

2.3 畸變荷載勢能

畸變是伴隨扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的一種變形狀態(tài)。當(dāng)箱梁在角點1和4處分別作用沿縱向分布的向下和向上荷載p時，箱梁的畸變荷載勢能可表達(dá)為

式中：m為分布畸變荷載，。

2.4 畸變總勢能

將畸變翹曲應(yīng)變能1、橫向框架應(yīng)變能2及荷載勢能相加，即得箱梁的畸變總勢能為

3 畸變微分方程及其初參數(shù)解

對總勢能表達(dá)式(21)進(jìn)行一階變分運算，可得：

即

由總勢能的一階變分表達(dá)式(22)中的邊界項可以看出，與畸變角γ相應(yīng)的畸變矩M和與畸變翹曲γ'相應(yīng)的畸變雙力矩B分別為：

求解畸變微分方程(24)時的邊界條件如下。

畸變微分方程(23)為四階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其相應(yīng)齊次方程的通解為

箱梁的4個初參數(shù)取為0，0，0和0，它們分別為起始端的畸變角、畸變角一階導(dǎo)數(shù)(畸變翹曲)、畸變矩及畸變雙力矩，則借助式(25)~(27)，可導(dǎo)出各畸變位移和畸變內(nèi)力的初參數(shù)解，這里只列出畸變角的初參數(shù)解為

在畸變位移和畸變內(nèi)力的初參數(shù)解中，4個初參數(shù)可由箱梁兩端的邊界條件確定。初參數(shù)解只適用于箱梁跨內(nèi)無外荷載的情況，當(dāng)箱梁在跨內(nèi)作用各種形式的外荷載(如分布畸變荷載或集中畸變矩荷載等)時，則尚應(yīng)補(bǔ)充相應(yīng)的影響項。

當(dāng)簡支箱梁承受滿跨均布畸變荷載m作用時，可導(dǎo)出畸變角的公式為

式中：

4 數(shù)值算例

有機(jī)玻璃制作的簡支箱梁模型[13?14]，跨度= 0.9 m，測點布置在距支座0.4，0.5和0.6的3個橫截面上，橫截面尺寸及測點位置如圖5所示，壁厚均為3 mm，在梁端支座處布置有橫隔板，偏心集中荷載=294 N作用于跨中截面梁頂腹板處。材料彈性模量=3.268 GPa，泊松比=0.366 8。

按本文解析方法計算的各測點處畸變翹曲應(yīng)力值連同文獻(xiàn)[13?14]中用梁段有限元法所得計算結(jié)果見表1。需要說明的是：按本文方法計算時，對底板上外伸的4.5 mm懸臂段也準(zhǔn)確予以考慮，此時式(11)中的應(yīng)力比的計算式應(yīng)相應(yīng)改變。

單位：mm

表1 畸變翹曲應(yīng)力比較

由表1可以看出：本文解析法計算結(jié)果與梁段有限元計算結(jié)果吻合很好。

圖6所示為該簡支箱梁模型的畸變雙力矩B、畸變矩M及腹板與頂板交點1處單寬橫向彎矩1等分布圖。由圖6可以看出：簡支箱梁在跨中偏心豎向集中荷載作用下，畸變雙力矩和角點橫向彎矩最大值均發(fā)生在跨中截面，而畸變矩在跨中截面有突變，但最大值仍發(fā)生在跨中左右截面處。

計算表明：對于矩形箱梁，無論按本文定義的畸變角還是按其他文獻(xiàn)定義的畸變角，求得的畸變內(nèi)力都是完全相同的。

設(shè)一斜腹板梯形截面簡支箱梁，跨度為20 m，材料彈性模量=200 GPa，泊松比=0.3。箱梁在跨中截面腹板與頂板交點處作用豎向反對稱集中荷載=200 kN。箱梁橫截面尺寸如圖7所示，壁厚均為24 mm。

分別按本文方法和文獻(xiàn)[3]方法計算該梯形截面簡支箱梁在跨中反對稱集中荷載作用下的畸變效應(yīng)，表2所示為按2種方法計算的跨中截面畸變內(nèi)力、畸變位移及相關(guān)畸變幾何特性，其中，腹板與底板交點處的相應(yīng)物理量均用下標(biāo)P表示。

由表2可以看出：按2種方法求得的畸變翹曲應(yīng)力和單位寬度橫向框架彎矩都是完全相同的，但畸變內(nèi)力、位移及相關(guān)幾何特性并不相同，這是對畸變角的不同定義方法所造成的。在文獻(xiàn)[3]中，畸變角定義為腹板與底板之間夾角在箱梁畸變過程中的改變量，而且由于文獻(xiàn)[3]分析方法不能與箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析方法相統(tǒng)一，使畸變效應(yīng)分析過程較為繁瑣。

圖8所示為該簡支箱梁腹板與頂、底板相交點處(角點1和角點2)的畸變翹曲應(yīng)力和畸變橫向框架單寬彎矩沿縱向分布曲線。由圖8可以看出：角點1處的畸變翹曲應(yīng)力和橫向彎矩總是小于角點2處的值(絕對值)。此外，雖然畸變翹曲應(yīng)力和橫向彎矩都從支點向跨中逐漸增大，但它們的增大速度完全不同，前者的增大速度在逐漸增大，而后者的增大速度逐漸減小。

(a) 畸變雙力矩；(b) 畸變矩；(c) 角點1畸變橫向彎矩

表2 梯形箱梁畸變效應(yīng)

單位：m

圖9所示為該簡支箱梁的畸變內(nèi)力和位移分布曲線。由圖9可以看出：按本文方法求得的畸變雙力矩和畸變矩均大于按文獻(xiàn)[3]求得的結(jié)果，而畸變角及其一階導(dǎo)數(shù)(亦即畸變翹曲位移)均小于按文獻(xiàn)[3]求得的結(jié)果。

(a) 畸變翹曲應(yīng)力；(b) 畸變橫向彎矩

(a) 畸變雙力矩；(b) 畸變矩；(c) 畸變角；(d) 畸變翹曲1—本文結(jié)果；2—文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果。

5 結(jié)論

1) 在對梯形箱梁畸變角進(jìn)行一般定義的基礎(chǔ)上，提出了基于薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析思路的畸變分析方法，推演出梯形箱梁畸變效應(yīng)分析的一般公式，數(shù)值算例驗證了本文分析方法和所建立公式的正確性。

2) 按畸變角的不同定義方法分析梯形截面箱梁的畸變效應(yīng)時，得到的畸變翹曲應(yīng)力或橫向彎矩都是相同的，但用不同方法得到的畸變內(nèi)力和廣義位移各不相同。按本文方法求得的畸變雙力矩和畸變矩大于按有關(guān)文獻(xiàn)方法求得的相應(yīng)內(nèi)力，而畸變角和畸變翹曲小于按有關(guān)文獻(xiàn)方法求得的相應(yīng)位移，但畸變內(nèi)力或位移的分布規(guī)律都是相同的。對于矩形箱梁，按本文定義的畸變角與按相關(guān)文獻(xiàn)定義的畸變角所求得的畸變內(nèi)力或位移都相同。

3) 梯形截面簡支箱梁在跨中豎向反對稱集中荷載作用下，腹板與頂板交點處的畸變翹曲應(yīng)力和橫向彎矩都小于腹板與底板交點處的值(絕對值)；當(dāng)為矩形箱梁時，上述2個交點處的畸變橫向彎矩大小相等，方向相反。此外，雖然畸變翹曲應(yīng)力和橫向彎矩都從支點向跨中逐漸增大，但它們的增大速度完全不同，前者的增大速度逐漸增大，而后者的增大速度逐漸 減小。

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(編輯 趙俊)

Analysis on distortion effect of thin-walled box girders based on principle of stationary potential energy

ZHANG Yuanhai, LIU Zexiang, LIN Lixia, ZHOU Maoding

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Based on the definition of the distortion angle presented for trapezoidal box girder, a method for analyzing distortion effect of thin-walled box girders was proposed which is similar to that of the restraint torsion analysis of thin-walled box girders. The general formulas for the distortion effect analysis of trapezoidal box girders were derived. The governing differential equation on the distortion angle defined was established by applying the energy variation calculus based on the principle of stationary potential energy and the initial parameter solutions to the equation were achieved. A simply supported box girder model was analyzed and the calculated values of the distortion warping stress are in a good agreement with those in the related literatures obtained by using finite beam segment element, validating the analytical method presented and the formulas derived. The results show that the distribution regularities of the distortion force and displacement of the trapezoidal box girders revealed in this paper are identical to those in the related literatures. However, the distortion bi-moment and moment are greater than those in the related literatures, while the distortion angle and warping displacement are smaller than those in the related literatures. The distortion warping stress and transverse bending moment at the intersection of the web and top slabs of trapezoidal box girder subjected to mid-span distortion moment are smaller in absolute values than those at the intersection of the web and bottom slabs.

thin-walled box girder; distortion effect; variation calculus; distortion angle; initial parameter solution

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.10.024

U448.213

A

1672?7207(2016)10?3461?08

2015?10?08；

2015?12?08

國家自然科學(xué)基金資助項目(51268029，51068018，51468032)(Projects (51268029, 51068018, 51468032) supported by the National Natural Science Foundation of China)

張元海，教授，博士，博士生導(dǎo)師，從事橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計理論研究；E-mail：zyh17012@163.com