基于多重分形的我國(guó)股票波動(dòng)特征研究

張廣林+黃潔儀+陳胡松+陳仁蓮

【摘要】本文對(duì)上證指數(shù)收盤指數(shù)的收益率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性描述，發(fā)現(xiàn)其呈現(xiàn)“尖峰胖尾”現(xiàn)象;采用Hurst指數(shù)檢驗(yàn)法，運(yùn)用軟件分析出上證指數(shù)存在多重分形波動(dòng)特征。并采用多重分形區(qū)趨勢(shì)法（MF-DFA法），做出上證指數(shù)收益率序列的多重分形譜f（α）與奇異指數(shù)α的關(guān)系圖，得出我國(guó)股票存在多重分形現(xiàn)象，有著顯著長(zhǎng)記憶性，且效果圖優(yōu)于文[5]，進(jìn)而說(shuō)明時(shí)間的選取影響著分形效果。

【關(guān)鍵詞】多重分形 ?統(tǒng)計(jì)性檢驗(yàn) ?多重分形譜 ?波動(dòng)特征

自1990年上交所成立以來(lái)，證券市場(chǎng)呈現(xiàn)出現(xiàn)晚、發(fā)展快，是一個(gè)典型的新興市場(chǎng)。期間經(jīng)歷了各種風(fēng)雨，2015年6月更顯現(xiàn)“A股巨震”、“千股跌?！?，一次次反映出我國(guó)金融體系的不成熟?；诖?，金融市場(chǎng)的研究備受關(guān)注，而Peters[1]于1994年提出的分形市場(chǎng)假說(shuō)（FMH）給金融市場(chǎng)的探索開辟了另一條道路。文[2]對(duì)歐美等國(guó)的證券市場(chǎng)的研究結(jié)果表明大多數(shù)市場(chǎng)具有明顯的分形特征：自相似性、顯著的Hurst指數(shù)。文[3]對(duì)我國(guó)滬深兩市實(shí)證發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的波動(dòng)按照不同的統(tǒng)計(jì)尺度體現(xiàn)出自相似性，并呈現(xiàn)出“尖峰厚尾”的穩(wěn)定分布特征。文[4]給出貴金屬市場(chǎng)的多重分形結(jié)構(gòu)由長(zhǎng)自相關(guān)性和“厚尾”概率決定。文[5]運(yùn)用MF-DFA法，得出滬深300股指期貨收益率序列的多重分形譜f（α）與奇異指數(shù)α的關(guān)系圖，進(jìn)而說(shuō)明收益率序列的標(biāo)度指數(shù)也將不同。

本文從統(tǒng)計(jì)性檢驗(yàn)和多重分形譜兩個(gè)方面對(duì)上證指數(shù)的波動(dòng)特征進(jìn)行分析并探究其影響因素，得出在選取樣本數(shù)據(jù)不同的時(shí)間段下，其效果圖優(yōu)于文[5]，進(jìn)而說(shuō)明時(shí)間段的選取影響著分形效果。

一、數(shù)據(jù)描述

本文選用樣本數(shù)據(jù)為同花順行情系統(tǒng)中的2010年8月2日至2016年8月1日的上證指數(shù)收盤指數(shù)。

首先對(duì)所得原始數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與預(yù)處理，剔除異常數(shù)據(jù)，余1458個(gè)有效數(shù)據(jù)。選用對(duì)數(shù)收益率為本文研究對(duì)象，即

Rt（τ）=lnP（t+τ）-lnP（t）（1）

式中：Rt（τ）為時(shí)間標(biāo)度τ下t時(shí)刻的收益率;τ=1、5、22（對(duì)應(yīng)為日、周、月）;P（t）為t時(shí)刻價(jià)格。

二、統(tǒng)計(jì)性描述

樣本中共1458個(gè)日數(shù)據(jù)，291個(gè)周數(shù)據(jù)，66個(gè)月數(shù)據(jù)，采用J-B檢驗(yàn)對(duì)數(shù)收益率是否滿足正態(tài)性假定進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性描述，結(jié)果如圖1.1-3.

圖1.1 上證指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率分布的直方圖

圖1.2 上證指數(shù)周對(duì)數(shù)收益率分布的直方圖

圖1.3 上證指數(shù)月對(duì)數(shù)收益率分布的直方圖

表1.1 上證指數(shù)日、周、月對(duì)數(shù)收益率J-B統(tǒng)計(jì)量結(jié)果

表1.1為上證指數(shù)日、周、月對(duì)數(shù)收益率J-B統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果。若變量符合正態(tài)分布，則K=3。而日、周、月數(shù)據(jù)的K值顯著大于3，且呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì);P值也趨于零，這說(shuō)明三組數(shù)據(jù)離正態(tài)分布的假設(shè)距離甚遠(yuǎn)。

對(duì)表1.1的變量，由上圖1知，月收益率最接近正態(tài)分布。然而，在圖1.3中可以看出，在月收益率0.15附近取值的概率遠(yuǎn)大于正態(tài)分布下該點(diǎn)的概率。進(jìn)而可知上證指數(shù)的日、周、月對(duì)數(shù)收益率均呈現(xiàn)明顯的“尖峰厚尾”現(xiàn)象，不符合正態(tài)分布特征。

三、數(shù)據(jù)處理

（一）多重分形區(qū)趨勢(shì)法（MF-DFA）

Peng[6]等人在1994年研究DNA機(jī)理時(shí)采用消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（DFA）去分析時(shí)間序列的長(zhǎng)自相關(guān)性。但DFA法僅適合分析一維的單重分形時(shí)間序列。2002年，Kantelhardt，J.W[7]等將多重分形和DFA結(jié)合，提出多重分形趨勢(shì)波動(dòng)分析方法（MF-DFA），其可以刻畫時(shí)間序列在不同時(shí)間標(biāo)度下的多重分形特征，步驟如下：

考察時(shí)間序列{x（t）}（t=1，2，…，N）的q階配分函數(shù)Xq（s）：

Xq（s）=<|x（t+τ）-x（t）|q>，t=1，2，…，N-τ（2）

當(dāng)q=2時(shí)，即為趨勢(shì)消除波動(dòng)分析法（DFA）[6]。而MF-DFA的前三步與DFA相同，這里省略，詳見文獻(xiàn)[8]。

第四步：對(duì)所有時(shí)間序列子區(qū)間取平均，即得q階波動(dòng)函數(shù)：

Xq（s）=[? ? （3）

第五步：對(duì)同一q，描繪Xq（s）對(duì)s的雙對(duì)數(shù)曲線：

若q不變，Xq（s）隨s的增大而增大。多項(xiàng)式的階數(shù)m的變化也影響著Xq（s），且有s≥m+1。

如果時(shí)間序列X（t）具有標(biāo)度特性，則Xq（s）與s成冪律關(guān)系：

（4）

且Xq（s）與s的雙對(duì)數(shù)曲線以線性關(guān)系存在，即：

（5）

式中：h（q）為廣義赫斯特指數(shù)（Hurst）。當(dāng)h（q）為q的函數(shù)時(shí)， 時(shí)間序列X（t）具有多重分形特性;當(dāng)h（q）=0.5時(shí)，序列{X（t）}不相關(guān)。

（二）赫斯特（Hurst）指數(shù)檢驗(yàn)

Hurst指數(shù)檢驗(yàn)上述上證指數(shù)收益率序列，不妨取q∈[-10，10]的整數(shù)，運(yùn)用MF-DFA法可得廣義Hurst指數(shù)，如圖3.1。

圖3.1 上證指數(shù)q-Hurst圖

由圖3.1知，q的變化影響著Hurst指數(shù)h（q）。當(dāng)τ=1、5、22時(shí)，h（q）總是隨著q的增大而減小，因而可知上證指數(shù)在不同時(shí)間標(biāo)度下存在多重分形特征。同時(shí)，觀察到q=0的右邊可能存在一個(gè)拐點(diǎn)，q=0的左邊有h（q）>0.5，從而說(shuō)明上證指數(shù)存在長(zhǎng)期記憶性，而當(dāng)h（q）<0.5，說(shuō)明市場(chǎng)還存在反持續(xù)性。

（三）MF-DFA多重分形譜（MFS）分析

稱α為局部分維或奇異指數(shù)，若定義α為序列中不同小區(qū)域內(nèi)的生長(zhǎng)概率，且令有相同α值的小區(qū)域構(gòu)成一個(gè)子集。用f（α）表示有相同α值的子集的分形維或者奇異譜。奇異譜f（α）隨α變化的曲線就是多重分形譜，其反映出α概率分布特征。因此，如果找到f（α）與α對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么可以描述出某一時(shí)間序列的多重分形譜。所以對(duì)式（5）進(jìn)行勒讓德變換：

α=h（q）+qh（q） （6）

f（α）=q[α-h（q）]+1 （7）

運(yùn)用軟件，對(duì)上證指數(shù)τ=1、5、22（日、周、月）的收益率作MF-DFA分析。其中，s為10～N/4天，q取[-10，10]中的整數(shù)，結(jié)果如圖3.2。

由圖3.2知：a）上證指數(shù)收益率序列多重分形譜接近于對(duì)稱。τ=1時(shí)，α∈（2.9983，3.0035）。b）α隨著時(shí)間標(biāo)度的增加逐漸增大，f（α）的取值變化為（0.9915，1.0032），且當(dāng)約q=0時(shí)取得最大值，進(jìn)而得f（α）是一條光滑的曲線，故收益率序列的標(biāo)度指數(shù)也將不同。

由圖3.1和3.2知，上證指數(shù)q-Hurst圖和收益率Rt（τ）的MF-DFA分析圖比文[5]中的圖顯著，這說(shuō)明時(shí)間段的選取影響著以上兩個(gè)方面。進(jìn)而再次驗(yàn)證時(shí)間序列中的多重分形行為存在兩種成因：一是時(shí)間序列大小幅波動(dòng)中不同的長(zhǎng)范圍相關(guān)性造成的;另一是波動(dòng)中的“胖尾”概率分布引起的效應(yīng)[9]。

圖3.2τ=1時(shí)A股收益率Rt（τ）的MF-DFA分析

四、總結(jié)

綜上，對(duì)上證指數(shù)的收益率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性描述和Hurst指數(shù)分析，知其呈現(xiàn)“尖峰胖尾”現(xiàn)象，且存在多重分形波動(dòng)特征。運(yùn)用軟件分析出上證指數(shù)存在多重分形特征，進(jìn)而知其存在顯著長(zhǎng)記憶性，且其收益率序列的標(biāo)度指數(shù)也不同。在選取樣本數(shù)據(jù)不同時(shí)間段下，其效果圖比文[5]顯著，進(jìn)而說(shuō)明時(shí)間段的選取影響著分形效果。顯著的長(zhǎng)記憶性特征使得我國(guó)股票市場(chǎng)具有較大的風(fēng)險(xiǎn)性，具體表現(xiàn)在價(jià)格的連續(xù)同向波動(dòng)，即波動(dòng)呈現(xiàn)某種集群性，最終出現(xiàn)了“千股跌?！钡默F(xiàn)象。

參考文獻(xiàn)

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[2]Peters，E.Fractal market analysis：applying chaos theory to investment and economics[M].New York：John Wiley & Son Lnc.，1994.

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基金項(xiàng)目：廣東石油化工學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)培育計(jì)劃項(xiàng)目（2015pyA027）。

作者簡(jiǎn)介：陳仁蓮，女，講師，研究方向：分形幾何，統(tǒng)計(jì)。