□浙江省杭州市景芳中學(xué) 吳潔慧

□浙江省杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院 易良斌

基于微課學(xué)習(xí)·歷經(jīng)認(rèn)知過程·領(lǐng)略思想方法
——以“圓的知識(shí)”學(xué)習(xí)微課設(shè)計(jì)為例

□浙江省杭州市景芳中學(xué) 吳潔慧

□浙江省杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院 易良斌

微課又名微型課程，是指以微型教學(xué)視頻為主要載體，教師針對某個(gè)學(xué)科知識(shí)點(diǎn)、技能點(diǎn)或教學(xué)環(huán)節(jié)而設(shè)計(jì)開發(fā)的一種情景化、支持多種學(xué)習(xí)方式的在線視頻網(wǎng)絡(luò)課程。“微課程”一般在10分鐘以內(nèi)，以使學(xué)習(xí)者自主學(xué)習(xí)獲得最佳效果。微課的特質(zhì)決定它“簡約而不簡單，聚焦而不寬泛”?；谶@樣的思考，一個(gè)有價(jià)值的微課首先要關(guān)注“學(xué)什么”，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來說，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價(jià)值所在，就是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心原動(dòng)力——數(shù)學(xué)思想方法。

一、忽視弦與圓心的位置關(guān)系造成漏解問題

1.微課背景。圓是重要的幾何圖形之一。由于圖形位置、形狀、大小不確定，決定了網(wǎng)中某些問題為多解問題，在解答時(shí)極易產(chǎn)生漏解。因此，解答這類問題時(shí)一定要仔細(xì)分析，縝密思考，充分運(yùn)用分類討論思想，正確畫圖，逐一解答，才能圓滿解題，切忌因思維定勢或考慮不周而造成漏解。

2.微課目標(biāo)。

（1）經(jīng)歷探索解決有關(guān)弦和圓心的不同位置關(guān)系產(chǎn)生不同解的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；

（2）理解并領(lǐng)悟分類討論思想在解題中的重要性，并能提煉出分類思想的精髓就是找到分類的依據(jù)，也就是明確分類標(biāo)準(zhǔn)。

3.微課設(shè)計(jì)。

（1）一圓兩弦。

問題1：這道關(guān)于圓的幾何題，沒有圖，不方便，你能把圖畫出來嗎？

問題2：和小組內(nèi)的同學(xué)互相看看，比較一下，你們畫的圖一樣嗎？討論一下這是為什么？你分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

問題3：畫好圖了，為了求解我們是否需要畫輔助線？你添線的目的是什么？

問題4：過程中，你用到了哪些知識(shí)點(diǎn)？

【解法指導(dǎo)】

解法一：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、C在AB的異側(cè)時(shí)，連結(jié)CO、DO。

例2.已知兩圓的半徑分別為10cm、17cm，公共弦長為16 cm，求圓心距的長。

問題1：這道同樣關(guān)于圓的幾何題，沒有圖，不方便，你能把圖畫出來嗎？

問題2：和小組內(nèi)的同學(xué)互相看看，比較一下，你們畫的圖一樣嗎？討論一下這是為什么？這次你分類的標(biāo)準(zhǔn)又是什么？

問題3：畫好圖了，為了求解我們是否需要畫輔助線？你添線的目的是什么？

問題4：過程中你用到了哪些知識(shí)點(diǎn)來幫助我們計(jì)算？

【解法指導(dǎo)】

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系，弦徑定理，勾股定理。

分析：設(shè)⊙O1的半徑為r=10，⊙2的半徑為R=17，公共弦為AB，兩圓的圓心的連線與公共弦的交點(diǎn)為C；那么根據(jù)垂徑定理，AC=BC=8，且出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形：△O1AC和△O2AC。利用勾股定理可求出O1C和O2C，就可求出O1O2：

在Rt△O1AC中，

同理，在Rt△O2AC中，O2C=6。

∴O1O2=O1C+O2C=15+6=21（cm）左圖，

或O1O2=O2C-O1C=15-6=9（cm）右圖。

練習(xí)：

1.⊙O的半徑為10cm，兩平行弦AC，BD的長分別為12cm，16cm，則兩弦間的距離是（）

A.2cmB.14cmC.6cm或8cmD.2cm或14cm

（3）小結(jié)。本節(jié)微課中由于沒有圖，因此弦與圓心的位置就會(huì)有不同的可能性，分類討論就是要抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)，在這里，兩弦一圓，就是關(guān)注圓心是在兩弦的同側(cè)還是異側(cè)；兩圓一弦，就要關(guān)注這條公共弦是在兩圓心的同側(cè)還是異側(cè)。

除了分類討論思想的滲透，本節(jié)課還綜合了有關(guān)三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，對于知識(shí)的綜合運(yùn)用能力較強(qiáng)，我們一定要在解題過程中明確推理的條件和結(jié)論，用好用對每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

4.設(shè)計(jì)說明。本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路：

二、在圓的背景下的相似問題

1.微課背景。推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的十大數(shù)學(xué)課程核心概念之一。發(fā)展學(xué)生的推理能力歷來是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要功能，幾何教學(xué)對學(xué)生推理能力的發(fā)展作用是不言而喻的。如何在幾何教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的推理能力，是幾何教學(xué)的重中之重。

“分析法”是演繹推理的一個(gè)重要的方法，一個(gè)學(xué)生分析問題能力的高低，往往決定著這個(gè)學(xué)生解決問題能力的強(qiáng)弱。本節(jié)微課采用“箭頭式”的反推分析，對提高學(xué)生的推理能力非常有利，條理也非常清晰。

2.微課目標(biāo)。

（1）會(huì)用“分析法”進(jìn)行演繹推理，培養(yǎng)學(xué)生推理能力。

（2）會(huì)靈活運(yùn)用圓和相似的相關(guān)知識(shí)，提高解決問題的綜合能力。

（3）滲透從“未知”到“已知”的轉(zhuǎn)化思想。

3.微課設(shè)計(jì)。

（1）試題呈現(xiàn)。

例3.（2015天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)P.求證：

（1）AC·PD=AP·BC；

（2）PE=PD。

（2）解法探究。

分析：（1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再根據(jù)DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據(jù)此判斷出PE=PD。

（2）首先根據(jù)△AEP∽△ABC，判斷出；然后根據(jù)PE=PD，可得，據(jù)此判斷出AC·PD=AP·BC即可。

用“箭頭式”的分析圖可以更加清晰：

【解答示例】解：先證第二小題。

點(diǎn)評：（1）此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.

（3）鞏固練習(xí)。（略）

（4）小結(jié)。

（5）設(shè)計(jì)說明。這節(jié)微課用時(shí)10分鐘左右，運(yùn)用“綜合分析法”來解答的方法教學(xué)，即是“由果索因”，使學(xué)生對這種解題策略有深刻的認(rèn)識(shí)和理解，并進(jìn)行深入思考，實(shí)現(xiàn)條件和結(jié)論的轉(zhuǎn)化，從而深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)核心思想中的轉(zhuǎn)化的思想。