潘 堅(jiān), 肖慶憲

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院, 上海 200093;2.贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 江西 贛州 341000)

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基于隨機(jī)跳違約強(qiáng)度的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)

潘 堅(jiān)1,2*, 肖慶憲1

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院, 上海 200093;2.贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 江西 贛州 341000)

在約化模型框架下,研究具有隨機(jī)跳違約強(qiáng)度的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)問(wèn)題.應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理建立隨機(jī)跳躍幅度服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程,股票價(jià)格服從時(shí)變擴(kuò)散模型,隨機(jī)利率服從Hull-White模型且兩兩相關(guān)的定價(jià)模型.利用鞅方法得到了此定價(jià)模型的解析解,拓展了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論.

跳違約強(qiáng)度; Hull-White利率模型; 約化模型; 鞅方法; 可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)

作為重要的金融工具之一,可轉(zhuǎn)換債券是一種具有期權(quán)特性的公司債券,它賦予投資者可選擇將債券持有至到期日,獲得本金和利息,也可以在約定的時(shí)間將債券轉(zhuǎn)換成公司股票的權(quán)利.鑒于此,可轉(zhuǎn)換債券在金融市場(chǎng)受到投資者的追捧.但是,和所有投資工具一樣,可轉(zhuǎn)換債券也會(huì)使投資者遭到損失.如果發(fā)行公司倒閉,那么債券的持有人就會(huì)損失投資于債券的資金,可轉(zhuǎn)換債券尤其可能發(fā)生這種情況,這是因?yàn)榭赊D(zhuǎn)換債券的地位通常低于公司的其它債券.此外,可轉(zhuǎn)換債券的期限較長(zhǎng),利率的影響變得較為突出,因此,除了違約支付的風(fēng)險(xiǎn)外,可轉(zhuǎn)換債券還存在利率風(fēng)險(xiǎn).基于違約風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià),是近幾年國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn).

目前,具有違約風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型有兩類(lèi):一類(lèi)是基于期權(quán)定價(jià)理論的結(jié)構(gòu)化模型[1],另一類(lèi)是基于強(qiáng)度理論的約化模型[1].基于結(jié)構(gòu)化模型研究可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)始于Ingersoll[2],他把Black-Scholes的期權(quán)定價(jià)思想引入到可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)中,考慮了以公司價(jià)值為基礎(chǔ)變量的單因素結(jié)構(gòu)化模型; Brennan和Schwartz[3]對(duì)Ingersoll的單因素結(jié)構(gòu)化模型進(jìn)行了擴(kuò)展,把利率的不確定性引入模型當(dāng)中,建立了以利率和公司價(jià)值為基礎(chǔ)變量的雙因素模型.目前,以公司價(jià)值為基礎(chǔ)變量研究可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)都是以這兩個(gè)模型為基礎(chǔ).與結(jié)構(gòu)化模型不一樣的是,在約化模型中,違約被看成是一個(gè)完全不可預(yù)測(cè)的事件,違約過(guò)程用Poisson過(guò)程來(lái)描述,即第一次發(fā)生跳時(shí)公司違約.近年來(lái),有不少學(xué)者基于約化模型研究可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià).Takahashi等[4]在違約強(qiáng)度是股價(jià)反比例函數(shù)情形下研究了可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià);Ayache等[5]在常數(shù)違約強(qiáng)度下,把可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值作為一個(gè)整體研究對(duì)象,研究了帶違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型,此定價(jià)模型是一個(gè)耦合的偏微分方程組,沒(méi)有解析解,用有限差分法考慮了數(shù)值解;Bielecki等[6]運(yùn)用鞅測(cè)度方法研究了常數(shù)違約強(qiáng)度下博弈期權(quán)的定價(jià)和套期保值,并將其應(yīng)用到可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)和對(duì)沖中;Bielecki等[7]在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了由標(biāo)的資產(chǎn)股票、可轉(zhuǎn)換債券和有關(guān)信用違約互換組成的基本金融市場(chǎng)框架下可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià),在此框架下將可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格轉(zhuǎn)化為相應(yīng)變分不等式的粘性解并給出了近似計(jì)算的收斂性證明.國(guó)內(nèi),Huang Jianbo,liu Jian和Rao Yulei[8]利用二叉樹(shù)方法考慮了常數(shù)違約強(qiáng)度下具有利率風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià);王偉和趙奇杰[9]考慮了常利率情形下帶有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià),假定市場(chǎng)中可轉(zhuǎn)換債券的隨機(jī)違約強(qiáng)度服從Vasicek模型,利用鞅方法得到了該模型的解析定價(jià)公式.

在上述模型中,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,違約強(qiáng)度假定為常數(shù)或連續(xù)的擴(kuò)散隨機(jī)過(guò)程.實(shí)際上,發(fā)行公司在可轉(zhuǎn)換債券續(xù)存期間可能會(huì)受到國(guó)家宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控等外部政策的影響,使公司利潤(rùn)大幅降低,財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)加大,導(dǎo)致公司出現(xiàn)危機(jī)或破產(chǎn).在約化模型中,這些不可預(yù)見(jiàn)的事件可能會(huì)導(dǎo)致違約強(qiáng)度發(fā)生劇烈的變化,蘇小囡和王文勝[10]在隨機(jī)跳違約強(qiáng)度下研究了歐式期權(quán)的定價(jià),隨機(jī)跳的幅度假定服從正態(tài)分布.本文的主要工作和創(chuàng)新點(diǎn)是:基于約化模型研究具有隨機(jī)跳違約強(qiáng)度的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)問(wèn)題,假設(shè)違約強(qiáng)度服從更符合實(shí)際的雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程[11],并假定市場(chǎng)中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率服從一個(gè)與標(biāo)的股票相關(guān)的Hull-White模型.利用鞅方法得到可轉(zhuǎn)換債券的解析定價(jià)公式,推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.最后,借助Matlab軟件討論了跳違約強(qiáng)度對(duì)可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響.結(jié)果表明:雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值走勢(shì)是下凸的,這表明跳違約強(qiáng)度會(huì)影響可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值,可轉(zhuǎn)換債券在債券存續(xù)期間存在一個(gè)臨界點(diǎn),在臨界點(diǎn)處公司可能發(fā)生違約.

1 模型的建立

下面給出建立模型所需的一些基本假設(shè).

1.1 基本假設(shè)

1) 考慮一個(gè)隨機(jī)的金融市場(chǎng),不確定性由完備的概率空間(Ω,F,Q,(Ft)0≤t≤T)來(lái)表示,Q為風(fēng)險(xiǎn)中性鞅測(cè)度,{Ft}t≥0為公司信息流,滿足自然假設(shè),即右連續(xù)、單調(diào)遞增.

2) 股票的價(jià)格St服從如下時(shí)變擴(kuò)散模型:

dSt=St[(rt-qt)dt+σ1(t)dW1(t)],

(1)

其中,qt為紅利率,σ1(t)為股票的波動(dòng)率,W1(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).

3) 隨機(jī)利率rt采用可以根據(jù)初始期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行校準(zhǔn)的Hull-White模型:

drt=a2[b2(t)-rt]dt+σ2dW2(t),

(2)

其中,a2為利率回歸長(zhǎng)期均值的速度,b2(t)為利率的長(zhǎng)期均值,σ2為利率的波動(dòng)率,W2(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).

4) 定義違約強(qiáng)度λt是具有跳違約強(qiáng)度的隨機(jī)微分方程[10-11]:

dλt=a3[b3(t)-λt]dt+σ3dW3(t)+

(ey-1)dNt,

(3)

其中,a3為違約強(qiáng)度回歸長(zhǎng)期均值的速度,b3(t)為違約強(qiáng)度的長(zhǎng)期均值,σ3為違約強(qiáng)度的波動(dòng)率,W3(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng),Nt是跳強(qiáng)度為η的泊松過(guò)程且跳躍幅度為y.本論文假定y服從雙指數(shù)分布,即y的密度函數(shù)為:

f(y)=pη1e-η1y1{y≥0}+(1-p)η2eη2y1{y<0},

η1>1,η2>0,

其中,p表示強(qiáng)度向上跳的概率,1-p表示強(qiáng)度向下跳的概率,1{·}是一個(gè)示性函數(shù).

5) cov[dWi(t),dWj(t)]=ρij(dt), |ρij|<1,i,j=1,2,3,且i≠j,常數(shù)ρij表示兩個(gè)隨機(jī)源的相關(guān)系數(shù).此外,Nt,y與W1(t),W2(t),W3(t)相互獨(dú)立.

6) 在實(shí)際的可轉(zhuǎn)換債券市場(chǎng)中,可轉(zhuǎn)換債券的種類(lèi)繁多.根據(jù)林海和鄭振龍的研究結(jié)果[12],可轉(zhuǎn)換債券在國(guó)內(nèi)債券市場(chǎng)上一般不會(huì)被提前執(zhí)行.因此,假定可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換只發(fā)生在到期日T,即在T時(shí)刻債券持有者有權(quán)利選擇是持有股票還是持有債券.如果在到期日,用債券轉(zhuǎn)換股票后的價(jià)值超過(guò)債券的價(jià)值,那么債券持有者可選擇轉(zhuǎn)換.相反,如果在到期日,用債券轉(zhuǎn)換股票后的價(jià)值不超過(guò)債券的價(jià)值,債券持有者則不選擇轉(zhuǎn)換.令φ(T)表示可轉(zhuǎn)換債券在到期日的收益,則有

(4)

其中,Pb=MeiT表示以票面利率i計(jì)算的單純的債券價(jià)值(債券利息按連續(xù)復(fù)利計(jì)算),M表示可轉(zhuǎn)換債券的面值,C表示約定的轉(zhuǎn)換價(jià)格.

7) 市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)、無(wú)交易費(fèi)和稅收,但債券存在違約風(fēng)險(xiǎn),即當(dāng)可轉(zhuǎn)換債券的發(fā)行方發(fā)生違約時(shí),在T時(shí)刻可轉(zhuǎn)換債券的持有者僅收到先前承諾支付的一部分,即hφ(T),0≤h≤1,其中,h是回收率且為常數(shù);如果可轉(zhuǎn)換債券的發(fā)行方不發(fā)生違約,則債券的持有者在T時(shí)刻接受先前承諾的支付φ(T).

1.2 建立模型

為建立隨機(jī)利率模型下具有跳違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)模型,引入帶濾流的概率空間(Ω,G,(Gt)0≤t≤T,Q),總的域流是Gt=Ft∨Ht,其中,Ft=σ(Su,0≤u≤t)∨σ(ru,0≤u≤t)∨σ(λu,0≤u≤t)反映市場(chǎng)上除了公司違約信息之外的信息,而Ht=σ(I{τ≤u},0≤u≤t)反映公司的違約信息.由Jarrow和Yu有關(guān)條件概率的知識(shí)[13],可以得到:

(5)

其中,GT=FT∨Ht.因此在模型假設(shè)下,由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論,具有跳違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券在t時(shí)刻的值V(S,r,λ,t)可表示為:

V(S,r,λ,t)=

(6)

下面利用條件數(shù)學(xué)期望的平滑性[14-15]以及Bielecki和Rutkowski的結(jié)論[1]消去(6)中的違約時(shí)間τ,于是有

I1+I2.

(7)

其中,

因此求解V(S,r,λ,t),只需計(jì)算I1和I2即可.

2 模型的求解

下面利用鞅方法的測(cè)度變換計(jì)算I1和I2.

其中,

m(t,T,a2)=1-e-a2(T-t),

證明由于利率是隨機(jī)的,引入遠(yuǎn)期鞅測(cè)度QT,即定義關(guān)于QT的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù):

由Ito公式和方程(2),有

(8)

(9)

從而由(8)和(9),可以得到

根據(jù)Girsanov定理,

根據(jù)Bayes法則,I1在鞅測(cè)度QT下為:

I11+I12.

(10)

(11)

(12)

此外由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，在概率測(cè)度QT下,logST滿足正態(tài)分布,其均值和方差分別為:

E[logST]=logSt-logB(t,T)-

因此,由(11)可以得到

I11=hPbB(t,T)N(d1),

(13)

其中,

為了計(jì)算

引進(jìn)新的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù):

根據(jù)Girsanov定理,可以得到

(14)

(15)

E[logST]=logSt-logB(t,T)+

(16)

(17)

由Ito公式,(3)和(8),可以得到

(18)

(19)

由(18)和(19)可以得到

根據(jù)Girsanov定理,可以得到

(20)

(1-h)1{τ>t}φ(t,T)(I21+I22).

(21)

(22)

記γ(t,T)=EQλ(ST),對(duì)(22)取數(shù)學(xué)期望,可以得到

(23)

此外,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì):在概率測(cè)度Qλ下,logST滿足正態(tài)分布,其均值和方差分別為:

E[logST]=logSt-logB(t,T)-

因此,由方程(22)可以得到

(24)

其中,

根據(jù)Girsanov定理,可以得到

(25)

(26)

由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì):在概率測(cè)度QS下,logST滿足正態(tài)分布,其均值和方差分別為:

E[logST]=logSt-logB(t,T)+

于是根據(jù)Bayes法則和(26),I22在鞅測(cè)度QS下為:

(27)

由引理1和引理2,可以得到如下定理1,

定理1Hull-White利率模型下具有隨機(jī)跳違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券在t時(shí)刻的值為:

(28) 其中,h是回收率,其它變量和參數(shù)見(jiàn)引理1和引理2.

由定理1,可以得到常利率下具有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券在t時(shí)刻的值,只需在定理中令a2=0,b2=0,σ2=0,ρ12=ρ23=0,于是有

推論1常利率下具有跳違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券在t時(shí)刻的值為:

其中,

d5=

δ2(t)=

其它有關(guān)參數(shù)見(jiàn)引理1和引理2.

在推論1中如果令η=0,可以得到常利率下不具有跳違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券在t時(shí)刻的值,即

推論2常利率下不具有跳違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券在t時(shí)刻的值為:

推論2中的參數(shù)見(jiàn)推論1.

注11)定理和推論1涉及到違約強(qiáng)度的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,可從市場(chǎng)上的債券報(bào)價(jià)和股票價(jià)格中推得; 2)推論2與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果完全一致; 3)定理、推論1和推論2表明:具有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值可以獨(dú)立地分解成兩部分——無(wú)違約部分加違約部分.

3 數(shù)值算例

為了評(píng)價(jià)模型的性能,下面將利用數(shù)值化的方法來(lái)凸顯跳違約強(qiáng)度(雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程)和隨機(jī)利率對(duì)可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響.基本參數(shù)如下表1.

表1 基本參數(shù)

3.1 雙指數(shù)跳擴(kuò)散對(duì)具有違約風(fēng)險(xiǎn)可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響

下面利用Matlab軟件編程分別計(jì)算了不同跳強(qiáng)度,不同跳躍幅度(包括向上和向下)和不同跳躍概率下的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值,如表2～表4所示.

表2 不同跳強(qiáng)度η下的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值

下的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值

表4 不同跳躍概率p下的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值

從表2～表4可以看出: 1)雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下可轉(zhuǎn)換債券的期限結(jié)構(gòu)都是先減后增,這表明在可轉(zhuǎn)換債券的續(xù)存期限內(nèi)存在拐點(diǎn),可轉(zhuǎn)換債券在對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)上可能違約; 2)跳強(qiáng)度η=0表示違約過(guò)程是連續(xù)過(guò)程,即違約風(fēng)險(xiǎn)沒(méi)有跳風(fēng)險(xiǎn),此時(shí)的定價(jià)公式(28)是Hull-White利率模型下不具有跳違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)公式.隨著跳強(qiáng)度η的增大,基本參數(shù)下同期可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值變的更高,其金融意義是跳強(qiáng)度的增大意味著可轉(zhuǎn)換債券極有可能發(fā)生違約; 3)同期可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值隨著向上(或下)跳躍幅度(跳躍概率)的增大而增加(或減少),其金融意義也是顯然的,即向上跳躍幅度(跳躍概率)的增大,表明可轉(zhuǎn)換債券發(fā)行方發(fā)生違約的可能性在增加,是對(duì)投資者愿意承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的一種補(bǔ)償,反之則相反.

3.2 利率和跳違約雙重風(fēng)險(xiǎn)對(duì)可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響

下面同時(shí)考慮隨機(jī)利率和跳風(fēng)險(xiǎn)對(duì)可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響,利用Matlab軟件,得到了3種情形下可轉(zhuǎn)換債券的期限結(jié)構(gòu)關(guān)系圖.

圖1 3種情形下的可轉(zhuǎn)換債券的期限結(jié)構(gòu)Fig.1 The term structure of convertible bond in three different cases

從圖1可以看到: 1)雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值走勢(shì)是下凸的,這意味著隨著時(shí)間的推移,可轉(zhuǎn)換債券存在拐點(diǎn),在拐點(diǎn)處可能發(fā)生違約; 2)常利率情形下不具有跳違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的期限結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的臨近到期而增大,這是因?yàn)殡S著可轉(zhuǎn)換債券的到期,由于票面利率的原因,持有債券的投資者能得到更多的利息.此外,由于可轉(zhuǎn)換債券兼具了期權(quán)的性質(zhì),可轉(zhuǎn)換債券所隱含的期權(quán)的價(jià)值也在逐漸增加; 3)具有隨機(jī)跳違約風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)下可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值高于常數(shù)利率且不具有跳風(fēng)險(xiǎn)情形下可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值,主要是跳風(fēng)險(xiǎn)提升了可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值,也是對(duì)投資者承擔(dān)跳風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)的一種補(bǔ)償.

4 結(jié)束語(yǔ)

利率風(fēng)險(xiǎn)和違約風(fēng)險(xiǎn)是可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)中不可忽視的風(fēng)險(xiǎn),但在現(xiàn)有的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型中很少一起涉及,特別是涉及跳違約風(fēng)險(xiǎn),大都是涉及轉(zhuǎn)換條款.在宏觀經(jīng)濟(jì)中,利率應(yīng)該是隨機(jī)的,利率的升高會(huì)導(dǎo)致公司融資成本的提高進(jìn)而影響公司的經(jīng)營(yíng),導(dǎo)致公司違約率的上升.本文在約化模型框架下考慮了具有隨機(jī)跳違約風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià),綜合利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理和測(cè)度變換方法得到了可轉(zhuǎn)換債券的解析定價(jià)公式,推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.基于合理的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià),公司可轉(zhuǎn)換債券的發(fā)行,投資者投資組合的優(yōu)化和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避才更為切實(shí)可行.因此,本文的研究結(jié)果對(duì)可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)具有重要的參考價(jià)值.

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Pricing of convertible bond with jump default intensity

PAN Jian1,2, XIAO Qingxian1

(1.Business School, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093;2.College of Mathematics and Computer Science, Gannan Normal University, Ganzhou, Jiangxi 341000)

In this paper, an issue of pricing convertible bonds pricing problem with double jump diffusion default intensity is studied under the reduced-form model. The jump sizes obey the double exponential jump diffusion process, and the price of a stock byob the time-varying diffusion model. The interest rate is governed by the Hull-White model as well as the pairwise correlation model. A pricing model is set up by applying risk-free equilibrium principle. Afterwards, the exact analytical solution of the pricing model is derived by using the martingale method, which extends the conclusion of related literature.

jump default intensity; Hull-White interest rate model; reduced-forms model; martingale method; pricing of convertible bond

2015-09-03.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11471175).

1000-1190(2016)02-0159-09

O211.63;F830.9

A

*E-mail: pan79610@163.com.