分?jǐn)?shù)階橢圓型算子系統(tǒng)在非主特征值處近共振的多重解

姚 娟

（ 銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

分?jǐn)?shù)階橢圓型算子系統(tǒng)在非主特征值處近共振的多重解

姚 娟

（ 銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

研究分?jǐn)?shù)階橢圓型系統(tǒng)特征值的性質(zhì)，對Sobolev空間進(jìn)行直和分解，并利用臨界點(diǎn)理論中的環(huán)繞定理和局部鞍點(diǎn)定理，得到了分?jǐn)?shù)階橢圓型算子系統(tǒng)在非主特征值處近共振的多重解存在性的結(jié)論。

分?jǐn)?shù)階橢圓型系統(tǒng)； 環(huán)繞定理； 局部鞍點(diǎn)定理； 近共振； 多重解

1.引言

考慮分?jǐn)?shù)階橢圓型算子系統(tǒng)

其中Ω?Rn(n ≥1)有界開區(qū)域，且具有局部Lipschitz邊界?Ω；是位勢函數(shù)F關(guān)于(u, v)∈R2的梯度；λ是一個正的參數(shù)。

Lku定義如下：

關(guān)于系統(tǒng)近共振情況已有很多學(xué)者研究，2010年，Suo和Tang在文獻(xiàn)[5]中利用環(huán)繞定理與局部鞍點(diǎn)定理，得到了合作橢圓系統(tǒng)近共振問題的四個存在性結(jié)果；2011年Ke和Tang在文獻(xiàn)[6]中利用Landesman-Lazer類型條件、環(huán)繞定理以及局部鞍點(diǎn)定理，獲得了漸近線性非合作橢圓系統(tǒng)方程在任意高階特征值附近解的多重性結(jié)果；2014年，An 和Suo在文獻(xiàn)[7]中利用Ekeland變分原理、山路引理以及鞍點(diǎn)定理，獲得了準(zhǔn)線性退化橢圓系統(tǒng)方程近共振問題的多重解。本文受到文獻(xiàn)[3,5]的啟發(fā)，通過對分?jǐn)?shù)階橢圓型算子系統(tǒng)特征值的討論，研究分?jǐn)?shù)階橢圓型算子系統(tǒng)在非主特征值處近共振的多重解存在性的結(jié)論，豐富和推廣了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)論。

2.預(yù)備知識

設(shè)Xi是一個Rn到Rn的Lebesgue可測函數(shù)空間，Xi中任意函數(shù)都屬于L2(Ω)，且映射

屬于L2( R2n(CΩ×CΩ),dxdy)，CΩ=RnΩ，i=1,2。記Hi={g∈Xi:g=0,a.e.于RnΩ}(i =1,2)，其上的

范數(shù)定義為：

對應(yīng)內(nèi)積為：

由文獻(xiàn)[4]知，Hi為Hilbert空間。記H=H1×H2,定義范數(shù)

則H也為Hilbert空間,其中內(nèi)積為：

z∈H有

記Lz=(LK1u,LK2v),σ(-Δ(L))為問題(1)的特征值集合。根據(jù)文獻(xiàn)[2]知其特征值具有特性：0＜λ1＜λ2＜…＜λk＜…,且λ1是正的、單重的和孤立的, 其特征函數(shù)(μ ,ν)∈H在Ω上是嚴(yán)格正的函數(shù),并且‖(μ ,ν‖)=1。記Ek為對應(yīng)特征值λk的特征子空間, Vk=E1⊕E2⊕…⊕Ek為第一個特征值到第k個特征值對應(yīng)的特征子空間的直和,由特征子空間性質(zhì)可將H分解為。根據(jù)空間的分解和特征值的性質(zhì), 可得如下不等式:

引理2.1(環(huán)繞定理[1])若H為Hilbert空間，J∈C1( H, R)且滿足(P. S.)條件。若S是空間H的一個閉子集，Q?H具有邊界?Q，假設(shè)S與?Q環(huán)繞，并且

那么，β是J是的一個臨界值并且β≥α。

引理2.2（局部鞍點(diǎn)定理[1]）假設(shè)H=X1⊕X2是Hilbert空間，且dimX1＜∞。如果J∈C1( H, R)滿足(P. S.)條件，以及對任意的ρ1，ρ2＞0，都有

那么存在u0∈H，有J( u0)∈[a, b]且J′( u0)=0，其中

3.本文主要結(jié)果

定義泛函I: H→R如下：

因為非線性項F是次線性增長, 通過標(biāo)準(zhǔn)的證明可知,泛函I∈C1( H, R),且z∈H是系統(tǒng)(1)的弱解當(dāng)且僅當(dāng)z是泛函I的臨界點(diǎn)。記

假設(shè)非線性項F滿足(A1)及對所有x∈Ω有?F( x,0)=0。通過估計式（9），H?lder不等式和Sobolev嵌入不等式（6），對所有z∈H可得如下不等式：

以及對所有z, w∈H，有不等式估計：

其中S是Sobolev嵌入不等式（5）的最佳常數(shù)。

現(xiàn)給出本文的主要結(jié)論：

定理3.1 設(shè)λk∈σ(-Δ(L))(k≥2)是第k個特征值，假設(shè)F滿足以下條件：

則存在δ1＞0，使得對問題（1）至少有兩個解。

再由ε的任意性，可得，

由（10）同理可證，

通過（12）和（13），可得

其中，

從而得

故有，

另外，由（12）和（14）可得

進(jìn)而得，

（II）應(yīng)用引理2.2得到泛函I第一個臨界點(diǎn)。

首先，當(dāng)條件（A1）與（A2）滿足時，存在δ1＞0,當(dāng)λ∈(λk, λk+δ1)時，存在常數(shù)G1, K1, F以及ξ＞0，使得

分小時這個性質(zhì)獨(dú)立于λ的取值。

現(xiàn)證(18)式。由F的條件和性質(zhì)可知，存在常數(shù)

則根據(jù)（6）式及G的性質(zhì)有

星光村位于羅江區(qū)鄢家鎮(zhèn)北緣，轄區(qū)面積2.65平方公里，轄10個村民小組，500戶，1479人。全村以蜜柚為主的水果種植面積接近2500畝。2017年全村人均純收入達(dá)15385元。2016年，當(dāng)?shù)卣畱{借星光村優(yōu)越的基礎(chǔ)條件，將其作為旅游開發(fā)示范點(diǎn)納入鄢家鎮(zhèn)嶺上花開農(nóng)業(yè)公園景區(qū)進(jìn)行整體規(guī)劃設(shè)計和開發(fā)。

因為?∈Ek，Ek是有限維子空間，且函數(shù)G是強(qiáng)制的，根據(jù)條件（A1）與（A2）式可得

那么由引理2.2得到泛函I的第一個臨界點(diǎn)，記作w1，其對應(yīng)的臨界值d1≤G1。

（III） 利用引理2.1獲得泛函I的第二個臨界點(diǎn)。一方面，對和任意的，根據(jù)（7）、（8）和（10）

故對（II）中給出的K2，存在足夠大的1K2θ＞，使對?z∈θ1Sk，都有I( z)＜G2。記

因為θ1Sk和Vk⊥環(huán)繞，由引理2.1得到泛函I第二臨界點(diǎn)，記為w2，且對應(yīng)到的臨界值為：

（IV）證明以上得到的兩個解w1與w2是不同的。對任意映射γ∈Γ3，因為θ1＞K2，故有：γ的像要么與相交，要么存在，且。這就由估計式（18）和（19）推出因此d2＞G1≥d1。

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[9] Xia Aliang , Yang Jianfu. Regularity of nonlinear equations for fractional Laplacian[J]. Proceedings of the American Mathematical Society 2013, S0002-9939: 11734-X.

Multiplicity results for some fractional elliptic type systems near resonance with a nonprincipal eigenvalue

Yao Juan
( School of Data Sciences, Tongren University, Tongren, Guizhou 554300, China )

The fractional elliptic type systems are studied. According to the chareteristics of the eigenvalues for a class of fractional elliptic type systems, the Sobolev space is resolved ；Some multiplicity results of solutions are obtained for a class of fractional elliptic type systems near resonance with a nonprincipal eigenvalues by classical link theorem and a local saddle point theorem in critical theory.

fractional elliptic type systems, link theorem, local saddle point theorem, near resonance, multiplicity solutions

O175.25

A

1673-9639 (2016) 04-0163-05

（責(zé)任編輯 毛 志）（責(zé)任校對 印有家）

2016-03-24

貴州省科技合作計劃項目（黔科合LH字[2015]7247號）。

姚 娟（1989-），女，貴州銅仁人，碩士，研究方向：非線性泛函分析。