解婷婷， 郎英

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院， 成都610059)

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高階系統(tǒng)時(shí)滯反饋的部分極點(diǎn)配置問題

解婷婷， 郎英

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院， 成都610059)

高階系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題是通過計(jì)算反饋矩陣將系統(tǒng)測得的不期望的特征值替換成想要的特征值，同時(shí)能夠保持其余特征結(jié)構(gòu)不變。這個(gè)問題常出現(xiàn)在動(dòng)力結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制系統(tǒng)中。在實(shí)際中，傳感器測量、處理器計(jì)算等都需要一定的時(shí)間，導(dǎo)致控制力出現(xiàn)時(shí)間滯后現(xiàn)象，即高階系統(tǒng)時(shí)滯反饋的部分極點(diǎn)配置問題。一般方法解決這個(gè)問題的過程會(huì)使用響應(yīng)矩陣或解希爾維斯特方程，從而比較復(fù)雜，計(jì)算量大。文章提出一種明確的單輸入算法解決這個(gè)問題，方法的優(yōu)點(diǎn)是簡單有效、易于實(shí)現(xiàn)，且在過程中沒有使用響應(yīng)矩陣等構(gòu)成復(fù)雜的運(yùn)算。實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性和實(shí)用性。

反問題；部分極點(diǎn)配置；高階系統(tǒng)

引言

考慮帶時(shí)滯高階系統(tǒng)[1]：

M0v=f(t-τ)

(1)

一般地，令f(t-τ)=Bu(t-τ)，其中B∈Rn×m是滿秩控制矩陣，u(t-τ)是反饋控制變量。即

(2)

其中，F(xiàn)0,F1,…,Fk-1∈Rn×m是狀態(tài)反饋控制矩陣，從而得到閉環(huán)時(shí)滯系統(tǒng)：

(3)

利用變量分離v(t)=xeλt,x∈C,λ∈Cn，代入(3)式得到閉環(huán)時(shí)滯特征值問題

Pτ(λ)x=0

(4)

其中，

這類問題如：航空航天和汽車工業(yè)結(jié)構(gòu)力學(xué)與聲學(xué)系統(tǒng)的振動(dòng)分析，電路仿真，流體力學(xué)和有限元模型更新[1-4]等。

對(duì)于高階系統(tǒng)問題，文獻(xiàn)[8]通過單輸入狀態(tài)反饋控制，應(yīng)用正交方法配置期望的特征值并且保持其余的特征值不變。文獻(xiàn)[13]解決部分特征值配置問題基本上解決了一個(gè)非常低的順序的線性系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。Wang[14]建立了新的正交關(guān)系，考慮了狀態(tài)反饋的高階系統(tǒng)的部分極點(diǎn)配置問題。Tehrani[15]提出利用響應(yīng)矩陣求解部分極點(diǎn)配置問題的一種混合方法。一般方法如文獻(xiàn)[9-10,12]都使用了響應(yīng)矩陣或希爾維斯特方程，此方法需要閉環(huán)響應(yīng)矩陣，使得矩陣變成敏感的測量噪聲，而變得不確定。本文提出的方法沒有使用響應(yīng)矩陣或希爾維斯特方程。

Λ=diag(λ1,λ2,…,λkn)，其對(duì)角元素是開環(huán)系統(tǒng)的特征值。

Λ1=diag(λ1,λ2,…,λp)，其對(duì)角元素是不期望的特征值。

Λ2=diag(λp+1,λp+2,…,λkn)，其對(duì)角元素是其余保持不變的特征值。

X=[x1,x2,…,xkn]，其每一列是開環(huán)系統(tǒng)中每個(gè)特征值相應(yīng)的特征向量。

X1=[x1,x2,…,xp]，X2=[xp+1,xp+2,…,xkn]。

1問題1的解

(5)

則對(duì)任意的β，有

(6)

(6)式說明矩陣束P(λ)=λkMk+λk-1Mk-1+…+M0，其余的kn-p個(gè)特征對(duì)(Λ2,X2)也就是修正后的矩陣束Pτ(λ)的特征對(duì)。

Σ1=diag(μ1,μ2,…,μp)，Y1=[y1,y2,…,yp]

(7)

針對(duì)問題1的解，需要選擇任意β，使

(8)

(9)

其中，

令

(10)

作γ=(1,1，…，1)，則

Hβ=γT=eτΣ1(1,1,…,1)T

(11)

(2)作yl(l=1,2,…,p)滿足

(12)

證明根據(jù)引理1，定理1中(1)顯然成立。

由(9)式和γ=(1,1，…，1)，則有

(13)

由(10)式，有

(14)

因而

從而有

hlm=

(15)

(16)

依據(jù)定理1，可以得到下面的算法：

(1)作矩陣Λ1=diag(λ1,λ2,…,λp)andX1=[x1,x2,…,xp];

(2)for i=1,2,…,p do

(4)end for

(5)Σ1=diag(μ1,μ2,…,μp)，Y1=[y1,y2,…yp];

(7)求β:Hβ=eτΣ1(1,1,…,1)T;

2數(shù)字實(shí)例

例1考慮三階系統(tǒng)

開環(huán)系統(tǒng)的4個(gè)特征值：λ1,2=±i，λ3,4=-1±2i，時(shí)滯τ=0.1，控制向量b=(1,0)T。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，將替換前兩個(gè)共軛特征值λ1,2為μ1,2=-1±i，則Λ1=diag(+-i)，且相應(yīng)矩陣的特征向量為：

依據(jù)算法1，計(jì)算得

3結(jié)束語

本文提出了一個(gè)明確的算法解決高階系統(tǒng)受時(shí)滯影響的部分極點(diǎn)配置問題。該方法可以配置期望的特征值，并且保持無溢出特性。且比較容易實(shí)現(xiàn)，沒有應(yīng)用響應(yīng)矩陣或解希爾維斯特方程，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

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Partial Pole Assignment Problem for High Order Systems with Time Delay

XIETingting,LANGYing

(College of Management Science, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China)

The partial pole assignment problem for high order systems with time delay is considered, which the unwanted eigenvalues are moved to desired values and all other eigenpairs remain unchanged by calculation feedback matrix. The problem often appeared in the power structure in the active control system. In practice, these processes such as sensor, processor, calculation and so on take time, which lead to control time lag phenomenon. That was partial quadratic pole assignment problem with time delay. A general method to solve this problem is using the receptance matrix or solve the Sylvester, which is more complex and need large amount of calculation. A clear single input algorithm to solve this problem is presented in this paper. The advantage of this method is simple, effective, easy to implement, and have no complex calculations caused by response matrix. Finally, algorithm implementation and numerical examples show that the proposed method is effective and practical.

inverse problem; partial pole assignment; high order systems

2016-06-01

解婷婷(1990-)，女，陜西渭南人，碩士生，主要從事運(yùn)籌學(xué)與控制論方面的研究，(E-mail)stapf1314@163.com

1673-1549(2016)04-0097-04

10.11863/j.suse.2016.04.21

O231

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