胡愛(ài)和

(張家港崇真中學(xué) 江蘇 蘇州 215631)(收稿日期：2016-05-23)

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深度解析磁通量的變化

胡愛(ài)和

(張家港崇真中學(xué) 江蘇 蘇州 215631)(收稿日期：2016-05-23)

高中階段由于引入磁通量的教學(xué)時(shí)機(jī)有待商榷，主觀造成了學(xué)生對(duì)磁通量及其變化的理解困難；基于高中物理教學(xué)的實(shí)際需要，提出了兩種磁通量變化的簡(jiǎn)易算法，并對(duì)涉及磁通量變化的應(yīng)用提出了幾點(diǎn)建議．

磁通量變化 平面法向量 電荷量 電磁感應(yīng)定律

磁通量及其變化貫穿《物理·選修3-2》，盡管它們的作用、意義巨大，但磁通量好似罩著一層朦朧面紗，學(xué)生對(duì)其的認(rèn)知感悟總是充滿了困惑．之所以認(rèn)識(shí)上模糊，筆者認(rèn)為主要原因：首先磁通量引入時(shí)機(jī)尷尬；高中階段物理量引入目的性很強(qiáng)，或?yàn)榻鉀Q某類問(wèn)題，或?yàn)槊枋瞿承┈F(xiàn)象，而磁通量是《物理·選修3-1》學(xué)習(xí)磁場(chǎng)時(shí)突然出現(xiàn)的(起碼學(xué)生這樣認(rèn)為)，缺少了服務(wù)于教學(xué)的迫切動(dòng)機(jī)，正因?yàn)槟康牟幻鞔_，教師在新課教學(xué)中忽視了對(duì)磁通量?jī)?nèi)涵的理解和外延的把握，造成了磁通量教學(xué)地位尷尬．其次不少教師對(duì)磁通量變化的認(rèn)知不統(tǒng)一；物理學(xué)習(xí)中一直沒(méi)有較好的方法計(jì)算磁通量的變化，前幾年教師間關(guān)于“交流發(fā)電機(jī)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周，磁通量的變化是4BS還是零？”的爭(zhēng)論還歷歷在目，甚至出現(xiàn)了同校不同教師的班級(jí)得出兩種不同的“正確”分析；教師內(nèi)部的認(rèn)識(shí)都不統(tǒng)一，學(xué)生出現(xiàn)困惑也理所當(dāng)然．

本文基于高中物理教學(xué)需要，擬提出兩種磁通量變化的計(jì)算方法，并對(duì)涉及磁通量變化的應(yīng)用提出幾點(diǎn)建議，供同行探討．

1 磁通量變化的兩種算法

磁通量是標(biāo)量，有正有負(fù)，磁通量的正負(fù)不表示大小，可以理解為是一種標(biāo)示，類似功的正負(fù)．高中物理學(xué)習(xí)中，若不涉及磁通量變化，規(guī)定磁通量的正負(fù)意義不大；而在磁通量變化過(guò)程中，教師對(duì)磁通量正負(fù)的規(guī)定又具有隨意性，正是這種隨意讓學(xué)生費(fèi)解，因此厘清磁通量為什么會(huì)有正負(fù)變化是解決學(xué)生困惑的關(guān)鍵，也是正確計(jì)算磁通量變化的關(guān)鍵．

1.1 引入平面法向量計(jì)算磁通量的變化

高中《數(shù)學(xué)·選修2-1》空間向量(第99頁(yè))對(duì)平面法向量做出了明確的定義，該內(nèi)容的教學(xué)和《物理·選修3-1》磁場(chǎng)的學(xué)習(xí)幾乎同步，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)《物理·選修3-2》時(shí)具備了應(yīng)用平面法向量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為計(jì)算磁通量變化做好了鋪墊．下面用一個(gè)案例探討引入平面法向量計(jì)算磁通量變化的過(guò)程．

如圖1所示，矩形線圈從與磁場(chǎng)垂直的位置(圖中實(shí)線)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)180°，已知?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，線圈面積為S，求過(guò)程中磁通量的變化．

圖1 磁場(chǎng)中的矩形線圈

選取一條與線圈平面垂直的有向線段——平面的法向量n，如圖1中所示；線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與線圈構(gòu)成一個(gè)整體的平面法向量n也隨之一起轉(zhuǎn)動(dòng)，穿過(guò)線圈的磁通量可以表示為Φ =BScos α，其中α是磁感應(yīng)強(qiáng)度與平面法向量的夾角．根據(jù)表達(dá)式，初始位置線圈的磁通量Φ1=BS，末位置的磁通量為Φ2= -BS，因此過(guò)程中磁通量的變化

ΔΦ=Φ2-Φ1=-2BS

若線圈從初始位置開始轉(zhuǎn)動(dòng)一周，由于初末位置的平面法向量與磁感應(yīng)強(qiáng)度的夾角相同，初末位置的磁通量也相同，所以磁通量的變化

ΔΦ=Φ2- Φ1= 0

引入法向量不僅方便計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)中磁通量的變化，對(duì)平動(dòng)中的磁通量變化計(jì)算也有益．

如圖2所示，完全對(duì)稱的磁場(chǎng)其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，面積為S的線框從磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)拖動(dòng)到Ⅱ區(qū)，磁通量的變化為

ΔΦ=Φ2-Φ1= BScos 180°-BScos 0°=-2BS

圖2 線圈在完全對(duì)稱的磁場(chǎng)

以往計(jì)算磁通量或磁通量的變化，習(xí)慣做法是將磁感應(yīng)強(qiáng)度分解或?qū)⒚娣e沿磁場(chǎng)方向投影，學(xué)生由于空間感不強(qiáng)對(duì)角度的判斷容易混淆；引入平面法向量n計(jì)算磁通量變化，有利于學(xué)生迅速找準(zhǔn)磁感應(yīng)強(qiáng)度與法向量的夾角α(比線面夾角更直觀，更容易確定)，有利于學(xué)生理解磁通量正負(fù)的來(lái)歷——只由兩者夾角α決定，也讓學(xué)生了解磁通量規(guī)定正負(fù)是為了方便計(jì)算其變化．

1.2 Φ- t圖像法計(jì)算磁通量的變化

線圈繞與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，穿過(guò)線圈的磁通量變化是連續(xù)的；線圈處在與磁場(chǎng)平行的位置時(shí)，磁通量為零，零是連續(xù)變化的正負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換的臨界點(diǎn)；當(dāng)線圈即將轉(zhuǎn)過(guò)與磁場(chǎng)平行的位置(Φ=0)，此時(shí)穿過(guò)線圈的磁通量即將由正值變?yōu)樨?fù)值，或剛好相反．根據(jù)這一特點(diǎn)，可以繪制Φ-t圖像形象地反映并計(jì)算線圈中磁通量變化．

在圖1所示的線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中，取初始時(shí)刻磁通量為正值，當(dāng)t1時(shí)刻線圈轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)，磁通量為零，此時(shí)線圈的磁通量即將由正變負(fù)，描繪Φ- t圖像如圖3所示，以后再轉(zhuǎn)90°至圖1中虛線所示位置時(shí)，磁通量為- BS；轉(zhuǎn)半圈的磁通量變化

ΔΦ= -BS - BS= -2BS

圖3 Φ-t圖像

轉(zhuǎn)一圈的磁通量變化為

ΔΦ= BS - BS=0

即使線圈不是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)也可以借鑒圖像計(jì)算磁通量變化，只不過(guò)最好能轉(zhuǎn)換為Φ-θ圖像，θ是線圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度．當(dāng)然圖像法也有局限性，僅限于線圈在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)線圈平動(dòng)如圖2所示，此時(shí)應(yīng)用圖像法計(jì)算磁通量變化就不方便．

2 對(duì)電荷量的限制應(yīng)用

足夠長(zhǎng)的導(dǎo)軌MON處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，如圖4所示，ON和OM的夾角為53°，與ON垂直的導(dǎo)體棒AB從O點(diǎn)開始以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒與ON和OM始終接觸良好且它們單位長(zhǎng)度的電阻均為r.求經(jīng)過(guò)3t時(shí)間通過(guò)導(dǎo)體棒橫截面的電荷量．

圖4 導(dǎo)體棒在成夾角的導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)磁通量的變化

學(xué)生解題思路1：

導(dǎo)體棒在3t時(shí)間內(nèi)的位移

x=3v t

導(dǎo)體棒在回路中的有效長(zhǎng)度

L=4v t

此時(shí)回路的電阻為

R=12v tr

回路面積為

所以穿過(guò)的電荷量為

學(xué)生解題思路2：

經(jīng)任意時(shí)間t導(dǎo)體棒的位移

x= v t

切割磁感線的有效長(zhǎng)度為

閉合回路中的有效電動(dòng)勢(shì)為

此時(shí)閉合回路的電阻為

在t時(shí)刻電路中的電流

該電流與時(shí)間無(wú)關(guān)，是一個(gè)定值．

因此穿過(guò)橫截面的電荷量

據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

電路中的感應(yīng)電流

電荷量q=IΔt， 聯(lián)立3個(gè)表達(dá)式得

3 磁通量與感應(yīng)電流間正負(fù)的自洽問(wèn)題

近日聽(tīng)公開課“交流電的產(chǎn)生”，覺(jué)得有些方面值得商榷．

經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)、理論探究，師生共同歸納了正弦交流電產(chǎn)生的規(guī)律；課堂尾聲，教師拋出這樣一個(gè)問(wèn)題，出現(xiàn)了下面的教學(xué)片段：如圖5所示，線圈處于變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，開始時(shí)磁場(chǎng)向里；穿過(guò)線圈的磁通量隨時(shí)間的變化如圖6所示，規(guī)定沿ABCDA(逆時(shí)針)電流為正，試判斷各階段電流的方向，并定性畫出i-t圖像．

圖5 線圈處于變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中

圖6 Φ-t變化曲線

學(xué)生在充分的思考以及小組交流后，師生互動(dòng)中學(xué)生應(yīng)用楞次定律判斷電流方向，再與規(guī)定的電流方向比較畫出i-t圖，并在實(shí)物投影上展示如圖7所示的i-t圖像，得到師生的肯定．整個(gè)過(guò)程邏輯嚴(yán)密，合乎規(guī)范，那值得商榷的地方在哪兒？

圖7 值得商榷的i-t圖像

圖8 正確的i-t圖像

也就是說(shuō)，一旦在情境中規(guī)定了磁通量的正負(fù)，在磁通量的變化過(guò)程中，電流、電動(dòng)勢(shì)的正負(fù)就隨

之確定．而題干中Φ-t圖像明確的情況下，再規(guī)定電流的正負(fù)反而是畫蛇添足．

Depth Analysis on Magnetic Flux Changes

Hu Aihe

(Zhangjiagang Chongzhen Middle School,Suzhou,Jiangsu 215631)

Due to the introduction of magnetic flux teaching time for debate in middle school,Subjective caused difficulties of understanding flux and its changes for students.This article is based on middle school physics teaching actual need,Put forward the two kinds of magnetic flux change simple algorithm,And to involve the application of magnetic flux change puts forward some Suggestions.

the change of the magnetic flux；surface normal vector；electric quantity；law ofelectromagnetic induction