梁麗丹

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 新疆伊寧835000)

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n個(gè)同型部件和k個(gè)修理設(shè)備的并聯(lián)可修系統(tǒng)的可靠度探究

梁麗丹

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 新疆伊寧835000)

在假定部件的工作壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，維修時(shí)間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)時(shí)是瞬間完成的，在初始時(shí)刻，所有部件都正常，所有隨機(jī)變量均相互獨(dú)立，故障部件能夠修復(fù)如新的條件下，對(duì)由n個(gè)同型部件和k(k≤n)個(gè)修理設(shè)備組成的并聯(lián)可修系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行分析。通過(guò)建立該系統(tǒng)的模型，計(jì)算出可靠度通式，并對(duì)n=2,k=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

并聯(lián)可修系統(tǒng)；轉(zhuǎn)移矩陣；可靠度；L變換

引言

并聯(lián)系統(tǒng)在可修系統(tǒng)中非常重要，其可靠度情況在具體的實(shí)際應(yīng)用中具有重要作用。董兵等[1]研究了具有優(yōu)先修理權(quán)的兩個(gè)不同部件并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析。汪文瓏等[2-3]對(duì)由兩個(gè)并聯(lián)部件構(gòu)成的可修系統(tǒng)進(jìn)行了分析。程江等[4]研究了修理設(shè)備可以更換的三部件串-并聯(lián)可修系統(tǒng)的可靠性。汪軍芳等[5]研究了兩個(gè)相依部件并聯(lián)系統(tǒng)和有冷貯備部件串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠性。Weili等[6]對(duì)兩個(gè)修理工的情況進(jìn)行了討論。可見(jiàn)，目前主要是對(duì)二部件或三部件的并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行了相關(guān)研究與討論[7-10]。對(duì)于大型系統(tǒng)，系統(tǒng)組成會(huì)相對(duì)龐大，會(huì)有更多的部件構(gòu)成，在實(shí)際應(yīng)用中多個(gè)部件多個(gè)修理設(shè)備的可靠度在工作和預(yù)防維修中均起到指導(dǎo)作用，可以提高經(jīng)濟(jì)效益。為此本文研究了n個(gè)同型部件和k個(gè)修理設(shè)備的并聯(lián)可修系統(tǒng)的可靠度，通過(guò)構(gòu)造模型進(jìn)行分析計(jì)算，得出此n個(gè)同型部件和k個(gè)修理設(shè)備的并聯(lián)可修系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)，并且驗(yàn)證了當(dāng)n=2,k=1時(shí)，此系統(tǒng)的結(jié)論與文獻(xiàn)[11]的結(jié)論一致。

假定

(1)由n個(gè)同型部件和k個(gè)修理設(shè)備組成的系統(tǒng)，假定所有隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的，由于有k個(gè)修理設(shè)備，當(dāng)有k+1或k+1以上的部件發(fā)生故障時(shí)，只能修理其中k個(gè)，其余故障部件處于待修狀態(tài)，部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)時(shí)完全可靠且轉(zhuǎn)換是瞬間完成的。

(2)所有部件的工作壽命分布為1-e-λt,t≥0(λ>0)，工作故障部件的修理時(shí)間分布為1-e-μt,t≥0(μ>0)。

(3)在初始時(shí)刻0，所有部件都正常。

1模型分析

系統(tǒng)共有n+1個(gè)不同的狀態(tài)，令N(t)=j,若t時(shí)刻系統(tǒng)中有j個(gè)故障部件(包括正在修理的部件)，j=0,1,...,n。根據(jù)并聯(lián)系統(tǒng)[12]的定義，狀態(tài)n是系統(tǒng)的故障狀態(tài)，因此，狀態(tài)空間E={0,1,...,n}，工作狀態(tài)W={0,1,...,n-1}，故障狀態(tài)F={n},{N(t),t≥0}是狀態(tài)空間為E的時(shí)齊馬爾可夫過(guò)程，Δt時(shí)間內(nèi)不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率為：

Pjj+1(Δt)=(n-j)λΔt+0(Δt);j=0,...,n-1

由連續(xù)時(shí)間Markov鏈的性質(zhì)，不難寫出其轉(zhuǎn)移率矩陣[13]

D=(qij)=

其中，

2系統(tǒng)可靠度

為求系統(tǒng)的可靠度，解方程

其中A矩陣為D矩陣去掉最后一行和最后一列的矩陣，對(duì)方程作L變換[14]得

寫成矩陣的形式為：

其中

設(shè)B-1=C

-(C11+ C21+ ... + Cn1)

運(yùn)用求矩陣逆[15-16]的方法可得

…

則

由于p1p2...pn是關(guān)于s的n次方程，設(shè)si(i=1,2,...,n)是其根，作L的逆變換得

R(t)=Q0(t)+...+Qn-1(t)=

p1=-(s+nλ)

?

pk-1=-[s+(k-2)μ+(n-k+2)λ]-

pk=-[s+(k-1)μ+(n-k+1)λ]-

?

可得到

pm=-[s+(m-1)μ+(n+1-m)λ]-

1≤m≤k+1pm=-[s+kμ+(n+1-m)λ]-

另有α的值

?

αk-1=-[s+(k-2)μ+(n-k+2)λ]-

αk=-[s+(k-1)μ+(n-k+1)λ]-

?

αn=-(s+kμ+λ)

可得

αn=-(s+λ+kμ),(k

k+1`≤u≤n-1

αu=-[s+(u-1)μ+(n+1-u)λ]-

u=k,k-1,…1,αiu=-[si+kμ+(n+1-u)λ]-

αiu=-[si+(u-1)μ+(n+1-u)λ]-

u=k,k-1,…1αin=-(si+λ+kμ)

3特別的情況

當(dāng)k=1時(shí)，為n個(gè)同型部件一個(gè)修理設(shè)備的情形

(1)n=2,k=1時(shí)，用通式

其中

p1=-(s+2λ)

α2=-(s+λ+μ)

所以

p1p2=s2+s(3λ+μ)+2λ2

設(shè)s1,s2為s2+s(3λ+μ)+2λ2=0的兩根，且小于0。

與文獻(xiàn)中結(jié)果一致。

(2)容易得出n=3,k=1的可靠度，用同樣的方法可得

其中

p1=-(s+3λ)

α3=-(s+λ+μ)

所以

p1p2p3是關(guān)于s的三次方程，設(shè)s1,s2,s3為其根，由matlab計(jì)算的每一s都小于0。

R(t)=

4結(jié)束語(yǔ)

通式應(yīng)用廣泛，當(dāng)k=1時(shí)轉(zhuǎn)換為一個(gè)修理設(shè)備的情形，k≠1時(shí)，為k個(gè)修理設(shè)備的情形，從而多元件并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度可方便求出。

[1] 董兵,唐應(yīng)輝.具有優(yōu)先修理權(quán)的兩個(gè)不同部件并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)學(xué)報(bào),2007,24(2):249-252.

[2] 汪文瓏,張斌.兩個(gè)并聯(lián)部件的可修系統(tǒng)的譜分析及其應(yīng)用[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,33(1):1-8.

[3] 張欣,何云,李琳.兩不同型部件并聯(lián)可修系統(tǒng)主算子的性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(8):232-237.

[4] 程江,唐應(yīng)輝.修理設(shè)備可以更換的三部件串-并聯(lián)可修系統(tǒng)的可靠性[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,32(1):148-154.

[5] 汪軍芳,張民悅.兩個(gè)相依部件并聯(lián)系統(tǒng)和有冷貯備部件串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠性[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,28(1):80-82.

[6] WEILI A S,YIQIANG Q Z.Stochastic analysis of a repairable system with three units and two repair facilities[J].Microelectronics Reliability,1998,38(4):585-595.

[7] 王麗英,劉寶友,王永亮.隨機(jī)選擇修理工的可修系統(tǒng)的可靠性分析[J].石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報(bào),2006,19(4):104-106.

[8] 雷小平,蔡靜,趙明.基于系統(tǒng)隱藏壽命數(shù)據(jù)的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性估計(jì)[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,23(3):245-248.

[9] 成國(guó)慶,李玲,唐應(yīng)輝.不能修復(fù)如新的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2008,38(10):77-83.

[10] 劉學(xué)娟,王文彬,彭銳,等.基于延遲時(shí)間理論的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)檢測(cè)區(qū)間模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,45(7):231-239.

[11] 曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論[M].北京:高等教育出版社,2006.

[12] 程侃.壽命分布類與可靠性數(shù)學(xué)理論[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[13] 牛裕琪,袁中許.可修并-串聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移空間分析[J].許昌學(xué)院學(xué)報(bào),2005,24(5):19-21.

[14] DDER D V.The laplace transform[M].Princeton,New Jersey:Princeton University Press,1941.

[15] 楊勝良.三對(duì)角行列式及其應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué),2002,18(2):102-104.

[16] 冉瑞生,黃廷祝.三對(duì)角矩陣的逆[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2006,38(5):815-817.

Study on Reliability of Paralleled Redundant Repairable System withnIdentity Units andkRepair Facilities

LIANGLidan

(Department of Mathematics and Statistic, Yili Normal University, Yining 835000, China)

Under assumption that the working life of the components subject to the exponential distribution with parameter λ and maintenance time obey the exponential distribution with parametersμ, the switch is instantaneous, all the parts is normal at the initial time and all random variables are independent of each other. Under the condition of the fault parts can be repaired as new, the reliability of the parallel repairable system which consisted of n identity units and k repair facilities is analyzed. By establishing the model of the system, reliability formula is computed. The reliability is verified for the conclusion of n=2, k=1.

parallel repairable system; transfer matrix; reliability; L conversion

2016-04-16

梁麗丹(1985-)，女，河南洛陽(yáng)人，助教，碩士，主要從事可靠性理論分析方面的研究，(E-mail)lianglidan123@126.com

1673-1549(2016)04-0088-06

10.11863/j.suse.2016.04.19

O213.2

A