呂鳳姣， 蔣紅敬

(黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院， 鄭州450063)

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分擔(dān)值與正規(guī)族

呂鳳姣， 蔣紅敬

(黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院， 鄭州450063)

亞純函數(shù)；分擔(dān)值；正規(guī)族

1引言及主要結(jié)果

定義2設(shè)f(z),g(z)為區(qū)域D上的兩個亞純函數(shù)，對復(fù)數(shù)a∈C,若f(z)-a的零點為zn(n=1,2,3,…)，如果zn(n=1,2,3,…)也是g(z)-a的零點(不計重數(shù))，則稱單向分擔(dān)a，記為f(z)=a?g(z)=a。

定義3設(shè)F為復(fù)平面一區(qū)域D上的一族亞純函數(shù)，如果從F中任取一函數(shù)序列{fn(z)}均可選出一子序列{fnk(z)}在區(qū)域D上按球距內(nèi)閉一致收斂于一亞純函數(shù)或∞，則稱F在區(qū)域D上正規(guī)。

定理1[3]設(shè)f(z)是一個非常數(shù)亞純函數(shù)，如果f(z)和f′(z)IM分擔(dān)三個不同的復(fù)數(shù)a1,a2,a3,則f≡f′。

定理2[4]設(shè)F={f(z)}是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族，a1,a2,a3是三個不同的復(fù)數(shù)，如果對每個f∈F，f與f′同時分擔(dān)值a1,a2,a3，則F在Δ上正規(guī)。

定理3[5]設(shè)F是D上的一亞純函數(shù)族，a和b是兩個不同的復(fù)數(shù)，如果對任一f∈F，f(z)與f′(z)在D內(nèi)IM分擔(dān)a,b，則F在D內(nèi)正規(guī)。

定理4[6]設(shè)F是單位圓盤Δ上的一亞純函數(shù)族，a是一個非零的有窮復(fù)數(shù)，如果對任一f∈F，f(z)與f′(z)在Δ內(nèi)IM分擔(dān)a，且f(z)的零點是重級的，則F在Δ內(nèi)正規(guī)。

定理5[7]設(shè)F是單位圓盤Δ上的一亞純函數(shù)族，a和b是任意兩個非零有窮復(fù)數(shù)，k為正整數(shù)。如果對任一f∈F，f(z)的零點重級至少是k+1，且f(z)=a?f(k)(z)=b，則F在Δ上正規(guī)。

這時，自然地就會考慮定理中的條件能否進一步減弱為單向分擔(dān)，本文證明了如下定理：

2相關(guān)引理

這里g(ζ)為復(fù)平面上的一個亞純函數(shù)，其零點(極點)重級均≥k(j)，且g#(ζ)≤g#(0)=1。

注這是Zalcman引理的推廣，亦稱為Zalcman引理，其中當(dāng)k=1,j=1,α=0時是Zalcman最早的結(jié)果。該形式是文獻[12-14]推廣而得到的。

這里g(ζ)為復(fù)平面上的一個非常數(shù)亞純函數(shù)，其零點重級至少為k，且g#(ζ)≤g#(0)=kA+1。特別地，g(ζ)的級至多為2。

引理3[16](Hurwitz定理)設(shè)函數(shù)序列{fn(z)}在區(qū)域D內(nèi)解析，并且在D內(nèi)閉一致收斂到一個不恒為零的函數(shù)，γ是D內(nèi)可求長的閉曲線，其內(nèi)部屬于D，且不經(jīng)過f(z)的零點，則存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時，在γ內(nèi)部，fn(z)和f(z)的零點個數(shù)是相同的。

引理4[17-18]設(shè)f(z)為復(fù)平面上的有窮級亞純函數(shù)，b為非零復(fù)數(shù)，k為正整數(shù)。若f(z)的零點重級至少為k+1，極點重級至少為2，且f(k)(z)≠b，則f(z)為一常數(shù)。

3定理6的證明

又g(ξ)的零點重級至少為k+1，極點重級至少為2，由引理4知：g(ξ)為一常數(shù)，這與g(ξ)是非常數(shù)亞純函數(shù)矛盾。從而定理6得證。

4結(jié)束語

目前，將正規(guī)族理論應(yīng)用到亞純函數(shù)唯一性的研究中，已取得了一些很好的結(jié)果。另外，正規(guī)族的基礎(chǔ)理論在復(fù)動力系統(tǒng)的Julia集分形和擬共形映照理論等方面有著廣泛的應(yīng)用。

[1] 楊樂.值分布論及其新研究[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[2] 顧永興,龐學(xué)誠,方明亮.正規(guī)族理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[3] MUES E,STEINMETZ N.Meromorphe funktionen,diemit ihrer ableitung werte teilen[J].Manuscripta Math.,1969,29:195-206.

[4] SCHWICK W.Sharing values and normality[J].Arch Math,1992,59:50-54.

[5] PANG X,LAWRENCE Z.Normality and shared values[J].Arkiv for Matematik,2000,38:171-182.

[6] 章文華.分擔(dān)值和正規(guī)族[J].數(shù)學(xué)研究與評論,2005,25(2):307-310.

[7] FANG M L,ZALCMAN L.Normal families and shared values of meromorphic functions[J].Annals Polonici Mathematici,2003,80:133-141.

[8] ZHANG G M,PANG X C,ZALCMAN L.Normal families and omitted functions II[J].Bull London Math Soc,2009,41:63-71.

[9] 王雪琴.亞純函數(shù)的分擔(dān)值與正規(guī)族[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2014,34A(4):1008-1013.

[10] 李三華,劉忠東,吳高翔.與分擔(dān)值相關(guān)的正規(guī)族[J].華東師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013(1):54-60.

[11] ZALCMAN L.A heuristic principle in complex function theory[J].Ame Math Mont,1975(82):813-817.

[12] PANG X.Blochs principle and normal criterion[J].Sci China Ser A,1989(32):782-791.

[13] SCHWICK W.Normality Crietion for families of meromorphic functions[J].Anal Math,1989(52):241-289.

[14] 陳懷惠,顧永興.Marty定則的改進及應(yīng)用[J].中國科學(xué)A輯,1993,23(2):123-129.

[15] PANG X C,ZALCMAN L.Normality families and shared values[J].Bull London Math Soc,2000,32:325-331.

[16] 方企勤.復(fù)變函數(shù)教程[M].北京:北京大學(xué)出版社,1996.

[17] HAYMAN W K.Picard Value of Meromorphe functions And Their Derivatives[J].Annals of Mathematics,1959,70:9-42.

[18] LI S,GAO Z.Results on a question of Zhangand Yang[J].Acta Math.Sci.Ser.B Engl.Ed.,2012,32(2):717-723.

Shared Values and Normal Families

LVFengjiao,JIANGHongjing

(College of Information Engineering, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China)

meromorphic functions; shared values; normal family

2016-04-19

呂鳳姣(1983-)，女，河南商丘人，講師，碩士，主要從事復(fù)分析方面的研究，(E-mail)lvfengjiao_2008@163.com

1673-1549(2016)04-0078-03

10.11863/j.suse.2016.04.17

O174.52

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