關勇

親愛的小北：

你上次來信說我教小學數(shù)學超過三十個年頭了，一定有不少經(jīng)驗，可否談談如何對孩子進行數(shù)學啟蒙，你家的寶寶三歲了。我最近都在想如何負責任地跟你談這個問題，我想我要分以下四點來談。

一、數(shù)學啟蒙不當危害大

現(xiàn)在的家長普遍重視孩子的學前教育，大多數(shù)的學齡前兒童，已經(jīng)能夠計算20以內的加減法，有的甚至會計算100以內的加減法、會背誦乘法口訣。但是，當兒童成為學生之后，經(jīng)過一段時間的學習，提前起步的優(yōu)勢并不明顯，有的甚至還不如沒有提前學習的孩子。究其原因，啟蒙不當：家長只重結果，不問過程。用句行話來說，就是孩子的“數(shù)學化”進程不通暢，或者說是“數(shù)學化”進程受阻。

著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，數(shù)學化就是“把生活世界引向符號世界” ，進而“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”。適時的、科學的數(shù)學啟蒙，就是讓兒童在生活情境中體驗，逐步由“量”抽象出“數(shù)”，建立數(shù)量關系，實現(xiàn)“數(shù)學化”。

二、數(shù)學啟蒙從“客體永久性”開始

孩子一出生，就開始接觸外部世界，但嬰兒還不具備“客體永久性”，消失就是不存在。對6個月以內的大部分孩子來說，看不見就是不存在。比如媽媽把一塊大毛巾遮擋在臉上，孩子就會哭；又比如，用一塊布將玩具遮住，孩子不會主動去揭開這塊布去尋找玩具。對6個月以上一周歲以內的孩子來說，漸漸地開始，即使物體不在眼前或者通過其他感覺器官感覺不到，孩子仍然知道物體是繼續(xù)存在的，會主動伸手去揭開遮擋物，漸漸學會捉迷藏的游戲了。18個月以上的孩子，對不在眼前的東西開始有心理表征。

從18個月開始到2周歲左右，大部分孩子具備了“客體永久性”。有時媽媽不直接在孩子的眼前，孩子能夠知道媽媽在家里某個位置，會時不時喊一聲或過去看一眼，以確認媽媽的存在。

兒童具備了“客體永久性”，就確信了物體的存在，會更加注意物體的一些特征，比如長短、大小、多少、輕重、快慢等，這些特征就是量。當兒童具備了“客體永久性”，開始數(shù)學啟蒙是一個適當?shù)臅r機。在這之前，任何形式的數(shù)學啟蒙只會事倍功半、拔苗助長。

三、數(shù)學啟蒙在“玩動”中進行

數(shù)學啟蒙不是簡單的讓兒童數(shù)數(shù)、做1+1=2和背乘法口訣，而是讓兒童在“玩動”的過程中，感受量的多少、數(shù)的大小，使孩子在進入小學后，順利的“數(shù)學化”，即從生活世界進入數(shù)學的符號世界。

1. 量的可比性

量的可比性是指同類量之間可以進行比較。通過比較，人們能作出某量較多，某量較少或某些量同樣多的判斷。很小的孩子在挑選物品時，如果包裝、顏色等方面的因素相同的情況下，一般會選擇多的、大的。這無關人之初性本善還是性本惡的討論，而關乎：孩子的這種能力是先天的還是后天的？是一種什么能力？這種能力就是人類先天具備的“量感”。許多動物也具備這種“量感”，比如鳥，窩里的蛋少了，就能察覺?！傲扛小笔侨藗冋J識量的可比性的先決條件，毫不夸張地說，沒有“量感”就不能認識量的可比性，沒有量的可比性，就不能建立數(shù)概念，也就沒有數(shù)學。

對人類先天的“量感”，家長的任務就是刺激、喚醒。數(shù)學啟蒙第一件事就是刺激、喚醒兒童的“量感”，讓孩子更多地去體驗和表達。

家長把長短不一的兩根小棒呈現(xiàn)在兒童面前，讓兒童取出長的一根，操作正確給予表揚，并指出剩下的一根是短的；也可以讓兒童取出短的一根，操作正確給予表揚，并指出剩下的一根是長的。進一步可以把更多的小棒呈現(xiàn)在兒童面前，要求兒童取出最長的和最短的一根，并在剩下的木棒中繼續(xù)取出最長的和最短的。適當?shù)臅r候可以要求兒童找出同樣長的兩根小棒。也可由孩子發(fā)指令，家長按指令操作，訓練孩子的語言表達。

除了語言表達，還可以訓練圖畫表達。家長畫一根小棒，讓孩子畫出更長的一根或更短的一根；家長畫一個圓圈，讓孩子畫出更大的圓圈或更小的圓圈。

以上活動也可以改用大小不同的硬幣或棋子進行，比比誰疊得高。對大一些的孩子還可以去體悟時間的長短，如“木頭人”的游戲，家長和孩子一起念念有詞：“轉轉轉，轉轉轉，我們都是木頭人，不許說話不許動”，然后擺個姿勢就不動了，誰能堅持住到最后誰就是勝者，并請裁判宣布獲勝者的時間。

“配對”活動是建立“多”、“少”、“同樣多”概念活動最為有效的方法。讓兒童學會用“……比……多”、“……比……長”、 “……比……圓”、 “……比……重”的句式表達。如乘車時，可以向兒童提問：是人比座位多，還是座位比人多，當有座位空時，座位多，人少；當有人站著無座位空時，人多，座位少；當每個人都有座而且無座位空時，人與座位同樣多，這是生活情境。

家長也可以創(chuàng)設操作情境，如讓兒童把茶杯蓋上杯蓋，然后比較茶杯與杯蓋的多少。還可以做“搶椅子”的游戲，讓兒童體悟到游戲中人始終比椅子多。正因為人多椅子少才有搶椅子的需要。

當兒童有了初步的“多”、“少”、“同樣多”的概念后，可以讓兒童把一些物體按大小次序排列起來，或者把長短不一的小棒按長短次序排列起來，以加深對量的可比性的理解。

通過多種形式的玩動，讓兒童逐步形成長、短、同樣長的概念，并知道長、短的相對意義，使兒童的“量感”在生活情境中得到體驗和表達。

2. 量的守恒性與可分性

建立了“多”、“少”、“同樣多”的概念后，認識量的守恒性才有可能。所謂量的守恒性，即量的多少不因空間或時間的改變而改變，也不因形態(tài)、顏色的改變而改變。把下圖里的蘋果當著兒童的面分散排列成右圖，如果孩子認為蘋果變多了，說明該孩子還不具備量的守恒，但切不可直接告訴孩子變化前后是同樣多的。

家長可以先讓孩子觀察數(shù)量較少的物體，如把一雙筷子分開放，看有沒有變多或變少，橫著放是否比豎著放長一些。然后逐步增加物體的數(shù)量并改變物體的形態(tài)讓兒童判斷。如一把筷子捆在一起，然后散開，比較前后兩次是否同樣多。這種訓練要經(jīng)常變換形式做，并結合下面將要談的量的可分性進行。

量的可分性，是指一個量作為整體可以分為若干個部分，其中每部分都小于整體，各部分合起來還是這個整體。比如，我們可以把一塊巧克力糖分成3塊吃，也可以把一塊巧克力糖分成更多的塊數(shù)。但不管怎樣分，任何一小塊總比原來的巧克力小。如果我們把分開的巧克力糖合起來，還是原來的一塊，又重新回到了量的守恒性。

兒童認識并熟悉量的守恒性和可分性，應當在學齡前完成，為兒童入學后建立數(shù)概念作必要的準備。這個準備如果不充分，兒童對數(shù)的認識只能是表面的、形式的和計算的。

四、數(shù)學啟蒙在“數(shù)” 概念形成后完成

數(shù)學啟蒙還將延續(xù)到兒童入學以后。數(shù)概念的形成是一個抽象概括的過程，一般在兒童入學后完成。例如“2”這個數(shù)就是從2個人、2張桌子等凡是代表2個物體的許許多多具體實物中抽象出來的概念，它是精確的、抽象的量。要學生掌握理解并不是一件容易的事?？v觀人類數(shù)概念的形成歷史，早期的數(shù)概念是極端具體的。如英國有一個民族的語言，有好幾種不同的數(shù)字：一種用于走獸和扁平的物體，一種用于時間和圓形的物體；一種是用于來數(shù)人的；一種是用于樹木和長形物體的等。不知過了多少年，人們才發(fā)現(xiàn)了對飛鳥和兩天同是數(shù)“2”的例子?？梢姡唧w的東西總是在抽象的東西之先。我們至今也保持著這種具體的數(shù)。如“5”用“一只手”表示。兒童數(shù)概念的形成過程只不過是人類數(shù)概念建立過程的一個縮影，這是不可違背的規(guī)律。

兒童對數(shù)的認識是建立在數(shù)表象基礎上的。根據(jù)學生思維的特點，我們應找到一個物化了的數(shù)表象，如5個人、5個玩具、一只手5個指頭，這三個集合的基數(shù)都是5。這種集合為“一般等價集合”，它的基數(shù)，就反映了量的基本屬性，而去除了那些與量的基本屬性無關的物理的、化學的、生命的形式?？梢赃x擇一般等價集中一個集合作為代表，來指明這一類集合的元素個數(shù)。許多民族都用“一只手”來表示5 。學生的板指計數(shù)，就是找到了一個物化了的數(shù)表象。把要數(shù)的物體與手指“配對”。如果物體正好能與五指對應，這些物體的個數(shù)就用5來表示。若手指不夠與物體對應，則說物體的個數(shù)比5多，若有手指空出而沒有物體與之對應，則說物體的個數(shù)比5少。

這些訓練當然也讓兒童在“玩動”中進行。如，畫數(shù)字長條，讓孩子沿著長條踩、跳，喜歡文靜一點的孩子也可以擲骰子玩跳棋。還可以進行角色扮演，如小小售貨員，商品上貼上標價（簡單的1元、2元），售貨時比對標價，點數(shù)硬幣的個數(shù)。

通過計數(shù)的訓練，對自然數(shù)一、二、三……的表象，即符號1、2、3……就不會感到是一個空洞無物的，而是一個有豐富內容的音形義集于一體的數(shù)詞。

在形成數(shù)表象的同時，量的基本性質映射到數(shù)概念中來。量的可比性，從3只蘋果比2只蘋果多，變換為3比2大，實現(xiàn)了數(shù)的可比性，造成了數(shù)的群體結構，即數(shù)有大小順序。

當兒童建立了正確的數(shù)概念后，數(shù)學啟蒙就算完成了。

如此大談一通，不知道對你有無幫助。

祝春安！

您的朋友 老庸

（作者單位：江蘇南通市崇川學校）

責任編輯 李 淳