方愛平 田蓬勃 應(yīng) 鉞 蔡佳音 茍明岳 郭啟隆 宋 倩 楊宇馳 喻有理 王小力

（西安交通大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710049）

擴散和沉降耦合作用下霾氣溶膠分布的研究

方愛平 田蓬勃 應(yīng) 鉞 蔡佳音 茍明岳 郭啟隆 宋 倩 楊宇馳 喻有理 王小力

（西安交通大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710049）

通過氣溶膠的特性，從擴散、沉降、凝聚三個方面對霾微粒進行分析.發(fā)現(xiàn)對于霾微粒，沉降速度采用孤粒子沉降速度是完全可行的；凝聚作用對一般的霾分散系作用很小以至于可以忽略.在這一前提下，采用對流擴散方程描述擴散和沉降的耦合作用，并給出了積分形式的解析解.參考高斯煙羽模型，給出一種較為典型的初值條件，并在污染物接觸地面完全反射的假設(shè)下通過數(shù)值方法模擬未來的污染物濃度演化.模擬結(jié)果顯示:（1）在無風(fēng)的條件下，霾消散的速度是相當(dāng)緩慢的；（2）霾的演化中起最主要作用的是沉降.

擴散；沉降；凝聚；擴散系數(shù)；Stokes速度；高斯煙羽模型

近年來，能源消耗量增大，燃燒化石燃料的過程中排放到空氣中的化學(xué)物質(zhì)以及顆粒狀的污染物（如塵、煤等）不斷增加，造成了各種形式的大氣污染.其中，霾這一現(xiàn)象尤其引人關(guān)注.霾，也稱陰霾、灰霾，是指大量煙、塵等微粒懸浮而形成的渾濁現(xiàn)象.霾的核心物質(zhì)是空氣中懸浮的灰塵顆粒，氣象學(xué)上稱為氣溶膠顆粒.霾中含有數(shù)百種大氣化學(xué)顆粒物質(zhì)，可引起多種疾病.此外，霾影響大氣能見度，常引發(fā)交通事故.為了治理霾，在實際工作中，需要根據(jù)污染源的位置、高度、氣象情況等條件正確推算出污染物在大氣中的濃度.再以此來制定合理的治理措施.

本文從氣溶膠的通性［1］入手分析影響霧霾分散系的因素.考慮擴散、沉降、凝聚以及周圍環(huán)境的影響，通過分析論證了采用對流擴散方程描述霾分布演化的可行性.以高斯正態(tài)煙羽模式為背景，研究單一污染源排放出的污染物，推算出了周圍地區(qū)的污染物濃度分布隨時間的演化，以供后續(xù)使用.

1 模型建立

我們基于兩個基本假設(shè):（1）考察的空間足夠大以至于可以認為是無界的；（2）環(huán)境中無風(fēng)且溫度均勻，通過氣溶膠的通性，給出描述擴散，沉降，凝聚的方程.并通過分析合理的簡化模型.

1.1 控制氣溶膠運動的方程

1）擴散

擴散是物質(zhì)分子從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域轉(zhuǎn)移，直到均勻分布的現(xiàn)象.由菲克定律，擴散的速率與物質(zhì)的濃度梯度成正比.故在流場v內(nèi)，有對流擴散方程［2］

其中，c為質(zhì)量濃度；D為擴散系數(shù)，可以由下式確定［2，3］

其中，kB為玻爾茲曼常數(shù)；T為絕對溫度；μ為動力黏度系數(shù)，在空氣中μ=1.81×10-5Pa·s；dp為粒子粒度；Cu為庫寧漢滑移修正系數(shù)，常溫常壓下，施特勞斯給出的庫寧漢修正系數(shù)為［3］

其中λ為平均自由程［2］，有

其中λ0為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的空氣分子平均自由程，λ0= 0.0665μm.

2）沉降

在外力作用下，氣溶膠粒子與氣流之間產(chǎn)生相對運動，產(chǎn)生阻力.假定粒子所受阻力服從斯托克斯定律，則隨著粒子和氣流的速度差的增大，阻力也隨之增大.若力場是均勻的，則粒子必有一個最終沉降速度.在重力場中，孤立粒子的最終沉降速度即Stokes速度為［3］

其中ρp為膠粒的質(zhì)量密度.實際情況中，分散系內(nèi)的氣溶膠粒子會互相影響，實際的沉降速度與Stokes速度會有一定差異.在單分散體系的假設(shè)下，有沉降速度公式［3］為

其中，?為分散系中粒子的體積濃度；S為沉降系數(shù)，此處S=-6.55.

3）凝聚

先考慮簡單單分散熱凝聚或Smoluchowski凝聚:它假設(shè)粒子是單分散性的；粒子一旦接觸就互相黏附；這些粒子生長得很慢.在這些假設(shè)下推導(dǎo)出氣溶膠數(shù)量濃度的變化率［3］為

中位數(shù)粒度［3］為

當(dāng)粒度為正態(tài)分布時，由Lee和Chen提出的計算公式可以得到平均凝聚系數(shù)［3］

其中，NMD為計數(shù)中位直徑；σg為幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差，它被定義為

當(dāng)粒度分布符合正態(tài)分布時

由于這些粒子生長得很慢，在考慮的時間范圍內(nèi)，σg的變化不計，則粒子數(shù)為

中位數(shù)粒度

1.2 簡化模型

對模型中的影響因素進行適度的分析，排除一些影響很小的項，以簡化模型，降低求解的難度.

1）忽略凝聚的影響

考慮粒度為正態(tài)分布時的凝聚情況，考察一個如圖1所示的具有代表性的實例，通過估算凝聚速度說明凝聚的效果在我們考慮的時間尺度下可以忽略.

圖1 北京西北城區(qū)夏季大氣PM10的粒度分布［4］

僅考慮煙塵集合體，注意到它的頻率分布呈現(xiàn)單峰分布，用正態(tài)分布對其進行擬合，通過參數(shù)估計可以得到NMD=0.295μm；σg=1.86.

在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，由Lee和Chen給出了公式（10）的平均凝聚系數(shù)［3］為要求得氣溶膠的數(shù)量密度，膠粒的線度應(yīng)該用質(zhì)量中位徑MMD，有NMD和MND的換算關(guān)系估算［3］

考慮PM10值為300μg·m-3時的情形，通過計算此時N0≈1.5×107m-3，考察粒子數(shù)隨時間變化的方程

將粒子數(shù)變?yōu)槌踔档?/2所用的時間稱為半衰期T，則由以上討論可以得到

注意到沉降速度大約為10-5m·s-1，如果污染源離地地面的距離為101m量級，則污染源處霾粒子沉降到地面的時間約為106s，可見在此情形下凝聚的時間尺度遠遠大于我們考慮的時間范圍，故在以下的討論中不考慮凝聚的作用.

2）忽略多粒子互相作用對沉降的影響

考慮多粒子相互作用時的沉降公式:

1.3 模型建立

通過以上的分析，霾分散系的演化可以歸結(jié)為擴散和Stokes沉降的耦合作用.沉降的效果可以等效于對流擴散方程中的對流項.由于考慮的是無風(fēng)環(huán)境，控制霾隨時間演化的方程如下表示:

其中v為沉降速度.

2 模型求解

考慮前面分析過的例子，假設(shè)環(huán)境處于標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，PM10值為300μg·m-3.代入一個基于高斯煙羽模型的較具有代表性的初值條件，求解霾分散系的演化情況.

2.1 參數(shù)的確定

由中位數(shù)粒度和求解假設(shè)可以確定擴散系數(shù)為同樣可以由公式確定沉降的Stokes速度為

2.2 無源空間對流擴散方程的解析解

為了簡化問題，假設(shè)考慮上方為無界空間，地面按一定比例吸收運動到地面上的污染物，假設(shè)我們已經(jīng)得到無界邊界條件下的濃度場u，那么“反射”的效果即z＜0的u場“翻轉(zhuǎn)”到z＞0的空間中并乘上一個比例系數(shù)，再與z＞0處的u場疊加，就可以得到有地面邊界條件下的濃度場c控制u的方程如下為

運用格林函數(shù)，先考慮在r=0處一小團氣體的質(zhì)量為m0的氣體的擴散情況，在球坐標(biāo)下

解得

圖2 時間t取1，2，3s時的濃度分布示意圖

加入對流項，相當(dāng)于坐標(biāo)系在以v的速度向-z方向平移，只需在解中加入一個坐標(biāo)變換

或

則仍有

將由高斯煙云模型得到的初值條件看作delta函數(shù)的疊加，則整塊煙云的濃度場應(yīng)該是一小團氣體擴散產(chǎn)生的濃度場g的疊加.

其中d V為r0附近的一個面積微元.

設(shè)地面的反射率為k，則由之前提供的計算方法

其中r=（x，y，z），z＞0.

代入初值條件和之前求得的系數(shù)，可以得到任意時刻的濃度分布.

2.3 初值條件的確立

對于連續(xù)均勻排放的點源，源強為Q（mg·s-1），離地面的有效排放高度為he（m）.令平均風(fēng)速u（m·s-1）沿x軸方向.當(dāng)風(fēng)速較大，穩(wěn)定之后，可以假設(shè)在y、z方向上濃度C呈正態(tài)分布，則擴散公式［2，3］為

式中:

C—下風(fēng)向任意位置（x，y，z）的污染濃度，mg·m-3；

σy—擴散系數(shù)，y方向的標(biāo)準(zhǔn)差，m；

σz—擴散系數(shù)，z方向的標(biāo)準(zhǔn)差，m；

Q—排放源強，mg·s-1；

U—排放口高度處的平均風(fēng)速，m·s-1；

he—有效排放高度.

考慮無風(fēng)的情形，煙云有向上的初速度，忽略反射項，則可以將高斯煙云模型改寫為如下形式

其中:r2=x2+y2，σ為r方向的標(biāo)準(zhǔn)差.

這是一個比較具有代表性的情形，若將它作為初值條件，則它的物理意義為由一點源以較大的初速度向上排放污染物至穩(wěn)定.之后停止排放，將此處的濃度分布作為初值條件.

為了求解的方便，對初值條件做如下規(guī)定:

（1）為了避免在場源處出現(xiàn)奇點，在z＞he的空間中，對分布

（2）為了讓濃度場在空間內(nèi)連續(xù)，在z＜he的空間中，假設(shè)

（3）為了計算方便，u取1m·s-1，Q取2πmg·s-1，he取10m.

由此得到初值條件的示意圖圖3所示.

我們將這種形式的的煙云分布作為討論問題的初值條件.這只是一個值得參考的有一定參考意義的情形，事實上2.2中的討論可以處理各種形式的初值條件.

圖3 基于高斯煙羽模型的初值條件

2.4 數(shù)值模擬

代入初值條件和之前求得的系數(shù)，可以得到任意時刻的濃度分布，代入系數(shù)D=1.17× 10-10m2·s-1，v=1.23×10-5m·s-1，當(dāng)反射率k=1，t取6，9，12，24天，濃度分布如圖4所示.

可見，在無風(fēng)的環(huán)境下，氣溶膠污染物的變化是很緩慢的.此外，我們發(fā)現(xiàn)在我們考察的情景下，擴散的效果相較于沉降也非常小.這是因為霾氣溶膠的粒度較大，沉降速度大，擴散系數(shù)小.霾的演化中起主要作用的是沉降作用.

圖4 當(dāng)反射率k=1，第6，9，12，24天的濃度分布示意圖

3 結(jié)語

本文通過分析，略去了凝聚對粒度的影響和多粒子相互作用對沉降速度的影響，合理地簡化了模型.在考慮沉降和擴散的耦合作用時，將沉降的效果用對流等效起來，取得了較好的效果.并通過疊加的方法求出了對流項恒定條件下對流擴散方程的解析解.找到一種典型的煙云分布，通過數(shù)值方法解出其演化情況.

但是這一模型也有許多局限.它需要溫度恒定，無風(fēng)或者至少風(fēng)速恒定這樣很強的假設(shè).該模型對污染物的沉積和化學(xué)轉(zhuǎn)化過程只做了十分粗略的處理，如果在此方面需要考慮時，模式的應(yīng)用受到限制.

［1］張小曳.中國大氣氣溶膠及其氣候效應(yīng)的研究［J］.地球科學(xué)進展，2007，22（1）:12-16.

［2］向曉東.氣溶膠科學(xué)技術(shù)基礎(chǔ)［M］.北京:中國環(huán)境科學(xué)出版社，2012.

［3］平措.大氣污染擴散長期模型的應(yīng)用研究［D］.碩士學(xué)位論文.天津:天津大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，2006.

［4］邵龍義，時宗波.北京西北城區(qū)與清潔對照點夏季大氣PM10的微觀特征及粒度分布［J］.環(huán)境科學(xué)，2003，24（5）: 11-16.

STUDY ON THE DISTRIBUTION OF AEROSOL HAZE UNDER THE COUPLED ACTION OF DIFFUSION AND SUBSIDENCE

Fang Aiping Tian Pengbo Ying Yue Cai Jiayin Gou Mingyue Guo Qilong Song Qian Yang Yuchi Yu Youli Wang Xiaoli
（School of Science，Xi’an Jiaotong University，Xi’an，Shaanxi 710049）

In this paper，according to the characteristics of the aerosol，diffusion，subsidence and coagulation these three aspects of haze particles were analyzed.We found that for haze particles，the use of solitary particle sedimentation velocity is feasible；cohesive effect on the general haze dispersion effect is so small that can be ignored.In this context，the use of coupling diffusion and convection-diffusion equation describes the settlement，and the analytic solution of the integral form.Reference Gaussian plume model to give a more typical initial conditions，and under the assumption that the ground can completely reflected the pollutant，the future evolution of the pollutants can be solved by numerical methods.The simulation results show that:（1）in the windless conditions，haze dissipated speed is very slow；（2）The sedimentation plays the most important role in haze evolution.

diffusion；subsidence；cohesion；diffusion coefficient；Stokes speed；Gaussian plume model

2016-05-01

方愛平，女，西安交通大學(xué)理學(xué)院講師，博士，主要從事量子光學(xué)和大學(xué)物理的教學(xué)與研究工作.

田蓬勃，男，副教授，主要從事大學(xué)物理和熱學(xué)教學(xué)科研工作，研究方向為光學(xué).pbtian@163.com

方愛平，田蓬勃，應(yīng)鉞，等.擴散和沉降耦合作用下霾氣溶膠分布的研究［J］.物理與工程，2016，26（4）:104-108.