梁 霖， 栗茂林， 李利邦， 劉 飛， 徐光華,3

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 西安，710049) (2.西安交通大學(xué)工程坊 西安，710049) (3.西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安，710054)

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基于非負(fù)矩陣分解的單通道故障特征分離方法

梁 霖1， 栗茂林2， 李利邦1， 劉 飛1， 徐光華1,3

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 西安，710049) (2.西安交通大學(xué)工程坊 西安，710049) (3.西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安，710054)

針對單通道振動信號的多特征分離問題，提出了一種基于正交非負(fù)矩陣分解的故障特征提取方法。首先，采用短時傅里葉變換，利用時頻分布來描述信號中的局部故障特征，通過核心一致性指標(biāo)評估子空間維數(shù)；然后，在幅值譜矩陣分解的基礎(chǔ)上，通過正交性約束實(shí)現(xiàn)低維嵌入分量信息的分離，獲取局部特征的準(zhǔn)確描述；最后，采用相位恢復(fù)理論重構(gòu)出特征波形，對仿真信號和滾動軸承故障數(shù)據(jù)進(jìn)行了測試。結(jié)果表明，所提出的方法能利用單通道信號有效地分離出微弱的局部故障特征，為機(jī)械狀態(tài)的早期故障診斷識別提供了一種有效手段。

非負(fù)矩陣分解； 單通道信號； 特征提?。?故障診斷

引 言

在設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)的監(jiān)測診斷中，軸承座上的測量傳感器能夠提供多個部件的信息，包括齒輪振動及嚙合、軸承振動，轉(zhuǎn)子振動以及其他干擾噪聲等。在某些情況下，振動信息只能利用單傳感器采集，考慮到安裝成本，往往在每級單側(cè)安裝振動傳感器。因此，需要利用單通道振動信號的盲分離提取出故障特征分量。

對于包含了多源信息的信號來說，通?？梢圆捎米儞Q域?yàn)V波方法實(shí)現(xiàn)多源分量的分離。比如：采用自適應(yīng)Winner濾波器實(shí)現(xiàn)多信號的分離[1-2]；采用獨(dú)立主分量分析、盲源分離、基函數(shù)法、稀疏分解以及多參數(shù)聯(lián)合估計(jì)等方法實(shí)現(xiàn)多源信號分解[3-6]。非負(fù)矩陣分解(non-negative matrix factorization， 簡稱NMF)作為一種新的矩陣分解算法，克服了傳統(tǒng)矩陣分解的很多問題[7-8]，通過對非負(fù)矩陣的聚類分析，有效地提取出局部特征[9-13]，同時具有物理意義明確和計(jì)算簡單等優(yōu)勢，成為單通道振動信號源分離的一種有效手段。

由于設(shè)備結(jié)構(gòu)、運(yùn)行環(huán)境等因素，往往導(dǎo)致振動測量信號信噪比較低，多振動分量信息相互干擾，通過NMF的局部學(xué)習(xí)能力，可以有效地將故障振動分量實(shí)現(xiàn)分離，從而為運(yùn)行狀態(tài)分析提供解決工具。為此，在單通道信號的NMF特征提取中，通過原始觀測矩陣的構(gòu)建和低維嵌入維數(shù)的選擇，設(shè)計(jì)基于正交非負(fù)矩陣分解的特征分離方法，并通過模擬數(shù)據(jù)及軸承故障數(shù)據(jù)進(jìn)行有效性驗(yàn)證。

1 非負(fù)矩陣分解原理

對一個m維的隨機(jī)向量v進(jìn)行n次觀測，得到觀測矩陣V=[v1,v2,…，vn]，非負(fù)矩陣分解的問題可定義為：已知非負(fù)矩陣V，找出非負(fù)矩陣W和H，使式(1)成立[14]

(1)

其中：V為m×n維的非負(fù)矩陣；W為m×k維的基矩陣；H為k×n維系數(shù)矩陣。

由于m>>k，從而實(shí)現(xiàn)了觀測矩陣的約簡。

為了尋找合理的W和H，以常用歐幾里得距離(Euclidean distance)作為目標(biāo)函數(shù)，則式(1)的逼近可以視為一個優(yōu)化問題

(2)

其中：‖·‖F(xiàn)為矩陣的Frobenius范數(shù)。

針對式(2)的優(yōu)化問題，目前已經(jīng)提出了多種迭代算法，如乘性迭代算法、梯度下降算法、交替非負(fù)最小二乘算法以及改進(jìn)算法等[15]。

2 正交非負(fù)矩陣分解算法

NMF作為一種基于局部表示整體的策略，在提取過程中，若不同源信號間的相似度越低，所表現(xiàn)出的局部性就越強(qiáng)，分解結(jié)果就越好。這一特性表現(xiàn)為基向量之間的正交性。在設(shè)備故障診斷中，如數(shù)據(jù)中源信號彼此間的特征差異不明顯，那么分解的向量間就會存在冗余，不利于后續(xù)分析。帶有正交性約束的非負(fù)矩陣分解方法(orthogonal NMF，簡稱ONMF)[16]可以有效地滿足這種需求，即通過求解正交約束項(xiàng)的優(yōu)化，獲取的結(jié)果帶有正交性。針對基矩陣W和權(quán)矩陣H施加正交性的目標(biāo)式可表示為

(3)

(4)

其中：I為單位矩陣。

式(3)和式(4)可以通過引入拉格朗日乘子求得約束問題的近似解。求解的運(yùn)算量和矩陣維數(shù)密切相關(guān)，維數(shù)較大，計(jì)算量就會很大。因此，將正交性因子矩陣的產(chǎn)生包含在目標(biāo)優(yōu)化中[17]，即對W和H施加正交性的目標(biāo)

(5)

(6)

其中：λ為正交性系數(shù)且λ≥0。

求解式(5)的迭代為

(7)

(8)

其中：?表示矩陣元素之間的乘法(除法是矩陣元素之間的除法)。

互換W和H位置可以得到H的正交性懲罰迭代規(guī)則

(9)

(10)

由于正交性約束項(xiàng)是嵌入在目標(biāo)優(yōu)化方程中，因此最終的正交性是通過分解逐步得到的，無需額外的約束項(xiàng)，其計(jì)算量也有顯著下降。

3 基于ONMF的單通道特征分離

結(jié)合ONMF和設(shè)備振動信號特點(diǎn)，提出了一種基于單通道機(jī)械混合振動信號分離方法，通過構(gòu)造觀測矩陣和選擇子空間維數(shù)，基于ONMF的特征分離以及波形重構(gòu)實(shí)現(xiàn)特征分離。

3.1 觀測矩陣的構(gòu)造

設(shè)備故障往往導(dǎo)致振動信號的非平穩(wěn)性表現(xiàn)，因此，時頻域分析可以有效地提取局部故障信息并構(gòu)成特征矩陣。目前，時頻分析方法有短時傅里葉變換(short-time Fourier transform，簡稱STFT)、小波變換和小波包分析等。雖然小波與小波包分解方法極大地改善了信號的時頻分析效果，甚至已經(jīng)逐步成為時頻分析的首選方法。但基函數(shù)的選取需要和信號中特征類型相匹配，才能較好地提取信號中的局部特征，而設(shè)備振動信號中往往包含多源信號，單一基函數(shù)勢必造成局部故障信息衡量的偏差。

相比而言，STFT參數(shù)較少、計(jì)算簡便，且對振動信號中的高頻突發(fā)分量和長周期準(zhǔn)平穩(wěn)分量非常敏感，因此選取STFT進(jìn)行分析

(11)

其中：x(t)為時域信號；w(t)為窗函數(shù)。

3.2 低維空間維數(shù)的選擇

對于高維觀測矩陣來說，低維子空間維數(shù)k是分解中的重要參數(shù)，直接影響到分解與提取的效果。k值過大會損失降維效果，削弱源信號的信息量，k值較小會降低分解精度，增大冗余。為了克服傳統(tǒng)主分量分析(principal component analysis,簡稱PCA)方法中存在的缺陷，采用核心一致性計(jì)算方法來選擇k值[18]，即通過計(jì)算數(shù)據(jù)的平滑系數(shù)

(12)

最優(yōu)分量k的選擇應(yīng)滿足如下標(biāo)準(zhǔn)

(13)

當(dāng)G指標(biāo)最小時，所對應(yīng)的p值即為由該信號獲取到的觀測矩陣V的最優(yōu)分解維數(shù)k。

3.3 基于ONMF的單通道信號特征提取方法

基于上述分析，對于包含多特征分量振動信號x(t)，提出了一種單通道信號特征提取方法，其流程如下：

1) 將單通道信號通過STFT變換到時頻域中，并保留幅度信息，獲得幅值譜V；

2) 利用核心一致性方法估計(jì)出V中的低維子空間維數(shù)k值；

3) 基于ONMF算法對V進(jìn)行k維分解，得到基矩陣W和權(quán)矩陣H；

4) 在低維子空間中，選擇目標(biāo)信號向量對應(yīng)的幅值譜Ys=W(:,s)*H(s,:)；

5) 根據(jù)式(14)所示的相位恢復(fù)理論方法重構(gòu)時頻譜，并基于短時傅里葉變換的逆變換(inverse short-time Fourier transformation，簡稱ISTFT)將時頻譜變換到時域中，獲得分離的特征分量波形xs(t)。

(14)

其中：F為混合信號的時頻譜；Yi為分離出的第i個幅值譜；Si為重構(gòu)得到的第i個時頻譜(含相位信息)。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證文中特征分離的效果，采用由3個正弦信號構(gòu)成的仿真信號進(jìn)行分析。仿真信號表示為

A2sin(2πf2t)+sin(2πf3t)

令：A1=2，A2=2.5，f1=200 Hz，f2=300 Hz，f3=400 Hz。同時將3個正弦信號中的部分波形置零，設(shè)采樣頻率為1 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000點(diǎn)。圖1和圖2分別為3個源信號與混合后的仿真信號波形。

圖1 3個源信號的時域波形Fig.1 Waveform of three simulation signals

圖2 混合信號的時域波形Fig.2 Waveform of mixed-signal by three simulation signals

對于混合仿真信號，采用文中的特征提取方法進(jìn)行分析，首先通過STFT獲得時頻譜矩陣，其中窗函數(shù)為漢寧窗。在時頻矩陣分解中，采用ONMF提取基函數(shù)W與權(quán)分布H，其中獲取的W各向量分布如圖3所示。作為對比，采用傳統(tǒng)NMF分解的基矩陣W各向量分布如圖4所示。

對比圖3和圖4的兩種基向量分布可知，由于ONMF加強(qiáng)了基向量間的獨(dú)立性，圖3所示的3個基向量間互不干擾地分離出源信號。圖4中由于缺少約束導(dǎo)致傳統(tǒng)NMF分解的基向量間存在冗余，無法準(zhǔn)確描述3個正弦信號。其次，結(jié)合原信號時頻譜與所提取的沖擊幅度譜，采用ISTFT方法可以獲得圖5所示的時域重構(gòu)波形。

圖3 ONMF提取的基向量W分布Fig.3 Distribution of basis vectors W extracted by ONMF

圖4 NMF提取的基向量W分布Fig.4 Distribution of basis vectors W extracted by NMF

圖5 重構(gòu)的模擬信號波形Fig.5 Waveform of the reconstructed signals

由圖3～5對比可見，ONMF在分解冗余量較大的信號時能克服傳統(tǒng)NMF的缺點(diǎn)，表明了其在振動信號分離中的優(yōu)勢。

5 應(yīng)用實(shí)例

為驗(yàn)證算法的有效性，采用滾動軸承振動實(shí)驗(yàn)臺的振動加速度信號進(jìn)行外環(huán)剝落故障特征的提取。其中，軸承型號ZA-2115，轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，徑向負(fù)載26 695 N，在軸承座上通過PCB 353BB33高靈敏度ICP加速度傳感器獲取振動信號，采樣頻率為20 kHz。圖6和圖7為時域波形和時頻分布。由于噪聲干擾，振動信號波形中由故障引起的沖擊成分受到顯著影響。時頻分布中，能量分布集中在5 kHz以下，在部分頻帶有明顯的能量分布，如1.0 kHz，3.0～5.0 kHz，局部沖擊對應(yīng)的特征應(yīng)分布在這些頻率中。

圖6 滾動軸承振動信號波形Fig.6 Vibration waveform of rolling element bearings

圖7 軸承振動信號的時頻分布Fig.7 Time-frequency distribution of vibration signal

采用ONMF方法分離沖擊特征，由圖8所示的核心一致性指標(biāo)的變化曲線確定出最優(yōu)子空間維數(shù)k=3。圖9～11為分離得到的3個子空間的幅度譜。同圖7所示的原始時頻分布對比可見，經(jīng)過ONMF分解，特征被分解在不同的子空間中。其中：圖9所示的第1子空間中主要包含3.2和4.2 kHz兩個頻帶；圖10所示的第2子空間中主要是1.0和4.6 kHz頻帶；圖11所示的第3子空間具有較好的周期分布特點(diǎn)，對應(yīng)著外環(huán)故障沖擊特征表現(xiàn)。因此，將第3子空間時頻分布對應(yīng)的基向量和權(quán)向量進(jìn)行重構(gòu)，得到圖12所示的特征波形。

圖8 核心一致性指標(biāo)的變化曲線Fig.8 The curve of consistency index

圖9 第1子空間時頻分布Fig.9 Time-frequency distribution of the first subspace

圖10 第2子空間時頻分布Fig.10 Time-frequency distribution of the second subspace

圖11 第3子空間時頻分布Fig.11 Time-frequency distribution of the third subspace

圖12 提取的特征波形Fig.12 Waveform of extraction feature

由圖6所示的原始波形信號對比可見，由外環(huán)故障引起的沖擊特征被有效地提取出來。經(jīng)過ONMF分離提取之后，信號幅值譜有效地分離出了沖擊與噪聲，說明了所提方法處理實(shí)際數(shù)據(jù)的有效性。為了進(jìn)一步驗(yàn)證，選擇k=2時的特征分離做對比，所提取的特征波形如圖13所示。

圖13 k=2時提取的特征波形Fig.13 Waveform of extraction feature with k=2

同圖12提取的時域波形對比分析可見，當(dāng)子空間維數(shù)減少時，沖擊分量的波形中包含了其他的分量信息，導(dǎo)致提取的效果變差。對其子空間的時頻分布進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)除包含主要周期分量外，還含有大量的其他頻率分量，從而導(dǎo)致重構(gòu)波形中含有更多的其他分量。由此可見，利用本算法能夠很好地提取出有效的局部故障特征。

6 結(jié) 論

1) 帶有正交性約束的ONMF方法用于單通道的源分離中，大大提高了所提取信息的獨(dú)立性，能夠更準(zhǔn)確地描述源信號。

2) 根據(jù)振動信號的特點(diǎn)，引入核心一致性方法來評估觀測矩陣的隱含子空間維數(shù)，可以提高ONMF的分解效果，獲得較好的子空間時頻分布。

3) 通過STFT變換得到原始混合信號的幅值譜，在低維子空間中經(jīng)過選擇及ISTFT重構(gòu)，可以有效提取出局部故障導(dǎo)致沖擊特征的波形。因此，該方法對滾動軸承和齒輪箱等設(shè)備的早期故障檢測具有重要的意義，具有一定的工程應(yīng)用價值。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.05.003

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51575438)

2014-08-06；

2014-12-31

TH165.3

梁霖，男，1973年1月生，博士、副教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)備故障診斷技術(shù)。曾發(fā)表《沖擊故障特征提取的非線性流形學(xué)習(xí)方法》(《西安交通大學(xué)學(xué)報》2009年第43卷第11期)等論文。

E-mail: lianglin@xjtu.edu.cn。