陳艷萍, 黃封林

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

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控制-狀態(tài)受限橢圓最優(yōu)控制問題的新誤差估計

陳艷萍*, 黃封林

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

構(gòu)建了控制-狀態(tài)積分受限橢圓最優(yōu)控制問題的譜方法計算格式,推導(dǎo)了最優(yōu)性條件,并利用收斂性結(jié)果和分類討論的方法對拉格朗日乘子的逼近誤差進(jìn)行估計,進(jìn)而得出了后驗誤差估計結(jié)果. 文中為偏微分方程最優(yōu)控制問題提供了具有高精度的求解方法,并為發(fā)展最優(yōu)控制問題的hp自適應(yīng)譜元方法計算奠定了基礎(chǔ).

最優(yōu)控制; 橢圓方程; 譜方法; 誤差估計

最優(yōu)控制問題已被廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計和實際應(yīng)用當(dāng)中. 作為一種有效求解偏微分方程的數(shù)值方法,有限元方法亦被廣泛應(yīng)用于偏微分方程最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解. 關(guān)于控制或狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題理論和數(shù)值計算方面的研究已經(jīng)有了大量的成果[1-9].

對于控制-狀態(tài)雙受限以及混合受限問題,早在20世紀(jì)80年代,CASAS[10]已經(jīng)對控制-狀態(tài)受限橢圓最優(yōu)控制問題拉格朗日乘子的存在性、最優(yōu)性條件以及解的正則性等進(jìn)行了深入研究. R?SCH和TR?LTZSCH[11]證明了混合控制-狀態(tài)受限半線性橢圓控制問題有界與可測的拉格朗日乘子的存在性. 在已有文獻(xiàn)[12-13]中有更多關(guān)于這方面的理論研究. 關(guān)于數(shù)值求解方面,CASAS[14]討論了控制逐點受限且伴有有限個狀態(tài)約束下半線性橢圓方程最優(yōu)控制問題的有限元逼近,給出了收斂性證明. R?SCH和WACHSMUTH[15]分析了控制-狀態(tài)受限橢圓最優(yōu)控制問題的有限元逼近,給出了只含有可計算項的可靠后驗誤差估計子. CHEREDNICHENKO和R?SCH[16]討論了混合控制-狀態(tài)受限問題正則化參數(shù)與網(wǎng)格尺寸之間的合理選取,并給出了誤差分析.

在過去的10余年里,譜方法亦被成功應(yīng)用于一些最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解. CHEN等[17]考慮控制積分受限橢圓最優(yōu)控制問題的譜方法逼近,推導(dǎo)了最優(yōu)性條件,建立了先驗和后驗誤差估計,給出了hp譜元逼近格式以及相應(yīng)的后驗誤差估計,并通過數(shù)值實驗證實了方法的有效性. CHEN等[18]采用勒讓德伽遼金譜方法逼近流體最優(yōu)控制問題,分析了無約束問題的先驗誤差估計以及控制積分受限問題的先驗和后驗誤差估計,通過數(shù)值實驗證實了理論結(jié)果和方法的有效性. ZHOU和YANG[19]討論了狀態(tài)受限第一類雙調(diào)和方程最優(yōu)控制問題的譜方法求解,構(gòu)建了先驗誤差估計. 與有限元方法相比,譜方法對于解充分光滑的最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解具有高精度、快速收斂以及計算量相對較少等優(yōu)勢. 本文考慮控制-狀態(tài)雙受限最優(yōu)控制問題的譜方法逼近,推導(dǎo)最優(yōu)性條件并給出后驗誤差分析.

取Ω=n(1≤n≤3)， 本文記Wm,q(Ω)為標(biāo)準(zhǔn)的Sobolev空間,其裝備范數(shù)‖·‖m,q,Ω和半范數(shù)|·|m,q,Ω(當(dāng)q=2時分別簡記為‖·‖m,Ω和|·|m,Ω). 取α為多重指標(biāo),記{wWm,q(Ω):Dαw|?Ω=0,|α|≤m-1},且將簡記為). 此外,用W′表示空間W的共軛空間,用T′(u)表示算子T在u處的Gteaux導(dǎo)算子,對函數(shù)w有Ωw/Ω1,用C表示與多項式次數(shù)N無關(guān)的正常數(shù).

1 譜方法逼近與最優(yōu)性條件

(1)

其中y0為觀測狀態(tài),α為給定的正常數(shù),d1和d2為給定的常數(shù).

為實現(xiàn)最優(yōu)控制問題(1)的譜方法逼近,需要給出狀態(tài)方程的弱形式. 令

a(y,w)=Ωy·w (?y,wY)，

(u,w)=Ωuw (?u,wU).

(2)

容易驗證存在常數(shù)σ>0和θ>0,使得

|a(u,v)|≤σ‖u‖Y‖v‖Y(?u,vY),

(3)

由式(2),狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)弱形式可描述為:求y(u)Y,使得

a(y(u),w)=(u+f,w) (?wY).

(4)

則控制問題(1)被重新陳述為:求(u,y)U×Y,使得

(5)

其中

Uad={uU:Ωu≥d1},K={wL1(Ω):Ωw≥d2}.

不難證明(u,y)U×Y為最優(yōu)控制問題(5)的解當(dāng)且僅當(dāng)存在(y*,)Y×-(-={c:c≤0}),使得(u,y,y*,)滿足如下一階最優(yōu)性條件:

a(y,w)=(u+f,w) (?wY),

a(q,y*)=(y-y0,q)+(,q) (?qY),

(,v-y)≤0 (?vK),

(y*+αu,ψ-u)≥0 (?ψUad).

(6)

為給出最優(yōu)性條件(6)的證明,先考察如下優(yōu)化問題

(7)

其中U和Z為Banach空間,KCasas?U與C?Z均為凸集,C內(nèi)部非空,J:U→(-∞,+∞]及G:U→Z. 對此優(yōu)化問題，CASAS[20]利用凸集分離定理證明了如下一階最優(yōu)性條件：

(a)+‖μ‖Z′>0,

(c)<

進(jìn)一步地,若Slater類型條件成立， 即存在u0KCasas,使得,則可取為1.

下面利用定理A的結(jié)論給出最優(yōu)性條件(6)的證明. 事實上,若u為問題(5)的最優(yōu)控制變量,則可取定理A中U、Z、KCasas和C分別為L2(Ω)、、Uad和{s:s≥d2},又容易驗證存在u0KCasas(=Uad)使得Slater類型條件成立,從而由定理A的結(jié)論可知存在Z′(=)使得

<,s-G(u)>≤0 (?sC (={s:s≥d2})),

≥0 (?ωUad).

(s-Ωy)≤0 (?sC (={s:s≥d2}),

+G′(u)(ω-u)≥0 (?ωUad).

(8)

又由y-y0+L2(Ω),故可引進(jìn)如下共軛狀態(tài)方程:

a(q,y*)=(y-y0+,q) (?qY).

(9)

(y-y0+,y′(u)(ω-u))+(αu,ω-u)=(αu+y*,ω-u).于是有

(,v-y)≤0 (?vK),

(y*+αu,ω-u)≥0 (?ωUad).

結(jié)合以上討論以及最優(yōu)性條件(6)解的唯一性則可得到最優(yōu)性條件(6).

由最優(yōu)性條件(6)的推導(dǎo)過程可以得出

,

(10)

(11)

注1 設(shè)(u,y,y*,)滿足最優(yōu)性條件(6)且初始數(shù)據(jù)f,y0L2(Ω),則最優(yōu)控制uH2(Ω).

對狀態(tài)方程作如下逼近:

a(yN,wN)=(uN+f,wN) (?wNYN).

從而控制問題(5)的勒讓德伽遼金譜方法逼近可描述為:

(12)

類似地,控制問題(12)有唯一解(uN,yN)UN×YN,且(uN,yN)為控制問題(12)的解當(dāng)且僅當(dāng)存在,N)YN×-使得:

(13)

其中

(14)

且

(15)

2 后驗誤差估計

此節(jié)推導(dǎo)最優(yōu)控制問題(5)譜方法逼近的后驗誤差估計. 對控制變量的誤差采用L2范數(shù)估計,對狀態(tài)和共軛狀態(tài)變量的誤差采用H1范數(shù)估計. 這些估計結(jié)果為今后發(fā)展最優(yōu)控制問題的hp譜元法與自適應(yīng)計算奠定了很好的基礎(chǔ). 首先給出2個重要的結(jié)果.

引理1[21]設(shè)PN:L2(Ω)→QN為L2正交投影算子,其對任意rL2(Ω)滿足

(r-PNr,vN)=0 (?vNQN)，

‖r-PNr‖0,Ω≤CN-m‖r‖m,Ω.

其中

(16)

下面給出在后驗誤差估計中起到非常重要的作用的2個引理.

(17)

證明 首先,推導(dǎo)出

(18)

及

‖uN‖0,Ω+‖yN‖1,Ω≤C.

(19)

事實上,設(shè)φ,ybY分別為以下方程的解:

a(φ,w)=(1,w) (?wY),

(20)

a(yb,w)=(f,w) (?wY).

(21)

(22)

a(yN(vN),wN)=(vN+f,wN) (?wNYN),

JN(uN,yN)≤JN(vN,yN(vN))≤C,

其意味著式(18)成立,進(jìn)而有式(19)成立.

接下來,分2種情形進(jìn)行討論.

因此

C‖uN‖0,Ω+C‖yN-y0‖0,Ω+C≤C.

(23)

而對充分大的N有

(24)

由式(23)和式(24)可知

|N|≤C.

(25)

結(jié)合式(3)、(13)和式(25)有

借助引理3的結(jié)論(17)不難證明以下收斂性結(jié)果.

引理4 設(shè)(u,y,y*,)為最優(yōu)性條件(6)的解,而,N)為最優(yōu)性條件(13)的解. 則當(dāng)N→∞時有‖u-uN‖0,Ω→0,‖y-yN‖1,Ω→0,‖‖1,Ω→0,|-N|→0.

現(xiàn)引進(jìn)如下輔助系統(tǒng):求(y(uN),y*(uN))Y×Y，使得

(26)

則由式(13)和式(26)得到

(27)

于是結(jié)合式(16)可得

CN-1‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω‖yN-y(uN)‖1,Ω.

從而

‖yN-y(uN)‖1,Ω≤CN-1‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω.

(28)

類似地推導(dǎo)出

(29)

又由式(6)和式(26)有

a(y-y(uN),w)=(f-PNf+u-uN,w) (?wY),a(q,y*-y*(uN))=(y-yN+PNy0-y0+-N,q)(?qY).

(30)

從而

‖y-y(uN)‖1,Ω≤C‖u-uN‖0,Ω+CN-1‖f-PNf‖0,Ω,

(31)

以及

‖y*-y*(uN)‖1,Ω≤

C‖y-yN+-N‖0,Ω+CN-1‖y0-PNy0‖0,Ω≤

C(‖y-yN‖0,Ω+|-N|+N-1‖y0-PNy0‖0,Ω).

(32)

在完成以下2個引理的證明后即可給出后驗誤差估計的證明.

引理5 設(shè)(u,y,y*,)和,N)分別為最優(yōu)性條件(6)、(13)的解,則

‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω)+C(‖u-uN‖0,Ω+

N-1‖f-PNf‖0,Ω+N-1‖y0-PNy0‖0,Ω).

(33)

證明 在式(30)中取q=φ,且在式(20)中取w=y*-y*(uN),則

(y-yN+PNy0-y0+-N,φ)=(1,y*-y*(uN)).

從而

(-N,φ)=(1,y*-y*(uN))-(y-yN,φ)-(PNy0-y0,φ).故有

(34)

a(q,y*-y*(uN))=(y-yN,q)+(PNy0-y0,q)+

(35)

令z1,z2Y分別滿足

a( q,z1)=(y-yN,q)+(PNy0-y0,q)-

(36)

以及

(37)

由式(35)～(37)可知

(38)

接下來的討論分4種情形進(jìn)行.

結(jié)合式(38)推導(dǎo)出

‖yN-y(uN)‖0,Ω)+CN-1(‖f-PNf‖0,Ω+

‖y0-PNy0‖0,Ω).

(39)

其同樣可以導(dǎo)出式(39).

N-1‖y0-PNy0‖0,Ω)≤C(‖u-uN‖0,Ω+

CN-1(‖f-PNf‖0,Ω+‖y0-PNy0‖0,Ω).

(40)

綜合式(28)、(29)和式(40)，便可完成引理的證明.

引理6 設(shè)(u,y,y*,)和,N)分別為最優(yōu)性條件(6)、(13)的解,則有

‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω+‖y0-PNy0‖0,Ω+‖f-PNf‖0,Ω).

(41)

y-y(uN))-(f-PNf,y*(uN)-y*).

從而推導(dǎo)出

N-1‖y0-PNy0‖0,Ω+N-1‖f-PNf‖0,Ω).

(42)

于是,綜合式(28)、(29)以及式(42)即可完成引理的證明.

利用以上結(jié)果可給出如下后驗誤差估計.

定理1 設(shè)(u,y,y*,)和,N)分別為最優(yōu)性條件(6)、(13)的解，則有

其中η=η1+η2,且

η1=N-1‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω,

=N-1(‖f-PNf‖0,Ω+‖y0-PNy0‖0,Ω).

‖y-y(uN)‖1,Ω+‖y(uN)-yN‖1,Ω+

綜合式(28)、(29)、(31)～(33)以及式(41)即可完成定理的證明.

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【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編：肖菁】

A New Error Estimates for Elliptic Optimal Control Problems with Control and State Constraints

CHEN Yanping*, HUANG Fenglin

(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

Galerkin spectral method is used to approximate elliptic optimal control problems with integral control and state constraints in this paper. The optimality conditions for the control problems are derived; the estimation for Lagrange multiplier is investigated by the convergence results and classification discussion; then a posteriori error estimates are presented. This work provides efficient numerical method with high-precision and lays the foundation for developing hp-adaptive spectral element method for optimal control problems of PDEs.

optimal control; elliptic equations; spectral method; error estimates

2016-02-16 《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項目(91430104,11271145)

O

A

*通訊作者:陳艷萍,教授,珠江學(xué)者,Email:yanpingchen@scnu.edu.cn.