邱恭志

[摘 要]數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)一般是指那些隱藏著的和決定數(shù)學(xué)現(xiàn)象的基本概念、一般原理、思想方法等，教師的教學(xué)若能突出知識的本質(zhì)，那么教學(xué)就有了深度和廣度。

[關(guān)鍵詞]枚舉 問題 操作比較 開放問答 多向訓(xùn)練

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）32-020

數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)一般是指那些隱藏著的和決定數(shù)學(xué)現(xiàn)象的基本概念、一般原理、思想方法等，它們往往具有基礎(chǔ)性、普遍性。因此，數(shù)學(xué)課堂中，教師若能突出數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，教學(xué)就有了深度和廣度。下面，我以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“枚舉”一課教學(xué)為例展開探究。

片斷一：理解概念

例題：王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？

師：根據(jù)題中的條件和問題，你能想到什么？

生1：周長22米，可以圍成大小不同的長方形。

生2：周長22米是不變的，可以推想長方形的長與寬的和一定，即長+寬=11（米）。

師：你打算怎樣解決問題？

生3：用22根小棒擺（圍）出不同的長方形。

生4：擺出長方形后記錄長與寬是多少，先求出長與寬的和，即長+寬=11（米），再計算出面積各是多少。

……

【設(shè)計意圖：俗話說：“書讀百遍，其義自見?！碑?dāng)學(xué)生真正讀懂問題與以往常規(guī)問題的不同或特殊之處，并在已有知識體系中無法找到解決問題的方法時，一一列舉策略便自然成為學(xué)生解決問題的內(nèi)在需求?！?/p>

片斷二：掌握方法

1.列舉可能的解

師：到底有多少種不同的圍法？接下來，我們運用以前學(xué)過的策略來研究一下，可以用小棒圍一圍，也可以在練習(xí)紙上畫一畫，然后把不同的情況整理到表格里。（在學(xué)生探究新知后，師組織學(xué)生分析與交流）

師：你是怎么列舉的？列舉時要注意什么？

……

【設(shè)計意圖：這個環(huán)節(jié)，使學(xué)生初步明白雖然路徑、角度不一樣，如寬的米數(shù)從小到大有序列舉、長的米數(shù)從大到小有序列舉等，但都做到了有順序、有條理的列舉，領(lǐng)悟到列舉方法的多樣性和可選擇性?！?/p>

師：這些方法，你覺得哪些有優(yōu)點，哪些有缺點？請你指出來并修改。

生1（出示下表）：有序。

生2（出示下表）：有順序，但有遺漏。

生3（出示下表）：無順序，眼花繚亂。

……

【設(shè)計意圖：學(xué)生在這一組有結(jié)構(gòu)的材料對比中辨析、優(yōu)化與提升，進一步強化了列舉有序性的意義建構(gòu)，逐步領(lǐng)悟到列舉的關(guān)鍵是做到有序，明白只有做到有序，才能讓列舉不重復(fù)、不遺漏?！?/p>

2.驗證出正確的解

師（出示下表）：觀察格表，長方形的面積分別是多少？你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

……

師生（小結(jié)）：因為長和寬不一樣，所以面積就不一樣。長方形的長和寬相差越大，面積就越?。婚L和寬相差越小，面積就越大。

師改例題如下：“王大叔用24根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”（如果是36根木條圍長方形花圃呢？）

師：能否把擺小棒、畫圖等方法放在頭腦里想象，經(jīng)過頭腦整理后再填表列舉？請同學(xué)們試一試。

……

【設(shè)計意圖：從擺小棒、畫圖等列舉到填表列舉，動手的成分少了，動腦的成分多了。這個環(huán)節(jié)的教學(xué)要處理好從直觀操作到填表思考的過渡，從無序列舉到有序列舉的改進，從“有形”整理到“無形”整理的提升，進而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平?！?/p>

片斷三：學(xué)會運用

練習(xí)A：有一個音樂鐘，每隔一段相等的時間就會發(fā)出鈴聲。已經(jīng)知道上午9：00、9：40、10：20和11：00會發(fā)出鈴聲，那么下面哪些時間也會發(fā)出鈴聲？

13：00 14：40 15：40 16：00

練習(xí)B：你準(zhǔn)備怎樣解決這些問題？說說你的想法。

（1）小芳家栽了3行桃樹、8行杏樹和4行梨樹。桃樹每行7棵，杏樹每行6棵，梨樹每行5棵，桃樹和梨樹一共有多少棵？

（2）梅山小學(xué)有一個長方形花圃，原來長8米，在修建校園時，把花圃的長增加3米，這樣花圃的面積就增加18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？

（3）城西廣場是1路公共汽車和2路公共汽車的起始站。1路公共汽車6時20分開始發(fā)車，以后每4分鐘發(fā)一輛車。2路公共汽車6時30分開始發(fā)車，以后每5分鐘發(fā)一輛車。這兩路公共汽車幾時幾分第一次同時發(fā)車？

（4）四年級同學(xué)準(zhǔn)備制作160個燈籠慶祝國慶。已經(jīng)做了76個，剩下的分給28個同學(xué)去做，平均每人要做多少個？

……

課后思考：

1.在開放問答中，凸顯知識本質(zhì)

所謂枚舉，就是一一列舉，指將問題所有可能的答案列舉出來，然后選擇合適的答案。如上述教學(xué)中，教師提問：“根據(jù)題中的條件和問題，你能想到什么？”這是一個開放性很強的“大問題”，給學(xué)生的獨立思考與主動探究留下充足的探究空間。生1“周長22米，可以圍成大小不同的長方形”，讓我們明確枚舉的對象；生2“周長22米是不變的，可以推想長方形的長與寬的和一定，即長+寬=（11）米”，讓我們明確枚舉的范圍；生4“擺出長方形后記錄長與寬是多少，先求出長與寬的和，即長+寬=11（米），再計算出面積各是多少”，讓我們明確枚舉的判定條件，從而凸顯了枚舉這一概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2.在操作比較中，掌握學(xué)習(xí)方法

在確定枚舉的對象、范圍和判定條件之后，就要一一列舉可能的解，并驗證是否是問題正確的解。為此，我設(shè)計了兩個教學(xué)環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)了四個問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)探究的一般過程。特別是最后一個問題的設(shè)計：“王大叔用24根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”“如果是用36根木條圍長方形花圃呢？”通過問題，使學(xué)生從中感悟到：擺小棒、畫圖等列舉方法在解決實際問題中有很多局限性，必須突破這些條條框框的“束縛”。課堂教學(xué)進行到此，學(xué)生優(yōu)化學(xué)習(xí)方法的欲望被激發(fā)了，提升了數(shù)學(xué)思考的水平。

3.在多向訓(xùn)練中，學(xué)會靈活運用

列舉作為一種策略，在解決實際問題時，可以從兩個維度設(shè)計訓(xùn)練：一是在學(xué)生初步學(xué)會表格列舉后，引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)一些其他的列舉方法，使列舉更加方便、有效；二是可以設(shè)計題組練習(xí)，讓學(xué)生靈活選擇策略解決問題。學(xué)生在四年級時已經(jīng)學(xué)過列表和畫圖的策略，現(xiàn)在又學(xué)習(xí)了一一列舉的策略，我將這三部分習(xí)題混合選編，讓學(xué)生快速判斷用什么策略來解決，并說明選擇的理由。如果學(xué)生能夠主動、快速地辨析出問題的特點，并選擇合適的策略（方法）解決問題，才能說學(xué)生具有策略意識，策略的學(xué)習(xí)才真正達到目的。

（責(zé)編 藍(lán) 天）