容許性余代數(shù)的必要條件

范中平（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，浙江杭州310027）

容許性余代數(shù)的必要條件

范中平
（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，浙江杭州310027）

通過(guò)從余代數(shù)的角度構(gòu)造Hopf代數(shù)的塊系統(tǒng)，給出了非余半單余代數(shù)和純非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件.其應(yīng)用簡(jiǎn)化了45維和105維Hopf代數(shù)的分類(lèi)，為有限維Hop f代數(shù)的分類(lèi)提供了新的方法.

余代數(shù)；容許性；Hop f代數(shù)；分類(lèi)；塊系統(tǒng)

1　引言

本文屬于有限維Hop f代數(shù)分類(lèi)的研究范疇.基域k是一個(gè)特征為零的代數(shù)閉域.在下面的討論中，如不另作說(shuō)明，空間都是指k上的線(xiàn)性空間，映射也都是k上的線(xiàn)性映射.

有限維Hopf代數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題由于其重要的數(shù)學(xué)意義和物理意義，一直是Hop f代數(shù)研究的中心問(wèn)題之一.而作為Hop f代數(shù)的基本結(jié)構(gòu)，余代數(shù)在此類(lèi)問(wèn)題的研究中有重要作用.考慮余根的性質(zhì)，可以把Hop f代數(shù)分為三種類(lèi)型：余半單的（cosem isim p le），點(diǎn)態(tài)的（pointed），以及非余半單非點(diǎn)態(tài)的（non-cosem isim p le non-pointed）.目前余半單pq2型和pqr型Hop f代數(shù)及點(diǎn)態(tài)pq2型Hop f代數(shù)的分類(lèi)已經(jīng)由Natale和Andruskiew itsch等完成［1-3］.非余半單非點(diǎn)態(tài)2p2型Hop f代數(shù)的分類(lèi)由Hilgem ann和Ng完成［4］.

本文從余代數(shù)的角度研究Hop f代數(shù)的結(jié)構(gòu).稱(chēng)一個(gè)余代數(shù)C是容許的（adm issib le），如果C上存在一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，使得C成為一個(gè)Hopf代數(shù).Kaplansky最先提出了余代數(shù)的容許性問(wèn)題［5］，他猜測(cè)一個(gè)余代數(shù)具有容許性等價(jià)于其任意有限維子空間都包含于一個(gè)具有容許性的有限維余子代數(shù).雖然Larson給出了反例證明這個(gè)猜測(cè)是錯(cuò)的，卻由此引起了Hopf代數(shù)研究者的興趣：究竟怎樣的余代數(shù)才具有Hop f代數(shù)結(jié)構(gòu)？顯然研究這個(gè)問(wèn)題對(duì)有限維Hop f代數(shù)的分類(lèi)有極其重要的作用.

作者通過(guò)給出一系列余代數(shù)具有容許性的必要條件（定理3.1和定理3.2），部分回答了這一問(wèn)題.將余代數(shù)的余根分解給出的雙余模結(jié)構(gòu)和余根濾鏈給出的分層結(jié)構(gòu)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)造了余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)（定義2.1）和塊系統(tǒng)（定義2.3），并自然的推廣到Hopf代數(shù)上.通過(guò)研究非余半單Hop f代數(shù)的塊系統(tǒng)中各個(gè)“塊”之間的聯(lián)系，給出了純非余半單Hopf代數(shù)（定義3.1）的基本塊和維數(shù)下界（命題4.1和命題4.2）.應(yīng)用上述結(jié)果到45維（推論4.1）和105維（推論4.2）Hopf代數(shù)上，簡(jiǎn)化了此維數(shù)的Hopf代數(shù)分類(lèi)情形，對(duì)非余半單非點(diǎn)態(tài)pq2型和pqr型Hopf代數(shù)的分類(lèi)工作做出了貢獻(xiàn).

2　余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)和塊系統(tǒng)

本節(jié)構(gòu)造余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)和塊系統(tǒng)，為接下來(lái)的討論做準(zhǔn)備.

對(duì)非余半單余代數(shù)（C，Δ，ε），由［6，Theorem5.4.2］給出的余根分解知，存在一個(gè)余理想I和一個(gè)C到其余根C0的投射π：C→C0，使得C=C0⊕I和kerπ=I.固定這個(gè)余理想I，并定義

容易驗(yàn)證，（C，ρL，ρR）成為一個(gè)C0-雙余模.

記C的余根濾鏈為｛Cn｝n≥0；對(duì)n≥0，令Pn=Cn∩I.

令bC為C的單余子代數(shù)的指標(biāo)集.對(duì)τ∈bC，存在正整數(shù)dτ，使得dimDτ=dτ2.方便起見(jiàn)，記類(lèi)群元g∈G（C）生成的單余子代數(shù)為Dg，且Dg在bC中的指標(biāo)就為g.對(duì)d≥1，設(shè)

Dτ有唯一的單右余模同構(gòu)類(lèi)Vτ和唯一的單左余模同構(gòu)類(lèi)V?τ，且

已知C0-雙余模范疇C0MC0是半單的.設(shè)M∈C0MC0，對(duì)τ，μ∈，記Mτ，μ為M的同構(gòu)于Vτ??Vμ的單C0-雙余子模的和，則有

容易驗(yàn)證，對(duì)n≥1，有（Pn，ρL，ρR）∈C0MC0.則

注意到Pn-1?Pn是一個(gè)C0-雙余子模.那么存在一個(gè)Pn的C0-雙余子模Qn，使得

這里注意Qn的選取不是唯一的.

有下式成立：

顯然Wn為Qn的一組基.

對(duì)n=0，記C的單余子代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)基全體為

顯然W0為C0的一組基.

記

由式（8）知，W是余代數(shù)C的一組基，并完整刻畫(huà)了C的樹(shù)結(jié)構(gòu).

定義2.2對(duì)余代數(shù)C，稱(chēng)式（15）給出的W為C的一組由W0和I誘導(dǎo)的樹(shù)結(jié)構(gòu)基.

對(duì)w∈W，如果w∈W∩Pn，n≥1，有

這里kw′，w1，w2∈k且只有(有限個(gè)非零.由式（16），定義

將樹(shù)結(jié)構(gòu)中有內(nèi)在聯(lián)系的直和項(xiàng)合并起來(lái)，得到以下結(jié)構(gòu).

定義2.3對(duì)n≥0，稱(chēng)

為余代數(shù)C的由I和Qn誘導(dǎo)的塊.

顯然C=⊕n≥0，d1，d2≥1 Bd1，d2n，并稱(chēng)此直和為余代數(shù)C的由I和｛Qn｝n≥1誘導(dǎo)的塊系統(tǒng).

命題2.1若存在n＞1和d1，d2≥1，使得Bd1，d2n/=0，則存在一正整數(shù)集合｛b1，···，bn-1｝使得對(duì)所有的i=1，···，n-1，有Bd1，bii/=0和Bbi，d2n-i/=0.

證對(duì)τ，μ∈bC，n≥1，每個(gè)非零Qτ，μn都對(duì)應(yīng)一個(gè)非零塊Bd1，d2n，這里d1=dτ，d2=dμ.容易驗(yàn)證，Pτ，μnPn-1等價(jià)于Qτ，μn/=0.由［7，Lemm a 3.2］，命題得證.

3　Hop f代數(shù)的塊系統(tǒng)

本文將余代數(shù)的塊系統(tǒng)推廣到Hop f代數(shù)上，由此給出非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件.設(shè)（H，m，u，Δ，ε，S）是一個(gè)非余半單的Hopf代數(shù).不妨設(shè)H=C，并繼承上一節(jié)的符號(hào).

討論H的塊之間的聯(lián)系，由此來(lái)刻畫(huà)H的結(jié)構(gòu).

命題3.1對(duì)任意n≥0和d1，d2≥1，有dim被dim整除.

命題3.2對(duì)任意n≥1，d≥1，有d im Bnd，1和dim Bn1，d都能被d|G（H）|整除.

引理3.1對(duì)u∈WH∩I，

（i）如果ρL（u）=1?u且對(duì)任意的v∈WH有u∈/R（v），那么u?是H?的一個(gè)左積分且存在g∈G（H）使得ρR（u）=u?g；

（ii）如果ρR（u）=u?1且對(duì)任意的v∈WH有u∈/L（v），那么u?是H?的一個(gè)右積分且存

在h∈G（H）使得ρL（u）=h?u.

證證明（ii）與證明（i）類(lèi)似.所以只證明（i）.對(duì)任意的w∈WH，考慮卷積w??u?.對(duì)任意的v∈WH，由u∈/R（v）成立知，(

因此w??u?=w?（1）u?.由w的任意性，w?取遍W?H中的所有基元.對(duì)任意的f∈H?，有f?u?= f（1）u?，使得u?是一個(gè)H?的左積分.已知H的左積分空間是一維的.由式（10）知，存在類(lèi)群元g，使得ρR（u）=u?g.引理得證.

對(duì)H的形如B1，1n的塊，記

由以上幾個(gè)命題，得到非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件如下：

定理3.1如果一個(gè)非余半單余代數(shù)具有容許性，那么此余代數(shù)的塊系統(tǒng)一定滿(mǎn)足命題2.1，命題3.1，命題3.2，命題3.3，命題3.4和命題3.5所述.

定義3.1設(shè)C是一個(gè)非余半單余代數(shù).稱(chēng)C是純非余半單的，如果C沒(méi)有非退化的斜本原元.

沿用上一節(jié)的記號(hào).設(shè)H是一個(gè)有限維非余半單Hop f代數(shù).稱(chēng)H是純非余半單Hop f代數(shù)，如果H作為余代數(shù)是純非余半單的.容易驗(yàn)證，H是純非余半單Hop f代數(shù)等價(jià)于dim B1，11=0.

一般地，非余半單Hop f代數(shù)的結(jié)構(gòu)分成點(diǎn)態(tài)部分和非點(diǎn)態(tài)部分來(lái)考慮.點(diǎn)態(tài)部分由Andruskiew itsch的提升方法可以較清楚的了解其結(jié)構(gòu).本文更關(guān)心的是非點(diǎn)態(tài)的部分.

討論純非余半單Hopf代數(shù)有非常重要的意義.由［3，Proposition 1.8］知，H是純非余半單Hop f代數(shù)的等價(jià)條件是H的點(diǎn)態(tài)Hop f子代數(shù)都包含于G（H）.這就是說(shuō)其點(diǎn)態(tài)部分的結(jié)構(gòu)是平凡的，由此可以更直接的研究其非點(diǎn)態(tài)的部分.

注3.1在一些特定維數(shù)下，非余半單Hop f代數(shù)如果存在，則都是純非余半單Hopf代數(shù).由［9，Lemma 2.8］知，如果（|G（H）|，dim H/|G（H）|）=1成立，那么H是純非余半單Hop f代數(shù).更近一步，對(duì)任意的g∈G（H），如果ord（g）的平方不能整除dim H，則H是純非余半單Hopf代數(shù).舉例來(lái)說(shuō)，維數(shù)中沒(méi)有平方因子的非余半單Hop f代數(shù)都是純非余半單Hopf代數(shù).

命題3.7設(shè)H是一個(gè)純非余半單Hop f代數(shù).如果mH＜mH，那么存在b1，b2＞1和l＞m H＞1，使得Bb1，1l/=0和B 1，b2l/=0.

證由于H沒(méi)有非退化的斜本原元，有B1，11=0且mH＞1.

總結(jié)純非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件如下：

定理3.2如果一個(gè)純非余半單余代數(shù)有Hop f代數(shù)結(jié)構(gòu)，那么此余代數(shù)的塊系統(tǒng)一定滿(mǎn)足定理3.1，命題3.6和命題3.7.

4　容許性必要條件的應(yīng)用

應(yīng)用容許性的必要條件，得到了純非余半單Hop f代數(shù)的維數(shù)下界，給出了45維和105維Hop f代數(shù)的簡(jiǎn)化分類(lèi)結(jié)果.

命題4.1如果H是純非余半單Hop f代數(shù)，設(shè)|G（H）|=r，那么有

證由命題3.6知，存在d＞1和k＞1，使得H的塊系統(tǒng)中一定有以下6個(gè)非零塊：

已知

則dim H≥（2d+2）r+2lcm（d2，r）.命題得證.

為方便起見(jiàn)，對(duì)d＞1，r≥1，記η（r，d）=（2d+2）r+2lcm（d2，r）.

命題4.2設(shè)H是純非余半單Hop f代數(shù)，|G（H）|=r.如果mH＜mH，那么有

證由命題3.6和命題3.7知，存在b1，b2＞1和l＞mH＞1，k＞1，使得H的塊系統(tǒng)中一定有以下10個(gè)非零塊：

與命題4.1的證明類(lèi)似，有dim H≥（2b1+1）r+lcm（b1b2，r）+η（r，b2）.命題得證.

從［10，Theorem 2］的證明可知，如果H是一個(gè)奇數(shù)維的Hop f代數(shù)，則有|G（H）|＞1或

推論4.1設(shè)A是一個(gè)45維Hop f代數(shù)，如果A是非余半單非點(diǎn)態(tài)的，且|G（A）|＞1，那么有

（i）|G（A）|=3；

（ii）存在Hopf子代數(shù)T?A，使得T～=T3，這里T3是32維的Taft代數(shù)；

（iii）A的多維單余子代數(shù)有相同維數(shù)d2，并且d=2或3.

證可以證明A一定不是純非余半單Hopf代數(shù).假設(shè)A是純非余半單Hop f代數(shù).如果|G（A）|=5，9，15，由命題4.1知，dim A＞45，矛盾.如果|G（H）|=3，容易驗(yàn)證mA＜mA，由命題4.2知，dim A＞45，矛盾.所以A一定不是純非余半單Hopf代數(shù).

已知A包含非退化的斜本原元，由［3，Proposition 1.8］知，這些非退化的斜本原元生成一個(gè)pq2型的A的點(diǎn)態(tài)Hop f子代數(shù)T.由Nichols-Zoeller定理知，dim T整除45.則dim T=32. Andruskiew itsch和Schneider在［11］證明了p2型的非余半單Hop f代數(shù)都是Taft代數(shù).所以有T～= T3.（ii）得證.

推論4.2設(shè)A是一個(gè)105維Hopf代數(shù)，且|G（A）|＞1.如果|G（A）|/=3，那么A是余半單的.

證假設(shè)A是非余半單的，則|G（A）|/=105.由注3.1知，A是純非余半單Hop f代數(shù).由命題4.1給出的維數(shù)下界知，|G（A）|/=15，21，35.如果|G（A）|/=5，7，容易驗(yàn)證mA＜mA，由命題4.2知，d im A＞105，矛盾.則只有|G（A）|=3，與題設(shè)矛盾.所以A是余半單的.

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M R Su b jec t C lassifica tion:16T 05；16T 15

N ecessary cond itions for coalgeb ras being adm issib le

FAN Zhong-ping
（School of Math.Sci.，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027，China）

In this paper，necessary conditions are given for non-cosem isim ple and pure noncosem isim p le coalgeb ras being adm issible，using b lock system s built for Hop f algeb ras through their coalgebra structure.The im plications sim plify the classification for Hopf algebras of dimension 45 and 105 and p rovide a new m ethod for the finite d im ensional Hop f algeb ras classification problem.

coalgebra；adm issibility；Hopf algebra；classification；block system

O 153

1000-4424（2016）02-0225-08

2016-03-17

國(guó)家自然科學(xué)基金（11271319）