孫淑光，王天游，程 鵬, 賈昌磊

(中國民航大學(xué)，天津 300300)

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MEMS慣性傳感器隨機誤差分析與去噪研究

孫淑光，王天游，程 鵬, 賈昌磊

(中國民航大學(xué)，天津 300300)

針對MEMS傳感器中存在的誤差，采用Allan方差法分析法分析其存在的誤差類型，并通過改進小波閾值函數(shù)、調(diào)整分解尺度觀察存在的誤差項在去噪前后的變化，探究各誤差項與閾值函數(shù)、分解尺度之間存在的關(guān)系，從而有針對性地對MEMS慣性傳感器中存在的特定隨機誤差進行降噪;結(jié)果表明：幾類改進閾值函數(shù)對角(速)度隨機游走的抑制效果與軟、硬閾值函數(shù)無明顯差異，效果并不理想；不同的尺度分解可以去除不同的誤差項，從而提高MEMS傳感器精度。

MEMS慣性傳感器；隨機誤差；Allan方差；小波閾值去噪

0 引言

MEMS慣性傳感器由于體積小、成本低、能耗小、可靠性高、響應(yīng)時間短等特點，在低成本慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。通過對慣性傳感器輸出的角速度和加速度進行積分獲得載體的位置、速度和姿態(tài)信息[2]，但由于傳感器輸出信號中存在量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機游走及速率斜坡等誤差[3]，這些誤差在積分過程中的累積會導(dǎo)致慣導(dǎo)系統(tǒng)輸出精度隨時間的增長而降低，因此必須對這些誤差進行分析和去噪。Allan方差在分析MEMS傳感器誤差方面有顯著的優(yōu)勢，它能夠有效地識別各項誤差源，并對誤差項系數(shù)進行估計[4]。

D.L.Donoho在1995年提出小波閾值去噪法，該方法因其簡單有效得到了廣泛的應(yīng)用。但該方法所使用的軟、硬閾值函數(shù)存在

一些問題需要進行改進。如硬閾值函數(shù)在閾值點處不連續(xù)；軟閾值函數(shù)估計的小波系數(shù)與原始小波系數(shù)之間存在恒定偏差。本文在用Allan方差法分析出該慣性傳感器中存在的誤差類型之后，利用國內(nèi)外近幾年內(nèi)提出的改進小波閾值去噪法對傳感器誤差進行去噪，結(jié)果表明改進函數(shù)并無明顯優(yōu)勢不適合應(yīng)用在MEMS傳感器的誤差去噪中。通過調(diào)整分解尺度可以消去不同類型的誤差項，從而提高MEMS慣性傳感器的精度。

1 慣性傳感器隨機誤差分析

1.1 Allan方差分析法

Allan方差法是20世紀60年代中期為了研究精密振蕩器的頻率穩(wěn)定性而發(fā)展起來的一種時域分析法，它能夠有效地辨別各類誤差源及其對噪聲統(tǒng)計特性的貢獻。下面簡要論述Allan方差的定義和原理[5]。

設(shè)采樣點個數(shù)為N，采樣間隔為t，將采樣數(shù)據(jù)分為K組,每組包含m(m<(N-1)/2)個采樣點。

每組持續(xù)時間T=mt稱為相關(guān)時間，每組采樣點均值為：

(1)

Allan方差定義為：

(2)

Allan方差σ2(T)與噪聲項的雙邊功率譜密度(PSD)之間具有如下關(guān)系:

(3)

表1 Allan標(biāo)準差與各誤差項對應(yīng)關(guān)系

在實際中，當(dāng)采樣點個數(shù)確定后，Allan方差的估計精度取決于獨立數(shù)組的數(shù)量，Allan方差的估計誤差為：

(4)

其中，n為采樣點個數(shù)，m為每組采樣點個數(shù)。(4)式表明相關(guān)時間T越長，即m越大，估計誤差越大。例如，有20 000個采樣點，每組采樣點個數(shù)為2 000，那么估計誤差近似為24%，而如果每組采樣點個數(shù)為200，那么估計誤差僅有7%，所以應(yīng)合理選擇最大相關(guān)時間，通過實驗本文將m設(shè)為5 000。

1.2 MEMS慣性傳感器的Allan方差分析

室溫條件下，將MEMS慣性傳感器靜止置于水平試驗臺上，為確保傳感器不受溫度的影響，在采樣前先對傳感器預(yù)熱5～10 min，預(yù)熱完成后，以25 Hz的頻率對陀螺儀和加速度計持續(xù)采樣3小時，然后對采樣數(shù)據(jù)進行Allan方差分析。為了保證該慣性系統(tǒng)的輸出是穩(wěn)定的，對該傳感器連續(xù)采樣一個星期，Allan方差計算結(jié)果相差不大，表明靜止時傳感器工作穩(wěn)定，限于篇幅不再列出計算結(jié)果。陀螺儀和加速度計三個軸向測量值的σ(T)-T雙對數(shù)曲線分別如圖1、圖2所示。

圖1 角速度Allan標(biāo)準差雙對數(shù)曲線

圖2 加速度Allan標(biāo)準差雙對數(shù)曲線

由圖中曲線的斜率可以看出：T∈[0,100]時，隨機誤差項為角(速)度隨機游走(斜率為-1/2部分)，T∈[100,500]時曲線趨于水平，此時隨機誤差項為零偏不穩(wěn)定性。由圖中還可以看出角(速)度隨機游走是影響精度的關(guān)鍵因素，零偏不穩(wěn)定性產(chǎn)生的誤差比較小可以忽略，角(速)度隨機游走是由角速率(速度)隨機白噪聲積分引起的具有隨機游動特性的誤差角(速度)增量。由圖中曲線斜率以及表1中Allan方差與角(速)度的關(guān)系式可以計算出角(速)度隨機游走誤差系數(shù)，根據(jù)(4)式可求得Allan方差估計誤差為10%，由于陀螺儀和加速度計輸出數(shù)值均已秒為單位，所以要進行單位轉(zhuǎn)換，陀螺儀和加速度計的主要誤差系數(shù)及其修正值如表2。

表2 陀螺儀、加速度計Allan方差主要誤差項系數(shù)(deg/s0.5)

由此可見，所用MEMS傳感器的陀螺儀和加速度計的主要誤差項為角(速)度隨機游走誤差，針對其誤差成分對其進行誤差去噪，下面分析改進小波閾值去噪法以及不同分解尺度的去噪效果，并對傳感器的誤差進行有效去噪。

2 小波去噪法

2.1 小波去噪法原理

利用小波變換進行的信號去噪實質(zhì)上是抑制信號的無用部分，增強信號的有用部分，通常有用信號位于序列的低頻部分，噪聲信號處于序列的高頻部分，利用小波變換把含噪信號分解到多尺度上，然后在每一尺度下把屬于噪聲信號的小波系數(shù)去除，保留并增強屬于有用信號的小波系數(shù)，最后重構(gòu)出消噪后的信號。目前小波去噪有3種方法：①波變換模極大值去噪方法，該方法直接用有限個模極大值點重構(gòu)信號，造成的誤差較大；②空域相關(guān)去噪法，該方法需估計噪聲信號的方差，且計算量較大；③閾值去噪法，該方法不需要對噪聲信號做任何估計，計算量較小且能獲得很好的去噪效果[7]。這3種小波去噪方法中，閾值去噪法因其相對簡單、計算量小并且能夠的到良好的濾波效果，在實際信號處理中得到了廣泛的應(yīng)用。

2.2 MEMS陀螺儀小波閾值去噪法

閾值去噪法就是將含噪信號分解到多尺度上，對每一尺度上的小波系數(shù)設(shè)定一個閾值，小于該閾值的系數(shù)置為零，大于該閾值的系數(shù)保留。閾值去噪法分為如下三步[8]：

1)原始信號的小波分解。選擇一個小波并確定分解的層次，然后進行分解計算;

2)小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。對各個分解尺度下的高頻系數(shù)選擇一個閾值進行硬閾值或軟閾值量化;

小波系數(shù)閾值的選擇會直接影響去噪效果，依據(jù)對小波系數(shù)處理方法的不同，通常有軟閾值法(soft shrinkage)和硬閾值法(hard shrinkage)。

硬閾值函數(shù)：

(5)

軟閾值函數(shù)：

(6)

閾值函數(shù)的不同體現(xiàn)了不同的處理小波系數(shù)的策略，無論是軟閾值法還是硬閾值法，均認為小于閾值的小波系數(shù)是由噪聲引起的，直接將其置零，在處理大于預(yù)定閾值的小波系數(shù)時，硬閾值法將其保留下來不作任何處理，而軟閾值法將其作收縮處理。

軟硬閾值的數(shù)學(xué)表示如圖3所示，由圖中可以看出硬閾值處理后的小波系數(shù)(右側(cè))是不連續(xù)的，這可能會引起重構(gòu)信號的振蕩，并對其光滑性產(chǎn)生影響，軟閾值處理后的系數(shù)(左側(cè))與處理前的小波系數(shù)存在恒定偏差，會影響重構(gòu)的精度，導(dǎo)致重構(gòu)信號邊緣模糊[9]。

圖3 軟硬閾值法

圖5 不同分解尺度去噪后信號對比

2.3 MEMS慣性傳感器的改進小波閾值去噪法

為了克服軟、硬閾值的缺陷，國內(nèi)外提出了多種改進的算法，本文選取幾種有代表性的算法來分析其在處理MEMS角(速)度隨機游走誤差上的性能。

2.3.1 軟、硬閾值折衷法

折衷法的表達式為[10]：

(7)

式中，α為可變參數(shù)且α∈[0,1]。α=0時等效于硬閾值函數(shù)，α=1時等效于軟閾值函數(shù)，調(diào)整α值函數(shù)在軟、硬閾值函數(shù)之間變換。

2.3.2 均方根閾值法

均方根閾值函數(shù)的表達式為[11]：

(8)

2.3.3對數(shù)閾值法

對數(shù)閾值函數(shù)的表達式為[12]：

(9)

2.3.4 指數(shù)閾值法

指數(shù)閾值法的表達式為[13]：

(10)

2.3.5 去噪分析

本文采用上述幾種方法對MEMS慣性傳感器的角(速)度誤差進行去噪分析，不同閾值法去噪后信號的方差如表3所示，Allan方差曲線如圖4所示(以對數(shù)法為例)。

圖4 不同閾值法去噪后Allan方差曲線對比

由表3中不同方法去噪后的方差數(shù)據(jù)可以看出：經(jīng)不同閾值去噪法去噪后，陀螺儀和加速度計輸出信號方差均變小，噪聲在一定程度上得到抑制。但是，由圖4可以看出：角(速)度隨機游走誤差有所減小，但仍殘留很大一部分誤差，且與軟、硬閾值函數(shù)去噪效果類似。由此可見，改進的小波閾值去噪法對于MEMS陀螺儀和加速度計中的角(速)度隨機游走誤差的去噪效果并不明顯，因此，需要選擇另外的方法來提高去噪效果。

3 分解尺度對不同隨機誤差的影響

考慮到分解尺度會對信號去噪產(chǎn)生影響，本文進一步通過調(diào)整小波分解尺度的大小來改善去噪效果，研究分解尺度與不

表3 不同閾值去噪法去噪后信號方差對比

表4 不同分解尺度下角(速)度隨機游走系數(shù)(單位：deg/h0.5誤差：±10%)

表5不同分解尺度去噪后陀螺儀、加速度計輸出信號方差

同隨機誤差的關(guān)系。由于幾個坐標(biāo)軸輸出數(shù)據(jù)類似，且主要誤差均為角(速)度隨機游走誤差，所以以陀螺儀X軸輸出數(shù)據(jù)為例進行分析。

不同分解尺度去噪后信號方差與Allan方差如圖6，不同尺度去噪后的隨機游走系數(shù)及方差如表4和表5。

圖6 不同尺度分解后Allan方差曲線對比

由圖5、6以及表4、5數(shù)據(jù)可以看出：當(dāng)分解尺度達到11時，基本可以去除角(速)度隨機游走誤差，但零偏不穩(wěn)定性誤差沒有減小，當(dāng)繼續(xù)增大分解尺度時可以減小零偏不穩(wěn)定性，由此，可以得出結(jié)論：不同的尺度分解可以去除不同類型的誤差?？紤]到本文所用傳感器主要誤差為角(速)度隨機游走，且為了是陀螺儀輸出分辨率達到0.001o～0.005o，因此選擇11尺度分解，并取得了良好的去噪效果，提高了精度。

4 結(jié)論

本文利用Allan方差法成功的分析出存在于陀螺儀和加速度計中的主要誤差項，并基于該結(jié)果通過實驗驗證改進的小波閾值法對該類誤差的抑制并不理想，而調(diào)整分解尺度可以去除不同類型的誤差。最后得出結(jié)論：改進的小波閾值去噪法不適合用于MEMS慣性傳感器的誤差去噪，而合適的尺度分解對去除特定的誤差項有明顯效果。

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Analysis and Denoising MEMS Inertial Sensors Stochastic Error

Sun Shuguang, Wang Tianyou, Cheng Peng ,Jia Changlei

(Civil Aviation University of China,Tianjin 300300, China)

To address the errors in MEMS inertial sensor,the Allan variance was used to analyze the error types.By means of improving the wavelet thresholding function and changing the decomposition level to observe how the error types change before and after denoised and explore weather there is a qualitative relationship between them.The result shows that the improved wavelet thresholding functions have no advantage in restraining angle(velocity) random walk than hard and soft thresholding function,but different decomposition levels can remove different error term, so it can be used to improve the MEMS sensor precision.

MEMS inertial sensor;stochastic error;Allan variance; wavelet threshold denoising

2015-09-16；

2015-10-26。

中國民航局安全能力建設(shè)項目(AADSA0007)。

孫淑光(1970-)，女，山東人，教授、碩士研究生導(dǎo)師，主要從事民用航空導(dǎo)航，新航行系統(tǒng)方向的研究。

1671-4598(2016)03-0291-05

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.03.080

TP212.9

A

王天游(1988-)，河北衡水人，主要從事民用航空導(dǎo)航，控制及信息處理技術(shù)方向的研究。