韓悌信 , 曾祥國 , 盛 鷹 , 陳 軍 ,陳華燕
(1.四川大學(xué),四川 成都 610065)(2.北京應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所,北京 100088)
?
鈦合金動態(tài)本構(gòu)關(guān)系的研究及應(yīng)用
韓悌信1, 曾祥國1, 盛 鷹1, 陳 軍2,陳華燕1
(1.四川大學(xué),四川 成都 610065)(2.北京應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所,北京 100088)
鈦合金;S型曲線;修正Johnson-Cook模型;遺傳算法
具有優(yōu)良力學(xué)性能和耐腐蝕性能的鈦及鈦合金被越來越多地應(yīng)用于航空航天、化工、艦船等領(lǐng)域,也就越來越要求人們了解和掌握其在各種情況下的力學(xué)行為。眾多研究表明,鈦合金是應(yīng)變率高度敏感材料,且在高應(yīng)變率下呈現(xiàn)出特殊的力學(xué)性能[1]。因此,在涉及高速成形、高速碰撞、動態(tài)斷裂以及彈塑性波傳播等工程應(yīng)用中,有必要研究鈦合金在高應(yīng)變率下的力學(xué)性能[2]。但是,在實際中要得到鈦合金在極高應(yīng)變率、極高溫度下的應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)據(jù)比較困難,更不可能得到鈦合金在所有應(yīng)變率及溫度下的力學(xué)性能。一種可行的方法是用相關(guān)理論提出的本構(gòu)關(guān)系模型來描述應(yīng)力與應(yīng)變率、溫度之間的關(guān)系,采用實驗數(shù)據(jù)擬合出模型中的待定參數(shù),再以此本構(gòu)關(guān)系來預(yù)測材料在任意應(yīng)變率及溫度下的力學(xué)行為。
Johnson-Cook模型形式簡單、各參數(shù)含義清晰、易擬合,被廣泛用于描述金屬材料的力學(xué)行為,且已被眾多商用有限元軟件所采用,用于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在動態(tài)載荷作用下的動力學(xué)有限元分析[3-6]。但經(jīng)典的Johnson-Cook模型不能很好地描述鈦合金在高應(yīng)變率下的力學(xué)性能。這是因為在高應(yīng)變率下,鈦合金內(nèi)部溫升會影響流變應(yīng)力的大小,即溫升會減弱應(yīng)變、應(yīng)變率的強化效應(yīng)。為此,眾多學(xué)者對Johnson-Cook模型進行了修正,以更好地描述鈦合金在高應(yīng)變率下的力學(xué)行為。
經(jīng)典Johnson-Cook模型考慮了加工硬化效應(yīng)、應(yīng)變率強化效應(yīng)和溫度軟化效應(yīng),被廣泛用來描述金屬材料的塑性變形行為,其表達式為[8]:
(1)
在102~105s-1下,鈦合金往往表現(xiàn)出熱粘塑性,其內(nèi)部溫升會影響本構(gòu)關(guān)系中的流變應(yīng)力σp,而經(jīng)典的Johnson-Cook模型很難描述材料在高應(yīng)變率下的粘塑性行為[9],因此需對其修正。當材料經(jīng)歷由εp1到εp2的塑性應(yīng)變時,其內(nèi)部的溫升ΔT及流變應(yīng)力變化量Δσp由下式?jīng)Q定[1]:
(2)
式中β為功熱轉(zhuǎn)換系數(shù),ρ為材料密度,Cp為材料的比熱容。
(3)
式中,k1、k2為材料常數(shù),且k1>1,k2>0,需要通過實驗數(shù)據(jù)來確定。
(4)
2.1 常數(shù)擬合
人們確定Johnson-Cook模型中的材料參數(shù)時,一般都是從特殊的實驗曲線出發(fā),逐個確定待定參數(shù),這樣做的弊端是忽略了不同應(yīng)變率下的實驗數(shù)據(jù)對本構(gòu)參數(shù)的影響,而使用最小二乘法并考慮所有試驗曲線的枚舉法則計算效率太低。因此希望找到一種算法,既能考慮多條實驗數(shù)據(jù)之間的影響,又能大大減小計算量,而遺傳算法正好可以滿足這一要求。遺傳算法[11](GA)模擬了自然選擇和遺傳中發(fā)生的復(fù)制、交叉和變異等現(xiàn)象,從任一初始群體出發(fā),通過隨機選擇、交叉和變異操作,產(chǎn)生一群更適應(yīng)環(huán)境的個體,使群體進化到搜索空間中越來越好的區(qū)域,這樣一代一代地不斷繁衍進化,最后收斂到一群最適應(yīng)環(huán)境的個體,從而求得問題的最優(yōu)解。
修正的Johnson-Cook模型中有A、B、n0、C、m、K 、k1、k2共8個待定參數(shù),不妨令X=[A,B,n0,C,m,K,k1,k2]T,則目標函數(shù)為:
(5)
考慮多組實驗數(shù)據(jù)點(εpi,σpi)(i=1,2,…,n),以式(5)為目標函數(shù),采用2.1節(jié)中介紹的遺傳算法對式(4)中的8個材料參數(shù)進行求解。各變量需給定搜索域:
A∈[Amin,Amax];B∈[Bmin,Bmax];
n0∈[n0min,n0max];C∈[Cmin,Cmax];
m∈[mmin,mmax];K∈[Kmin,Kmax];
k1∈[k1min,k1max];k2∈[k2min,k2max]。
至此,修正Johnson-Cook模型中的8個材料常數(shù)已全部確定,方程為:
(6)
2.2 修正的Johnson-Cook模型的增量形式
修正的Johnson-Cook模型式(6)適用于描述鈦合金在任意應(yīng)變率及溫度下的本構(gòu)關(guān)系。Johnson-Cook模型表示的是流變應(yīng)力與塑性應(yīng)變、應(yīng)變率、溫度之間的關(guān)系,而最終想要得到的是真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線,因此,需要采用應(yīng)力增量法求得特定真應(yīng)力下的真應(yīng)變,具體步驟如下。
當真應(yīng)力>屈服應(yīng)力時,修正后的真應(yīng)力為:
(7)
對式(7)兩邊取增量:
(8)
則應(yīng)力增量迭代的表達式為:
(9)
式中,n表示增量步開始時的值,n+1表示增量步結(jié)束時的值。
根據(jù)式(8)、式(9),可以得到鈦合金在應(yīng)力控制條件下,在不同應(yīng)變率及溫度下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線,然后可以將這些曲線與實驗數(shù)據(jù)進行對比。
3.1 Ti-6Al-4V合金動態(tài)本構(gòu)方程
Ti-6Al-4V合金的Tm=1 933 K,E=107 800 MPa?;谖墨I[7]中不同應(yīng)變率及溫度下的流變應(yīng)力-塑性應(yīng)變數(shù)據(jù),采用本文提出的修正的Johnson-Cook模型及參數(shù)求解方法,得到Ti-6Al-4V合金的本構(gòu)參數(shù),如表1所示。根據(jù)參考文獻[7]中的結(jié)果,給定各變量的搜索域為:
A∈[500,2 000];B∈[600,1 500];
n0∈[0.01,0.99];C∈[0.01,0.02];
m∈[0.6,0.8];K∈[-1,1];
k1∈[10,2 000];k2∈[0,0.01]。
表1 修正的Johnson-Cook模型中Ti-6Al-4V合金的本構(gòu)參數(shù)
(10)
圖的函數(shù)圖Fig.2 Function image of β
圖3 β曲線斜率圖Fig.3 Slope image of β curve
修正的Johnson-Cook模型適用于任意應(yīng)變率及溫度下鈦合金的本構(gòu)關(guān)系。代入表1所給出的Ti-6Al-4V合金的本構(gòu)參數(shù),得式(11):
(11)
3.2 Ti-6Al-4V合金的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線
由式(11)可得:
(12)
低應(yīng)變率、不同溫度下,Ti-6Al-4V合金的6組真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(10-5s-1、296 K;10-3s-1、296 K;1 s-1、296 K;10-3s-1、422 K;10-3s-1、588 K;10-3s-1、755 K)的實驗值(文獻[7])和本文計算值的比較如圖4所示。
圖4 低應(yīng)變率、不同溫度下Ti-6Al-4V合金真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線的實驗值和本文計算值比較Fig.4 Comparison of true stress-true strain curves of experiment and calculation at low strain rates for various temperatures for Ti-6Al-4V alloy
高應(yīng)變率、不同溫度下,Ti-6Al-4V合金的4組真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(3 700 s-1、998 K;、3 100 s-1、798 K;2 700 s-1、598 K; 1 900 s-1、296 K)的實驗值(文獻[7])和本文計算值的比較如圖5所示。
圖5 高應(yīng)變率、不同溫度下Ti-6Al-4V合金真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線的實驗值和本文計算值比較Fig.5 Comparison of true stress-true strain curves of experiment and calculation at high strain rates for various temperatures for Ti-6Al-4V alloy
從圖4和圖5可以看出,高應(yīng)變率下給定應(yīng)變的流變應(yīng)力明顯高于低應(yīng)變率下的,且應(yīng)變率越高,給定應(yīng)變下的流變應(yīng)力越大,動態(tài)屈服強度也隨應(yīng)變率的增加而增大,說明Ti-6Al-4V合金是一種應(yīng)變率敏感材料。低應(yīng)變率下的流變應(yīng)力隨應(yīng)變增大逐漸升高,表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變強化效應(yīng),而高應(yīng)變率下的流變應(yīng)力在應(yīng)變超過一定值后逐漸停止升高,甚至有下降的趨勢。這表明,低應(yīng)變率下的應(yīng)變強化效應(yīng)強于應(yīng)變率強化效應(yīng),高應(yīng)變率下的應(yīng)變率強化效應(yīng)強于應(yīng)變強化效應(yīng),絕熱溫升是影響流變應(yīng)力的主要因素,絕熱溫升引起流變應(yīng)力的改變量抵消了應(yīng)變強化引起的流變應(yīng)力增量。由低應(yīng)變率下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(圖4)可知,在同一應(yīng)變率下,變形溫度越高,給定應(yīng)變下的流變應(yīng)力越低,表明Ti-6Al-4V合金具有溫度軟化效應(yīng),高應(yīng)變率下的絕熱溫升引起的流變應(yīng)力降低也證實了這一點。修正的Johnson-Cook模型可以很好的描述Ti-6Al-4V合金的力學(xué)行為,既符合低應(yīng)變率下的實驗結(jié)果,也符合高應(yīng)變率下的實驗結(jié)果。
(2)用遺傳算法擬合本構(gòu)方程參數(shù),這種擬合方法可信度高,且具有普遍意義。
(3)經(jīng)過Ti-6Al-4V合金算例驗證,修正的Johnson-Cook模型適用于任何應(yīng)變率及任何溫度下描述鈦合金力學(xué)行為,并對預(yù)測材料在高應(yīng)變率、高溫下的力學(xué)行為具有重要的工程意義。
[1] 劉旭陽. TC4鈦合金動態(tài)本構(gòu)關(guān)系研究[D]. 南京:南京航空航天大學(xué), 2010.
[2] 徐天平,王禮立,盧維嫻. 高應(yīng)變率下鈦合金Ti-6Al-4V的熱-粘塑性特性和絕熱剪切變形[J]. 爆炸與沖擊, 1987,7(1): 1-8.
[3] 湯鐵鋼, 劉倉理. 高應(yīng)變率拉伸加載下無氧銅的本構(gòu)模型[J]. 爆炸與沖擊, 2013,33(6): 581-586.
[4] 湯鐵鋼, 李慶忠, 陳永濤, 等.實現(xiàn)材料高應(yīng)變率拉伸加載的爆炸膨脹環(huán)技術(shù)[J]. 爆炸與沖擊, 2009, 29(5): 546-549.
[5] 湯鐵鋼, 劉倉理. 一種新型爆炸膨脹環(huán)實驗裝置[J]. 實驗力學(xué), 2013, 28(2): 247-254.
[6] 曾祥國, 盛鷹,韓悌信,等. 考慮熱粘塑性鈦合金動態(tài)本構(gòu)關(guān)系及其實驗驗證[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(工程科學(xué)版), 2014,46(6): 152-157.
[7] Khan A S, Suh Y S, Kazmi R. Quasi-static and dynamic loading responses cand onstitutive modeling of titanium alloys[J]. International Journal of Plasticity, 2004, 20(12): 2233-2248.
[8] 曾祥國,陳華燕,胡益平. 工程彈塑性力學(xué)[M]. 成都:四川大學(xué)出版社, 2013.
[9] 楊揚,曾毅,汪冰峰. 基于Johnson-Cook模型的TC16鈦合金動態(tài)本構(gòu)關(guān)系[J]. 中國有色金屬學(xué)報, 2008,18(3): 505-510.
[10] 嚴慧呂, 效國南. S 型曲線自回歸模型的自回歸分析[J]. 高等函授學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2010, 23(5): 95-96.
[11] 周明,孫樹棟. 遺傳算法原理及應(yīng)用[M]. 北京:國防工業(yè)出版社, 1999: 1-202.
Study and Application of Dynamic Constitutive Relation for Titanium Alloy
Han Tixin1,Zeng Xiangguo1,Sheng Ying1,Chen Jun2,Chen Huayan1
(1.Sichuan University, Chengdu 610065,China)(2.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing 100088,China)
titanium alloy; S-curve; modified Johnson-Cook model; genetic algorithm
2016-06-05
國防重點基金項目(B1520132013-1)
曾祥國(1960—),男,教授。
TG146.2+3
A
1009-9964(2016)04-0017-05