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      非自治Kuramoto-Sivashinsky方程一致吸引子的存在性、一致有界性和收斂性

      2016-11-29 09:38:07沈曉鷹馬巧珍
      關(guān)鍵詞:對式內(nèi)積西北師范大學

      沈曉鷹, 馬巧珍

      (西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

      ?

      非自治Kuramoto-Sivashinsky方程一致吸引子的存在性、一致有界性和收斂性

      沈曉鷹, 馬巧珍*

      (西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

      討論了具有奇異振動外力項的Kuramoto-Sivashinsky方程

      ut+Δ2u+Δu+u·u=g(x,t)+ε-ρh(t/ε),u|t=τ=uτ

      和相應(yīng)的Kuramoto-Sivashinsky方程

      ut+Δ2u+Δu+u·u=g(x,t),u|t=τ=uτ

      Kuramoto-Sivashinsky方程; 一致吸引子; 一致有界性; 收斂性

      令ρ∈[0,1]和ε>0,考慮如下Kuramoto-Sivashinsky方程

      (1)

      (2)

      不失一般性,定義

      u(x+2dei,t),x∈Ω,t≥0.i=1,2},

      mu(x+2dei,t),x∈Ω,t≥0.i=1,2},

      m=1,2.

      1 預(yù)備知識

      為了證明本文的主要結(jié)論,下面的概念和抽象結(jié)果是需要的,詳細內(nèi)容請看文獻[8-9].

      (3)

      (4)

      關(guān)于φ∈H(φ0)一致.

      假設(shè)1令{T(h)|h≥0}是作用在符號空間Σ上的一族算子,滿足

      i) T(h)Σ=Σ,?h∈R+;

      ii) 平移恒等式,

      Uσ(t+h,τ+h)=UT(h)σ(t,τ),?σ∈Σ,t≥τ,τ∈R,h≥0.

      引理2[9]設(shè)E是一致凸Banach空間,則滿足假設(shè)1的過程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在E中有緊的一致(關(guān)于σ∈Σ)吸引子AΣ,且

      AΣ=ω0,Σ(B0)=ωτ,Σ(B0),?τ∈R,

      如果它滿足

      i) 有有界一致(關(guān)于σ∈Σ)吸收集B0;

      ii) 滿足一致(關(guān)于σ∈Σ)條件(C).

      進一步,如果E是一致凸Banach空間或Hilbert空間,定理的逆也成立.

      2 一致吸引子的存在性

      2.1 一致吸收集

      為了證明方程(1)和(2)的一致吸引子,先證明方程

      (5)

      一致吸引子的存在性.

      u(t)∈C(Rτ;V),?tu∈C(RT;H).

      (6)

      證明根據(jù)標準的Galerkin方法[11],很容易得到解的存在唯一性.

      (7)

      (8)

      所以

      ‖u(t)‖2≤‖uτ‖2e-α1(t-τ)+

      另外,對式(8)從t到t+1積分得

      從而

      ‖u(t)‖‖Δu(s)‖2ds≤I1.

      (9)

      證明在H中用-Δu與(5)作內(nèi)積,并利用Cauchy不等式得

      (10)

      取α2=Cλ1-2-η>0,則上式變?yōu)?

      (11)

      對式(11)從s到t積分,其中,t-1≤s≤t,

      ‖u(t)‖2≤‖‖,

      再對上式關(guān)于s從t-1到t積分得

      ‖‖‖.

      令t1=t0+1,則當t≥t1時,

      ‖‖,

      由式(10)得

      (12)

      對式(12)從t到t+1積分得

      ‖u(t+1)‖2-‖u(t)‖2+

      因此

      ‖Δu(t)‖≤ρ2.

      (13)

      證明在H中用Δ2u與(5)作內(nèi)積,并利用Cauchy不等式得

      (14)

      對式(14)從s到t積分,其中,t-1≤s≤t,

      再關(guān)于s從t到t+1積分得

      取t2=t1+1,則當t≥t2時

      2.2 一致吸引子

      AH(f0)=ω0,H(f0)(B1)=ωτ,H(f0)(B1),

      (15)

      其中,B1是空間V中的有界一致(關(guān)于f∈H(f0))吸收集.

      證明由定理4和引理2可知,只需證明過程族Uf(t,τ),f∈H(f0)在空間V中滿足一致(關(guān)于f∈H(f0))條件(C).

      0<λ1≤λ2≤…≤λj≤…,j→∞,λj→+∞,

      (16)

      Aωj=λjωj,?j∈N.

      設(shè)Vm=span{ω1,…,ωm}是空間V的m維子空間,Pm:V→Vm是標準正交投影.對任意的u∈D(A)可分解為:

      u=Pmu+(I-Pm)uu1+u2.

      (17)

      在空間V中用Au2與(5)式做內(nèi)積,可得

      進一步,

      (18)

      由引理2,當m充分大時,對任意的ε>0,

      因此

      ‖Δu2‖2≤ε,?t≥T,f∈H(f0),

      從而過程族Uf(t,τ),f∈H(f0)在空間V中滿足一致(關(guān)于f∈H(f0))條件(C).

      2.3 吸引子Aε的一致有界性

      (19)

      的解,其中,ε∈(0,1],且滿足不等式

      ‖Δv(t)‖2≤Cε.

      (20)

      根據(jù)Gronwall引理得

      證明令u是方程(1)在初值uτ∈V下的解.對?ε>0,考慮方程

      (21)

      類似定理6,有

      ‖Δv(t)‖2≤Cε1-ρ,

      (22)

      令w(t)=u(t)-v(t),則w(t)是滿足方程

      wt+Δ2w+Δw+B(w+v,w+v)=

      g(x,t),w|t=τ=uτ.

      (23)

      再用w與式(23)作內(nèi)積,可得

      |b(w+v,v,w)|+(g(x,t),w),

      估計三線性型b(w+v,v,w),

      |b(w,v,w)|≤C‖w‖·‖Δw‖·‖Δv‖≤

      |b(v,v,w)|≤C‖v‖·‖Δv‖·‖Δw‖≤

      2C‖w‖2‖Δv‖2+2C‖v‖2‖Δv‖2+2C‖g‖2,

      ‖w(t)‖2≤

      由u=w+v和式(22)可得

      (24)

      因此,過程族Uε(t,τ)有一個不依賴于ε的吸收集B*.由于Aε?B*,則定理得證.

      3 一致吸引子的收斂性

      為了證明定理8,首先需要比較當初始值相同時,方程(1)和(2)的解.記

      uε(t)=U(t,τ)uτ,

      其中,uτ屬于吸收集B*.由式(24)可得一致估計,

      (25)

      特別地,當ε=0時,由于uτ∈B*,則有

      (26)

      其中,R0=R0(ρ),因為B*的大小依賴于ρ.

      定理9對?ε∈(0,1],τ∈R和?uτ∈B*,令

      w(t)=uε(t)-u0(t),

      (27)

      其中,uε(0)=u0(0)=uτ,對任意的不依賴于ε的常數(shù)C,滿足

      證明由于誤差w(t)是方程

      wt+Δ2w+Δw+B(uε,uε)-B(u0,u0)=

      的解.

      令q(t)=w(t)-v(t),其中,v(t)是方程(21)的解,則q(t)滿足

      qt+Δ2q+Δq+B(uε,uε)-B(u0,u0)=0,

      q|t=τ=0,

      (28)

      注意到

      (B(uε,uε)-B(u0,u0),q)=b(u0,v,q)+

      b(q,u0,q)+b(v,u0,q)+b(q,v,q)+b(v,v,q),

      所以,用q與式(28)作內(nèi)積得

      2C(‖Δu0‖2+‖Δv‖2)‖q(t)‖2+

      再用Δ2q與式(28)作內(nèi)積得

      C(‖Δu0‖2+‖Δv‖2+

      (29)

      由w=q+v和式(22)可得

      為了研究一致吸引子的收斂性,實際上需要定理9更一般的形式,其對應(yīng)的方程簇為:

      (30)

      對任意的ε∈(0,1],令

      定理10如下不等式成立,

      結(jié)合定理10,當t=0和τ=-L時,有

      令L=T,結(jié)合上述兩個不等式,可得

      由于uε∈Aε是任意的,則

      其中,δ>0是任意的常數(shù),證畢.

      [1] KURAMOTO Y. Difusion induced chaos in reaction systems[J].Progr Theoet Phys Suppl, 1978, 64:346-367.

      [2] SIVASHINSKY G. On flame propagation under conditions of stoichiometry[J].SIAM J Appl Math, 1980, 64:67-82.

      [3] GUO B L, SU F Q. The global attractors for the periodic initial value problem of generalized Kuramoto-Sivashinsky type equations in multi-dimensions[J].J Partial Diff Eqs, 1993, 6:217-236.

      [4] GUO B L, GAO H J. Global attractor for axially symmetric Kuramoto-Sivashinsky equation in annular domains[J].J Math Study, 1996, 29:1-4.

      [5] 王冠香, 劉曾榮. Kuramoto-Sivashinsky 方程的漸近吸引子[J].應(yīng)用數(shù)學學報, 2000, 23:329-336.

      [6] WANG S Y, MU L G,ZHANG Y H. Global attractors of strong solution for the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation[J].Chinese Quart J Math, 2008, 23:75-82.

      [8]LUSS,WUHQ,ZHONGCK.Attractorsfornon-autonomous2DNavier-Stokesequationswithnormalexternalforce[J].DiscrContDynSys, 2005, 13:701-719.

      [9]MAQF,WANGSH,ZHONGCK.Necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofglobalattractorsforsemigroupsandapplications[J].IndianaUnivMath, 2002, 51:1541-1557.

      [10]ANHACT,TOANBND.NonclassicaldiffusionequationsonRNwith singularly oscillating external forces[J].Applied Mathematics Letters, 2014, 38:20-26.

      [11] BABIN A V, VISHIK M I. Attractors of Evolution Equations[M]. Amsterdam:North-Holland, 1922.

      ut+Δ2u+Δu+u·u=g(x,t)+ε-ρh(t/ε),u|t=τ=uτ

      forρ∈[0,1] andε>0 and the corresponding K-S equation:

      ut+Δ2u+Δu+u·u=g(x,t),u|t=τ=uτ, as ε=0.

      Furthermore, the uniform (w.r.t.ε) boundedness of a class of uniform attractorsAεare verified as well as the convergence of the attractorsAεfor the first equation to the attractorA0of the second one asε→0+.

      Existence,uniform boundedness and convergence of uniform attractors for the non-autonomous Kuramoto-Sivashinsky equations

      SHEN Xiaoying, MA Qiaozhen

      (College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070)

      Kuramoto-Sivashinsky equation; uniform attractors; uniform boundedness; convergence

      2015-08-23.

      國家自然科學基金項目(11101334);甘肅省自然科學基金項目(1107RJZA223);甘肅省教育廳高??蒲袠I(yè)務(wù)費項目.

      1000-1190(2016)02-0168-06

      O175.29

      A

      *通訊聯(lián)系人. E-mail: maqzh@nwnu.edu.cn.

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