改進的復制動態(tài)方程及其穩(wěn)定性分析

吳克晴，馮興來

（江西理工大學理學院，江西 贛州　341000）

改進的復制動態(tài)方程及其穩(wěn)定性分析

吳克晴，馮興來

（江西理工大學理學院，江西 贛州341000）

針對原復制動態(tài)建立過程的缺陷，通過引入強度系數(shù)，使博弈參與者采取不同策略時更顯得相互依賴，體現(xiàn)出不同策略被采用的變化情況，擴展了進化博弈論的框架.針對均有兩個策略的兩個博弈參與者，研究分析了擴展后復制動態(tài)的穩(wěn)定性，對以后科學管理具有重要指導意義.

進化博弈；復制動態(tài)；強度系數(shù)；進化穩(wěn)定策略

1　引言

進化博弈理論的思想起源于達爾文的生物進化理論和拉馬克的遺傳基因理論［1］，視博弈參與者為有限理性，以群體為研究對象，其兩個基本的概念是進化穩(wěn)定策略［2］和復制動態(tài)方程［3］，前者強調(diào)的是變異，后者強調(diào)的是選擇，由于變異后仍需要選擇，所以建立策略隨時間的總體動態(tài)非常關(guān)鍵，然而在運用進化博弈理論時，專家學者廣泛采用文獻［3］中的復制動態(tài)方程：其思想是選擇某一特定策略頻率的變化就等于該策略的適應度與群體平均適應度之間的差值，這種做法雖然克服了學習能力弱的個體在無法用“最優(yōu)反應動態(tài)”模擬策略［4］選擇時的困惑，然而并未考慮同一群體下策略間的相互依賴情況.

2　復制動態(tài)的構(gòu)造

對于一群體A，假設(shè)存在n1種狀態(tài)，且在t時刻第i（i=1，2，···，n1）種狀態(tài)下小群體的數(shù)量為mi（t），生存適應能力為ui（t），所占群體A的比率為xi（t），t時刻群體A的平均生存適應度為

3　復制動態(tài)的進化分析

多個群體的復制動態(tài)的進化穩(wěn)定性分析，可以從對兩個群體兩種選擇狀態(tài)的穩(wěn)定性分析開始.本節(jié)就兩種選擇狀態(tài)的兩個群體展開其穩(wěn)定性分析.

假設(shè)有兩個博弈參與者A和B，均存在兩種選擇狀態(tài)，其收益矩陣如表1.

表1兩個博弈參與者A和B的收益矩陣

上表中a，b，c，d，e，f，g，h表示各博弈狀態(tài)下的值；x1（t）與x2（t）分別表示t時刻A在第一、第二種狀態(tài)下的數(shù)量所占A的比例；y1（t）與y2（t）分別為t時刻B在第一、第二種狀態(tài)下的數(shù)量所占B的比例；λ1與λ2分別表示A在第一、第二種狀態(tài)下的數(shù)量的自然增長率；ρ1與ρ2分別表示B在第一、第二種狀態(tài)下的數(shù)量的自然增長率.

假設(shè)u1（t）與u2（t）分別表示t時刻A在第一、第二種狀態(tài)下的收益；ˉu為t時刻A的平均收益；w1（t）與w2（t）分別表示t時刻B在第一、第二種狀態(tài)下的收益；ˉw為t時刻B的平均收益，則

系統(tǒng)（5）的平衡點［6］的穩(wěn)定性可通過文獻［7］中提供的方法判別，即當系統(tǒng)（5）的雅可比矩陣的行列式為正值，其跡為負值時，平衡點是穩(wěn)定的；行列式為正值，跡為正值時，平衡點是不穩(wěn)定的；當行列式為負值時，跡為任意值時，平衡點為鞍點.由于參數(shù)值的大小未定，所以trJ 與detJ的符號未定，從而影響平衡點的穩(wěn)定性，此分析過程略，現(xiàn)將所有的分析結(jié)果列舉如下：

此時所有的分析結(jié)果為：

（1）當a-q21e＜0，f-p21h＜0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點；

（2）當a-q21e＜0，f-p21h＞0時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點；

（3）當 a-q21e＞0，f-p21h＜0時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）為穩(wěn)定點；

（4）當 a-q21e＞0，f-p21h＞0時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為穩(wěn)定點.

此時所有的分析結(jié)果為：

（1）當a-q21e＜0，b-p21d＜0，f-p21h＜0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點；

（2）當a-q21e＜0，b-p21d＞0，f-p21h＜0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P4（1，1）為鞍點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點；

（3）當a-q21e＜0，b-p21d＜0，f-p21h＞0時，P1（0，0）、P3（1，0）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點；

（4）當a-q21e＜0，b-p21d＞0，f-p21h＞0時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點；

（5）當a-q21e＞0，b-p21d＜0，f-p21h＞0時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P4（1，1）為鞍點，P3（1，0）為穩(wěn)定點；

（6）當a-q21e＞0，b-p21d＜0，f-p21h＜0時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）為穩(wěn)定點；

（7）當a-q21e＞0，b-p21d＞0，f-p21h＞0時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為穩(wěn)定點；

（8）當a-q21e＞0，b-p21d＞0，f-p21h＜0時，P1（0，0）、P3（1，0）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P4（1，1）為穩(wěn)定點.

此時所有的分析結(jié)果為：

（1）當a-q21e＞0，c-q21g＜0，f-p21h＜0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）、P4（1，1）為鞍點；

（2）當a-q21e＜0，c-q21g＜0，f-p21h＜0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點；

（3）當a-q21e＜0，c-q21g＞0，f-p21h＞0時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點；

（4）當a-q21e＜0，c-q21g＜0，f-p21h＞0時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點；

（5）當a-q21e＞0，c-q21g＞0，f-p21h＜0時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）為穩(wěn)定點；

（6）當a-q21e＜0，c-q21g＞0，f-p21h＜0時，P1（0，0）、P2（0，1）為鞍點，P3（1，0）為穩(wěn)定點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點；

（7）當a-q21e＞0，c-q21g＞0，f-p21h＞0時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為穩(wěn)定點；

（8）當a-q21e＞0，c-q21g＜0，f-p21h＞0時，P1（0，0）、P2（0，1）為鞍點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點，P4（1，1）為穩(wěn)定點.

此時，需分以下幾種情形進行討論.

（1）當 a-q21e＜ c-q21g＜ 0，b-p21d＜ f-p21h＜ 0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）、P5（x?，y?）為鞍點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點；

（2）當 0＜c-q21g＜a-q21e，0＜f-p21h＜b-p21d時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）、P5（x?，y?）為鞍點，P4（1，1）為穩(wěn)定點；

（3）當 0＜c-q21g＜a-q21e，b-p21d＜f-p21h＜0時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點、P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點；

（4）當a-q21e＜c-q21g＜0，0＜f-p21h＜b-p21d時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點.

（1）當 0＜c-q21g＜a-q21e，b-p21d＜0＜f-p21h時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P4（1，1）、P5（x?，y?）為鞍點，P3（1，0）為穩(wěn)定點；

（2）當 a-q21e＜ c-q21g＜ 0，f-p21h＜ 0＜ b-p21d時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P4（1，1）、P5（x?，y?）為鞍點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點；

（3）當a-q21e＜c-q21g＜0，b-p21d＜0＜f-p21h時，P1（0，0）、P3（1，0）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點；

（4）當0＜c-q21g＜a-q21e，f-p21h＜0＜b-p21d時，P1（0，0）、P3（1，0）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P4（1，1）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點.

（1）當 0＜c-q21g＜a-q21e，0＜b-p21d＜f-p21h時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點；

（2）當a-q21e＜c-q21g＜0，0＜b-p21d＜f-p21h時，P1（0，0）、P4（1，1）、P5（x?，y?）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點；

（3）當0＜c-q21g＜a-q21e，f-p21h＜b-p21d＜0時，P1（0，0）、P4（1，1）、P5（x?，y?）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）為穩(wěn)定點；

（4）當 a-q21e＜ c-q21g＜ 0，f-p21h＜ b-p21d＜ 0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點.

（1）當a-q21e＜0＜c-q21g，0＜f-p21h＜b-p21d時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）、P4（1，1）、P5（x?，y?）為鞍點；

（2）當c-q21g＜0＜a-q21e，0＜f-p21h＜b-p21d時，P1（0，0）、P2（0，1）為鞍點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點，P4（1，1）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點；

（3）當c-q21g＜0＜a-q21e，b-p21d＜f-p21h＜0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）、P4（1，1）、P5（x?，y?）為鞍點；

（4）當a-q21e＜0＜c-q21g，b-p21d＜f-p21h＜0時，P1（0，0）、P2（0，1）為鞍點，P3（1，0）為穩(wěn)定點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點.

（1）當a-q21e＜0＜c-q21g，f-p21h＜0＜b-p21d時，P1（0，0）、P4（1，1）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為鞍點；

（2）當c-q21g＜0＜a-q21e，b-p21d＜0＜f-p21h時，P1（0，0）、P4（1，1）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為不穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為鞍點；

（3）當c-q21g＜0＜a-q21e，f-p21h＜0＜b-p21d時，P1（0，0）、P2（0，1）、P3（1，0），P4（1，1）為鞍點，P5（x?，y?）為中心點；

（4）當a-q21e＜0＜c-q21g，b-p21d＜0＜f-p21h時，P1（0，0）、P2（0，1）、P3（1，0），P4（1，1）為鞍點，P5（x?，y?）為中心點.

（1）當a-q21e＜0＜c-q21g，0＜b-p21d＜f-p21h時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）、P4（1，1）為鞍點，P5（x?，y?）為中心點；

（2）當c-q21g＜0＜a-q21e，f-p21h＜b-p21d＜0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）、P4（1，1）為鞍點，P5（x?，y?）為中心點；

（3）當c-q21g＜0＜a-q21e，0＜b-p21d＜f-p21h時，P1（0，0）、P2（0，1）、P5（x?，y?）為鞍點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點，P4（1，1）為穩(wěn)定點；

（4）當a-q21e＜0＜c-q21g，f-p21h＜b-p21d＜0時，P1（0，0）、P2（0，1）、P5（x?，y?）為鞍點，P3（1，0）為穩(wěn)定點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點.

（1）當 0＜a-q21e＜c-q21g，0＜f-p21h＜b-p21d時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點；

（2）當 c-q21g＜ a-q21e＜ 0，b-p21d＜ f-p21h＜ 0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0）為鞍點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點；

（3）當c-q21g＜a-q21e＜0，0＜f-p21h＜b-p21d時，P1（0，0）、P4（1，1）、P5（x?，y?）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點；

（4）當0＜a-q21e＜c-q21g，b-p21d＜f-p21h＜0時，P1（0，0）、P4（1，1）、P5（x?，y?）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）為穩(wěn)定點.

（1）當 0＜a-q21e＜c-q21g，b-p21d＜0＜f-p21h時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P4（1，1）為鞍點，P3（1，0）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點；

（2）當 c-q21g＜ a-q21e＜ 0，f-p21h＜ 0＜ b-p21d時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P4（1，1）為鞍點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點；

（3）當c-q21g＜a-q21e＜0，b-p21d＜0＜f-p21h時，P1（0，0）、P3（1，0）、P5（x?，y?）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點；

（4）當0＜a-q21e＜c-q21g，f-p21h＜0＜b-p21d時，P1（0，0）、P3（1，0）、P5（x?，y?）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P4（1，1）為穩(wěn)定點；

（1）當 0＜a-q21e＜c-q21g，0＜b-p21d＜f-p21h時，P1（0，0）為不穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0），P5（x?，y?）為鞍點，P4（1，1）為穩(wěn)定點；

（2）當 c-q21g＜ a-q21e＜ 0，f-p21h＜ b-p21d＜ 0時，P1（0，0）為穩(wěn)定點，P2（0，1）、P3（1，0），P5（x?，y?）為鞍點，P4（1，1）為不穩(wěn)定點；

（3）當c-q21g＜a-q21e＜0，0＜b-p21d＜f-p21h時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為穩(wěn)定點，P3（1，0）為不穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點.

（4）當0＜a-q21e＜c-q21g，f-p21h＜b-p21d＜0時，P1（0，0）、P4（1，1）為鞍點，P2（0，1）為不穩(wěn)定點，P3（1，0）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為中心點.

4　進一步分析

根據(jù)以上分析，當收益矩陣中參數(shù)值滿足（I）或（II）或（III）的時，系統(tǒng)（5）有4個平衡點

隨著時間推移，最終的穩(wěn)態(tài)平衡點唯一，且該平衡點的進化與強度系數(shù)λi，ρi（i=1，2）有關(guān)；但當收益矩陣中參數(shù)值滿足（Ⅳ）時，系統(tǒng)（5）有5個平衡點

經(jīng)過時間進化最終可能沒有穩(wěn)態(tài)平衡點或穩(wěn)態(tài)平衡點不一定唯一（如（Ⅳ）下的情形5），而對于兩個穩(wěn)態(tài)平衡點中偏向哪一個的程度或處于中心點偏向哪一個狀態(tài)的程度也與強度系數(shù)λi，ρi（i=1，2）有關(guān)，下面不妨以（Ⅳ）下情形5中（1）的情況進行分析，其它情況可類似.

（Ⅳ）情形5中（1）的情況：當

時，P1（0，0），P4（1，1）為不穩(wěn)定點，P2（0，1），P3（1，0）為穩(wěn)定點，P5（x?，y?）為鞍點.此時，系統(tǒng)的動態(tài)演化圖［8-9］如圖1所示.

在此情況下，顯然P5（x?，y?）為以P1（0，0），P3（1，0），P4（1，1），P2（0，1）為頂點組成的四邊形中的一個內(nèi)部點.

根據(jù)幾何圖形及相關(guān)知識，由P1（0，0），P3（1，0），P4（1，1），P5（x?，y?）為頂點圍成的四邊形區(qū)域面積S為：

由于

所以當增加q21時，S會增大，即當博弈參與者A在兩種狀態(tài)下增長率λ2與λ1的比值q21越大，其均衡策略為x1（t）=1.

同理，由于

所以當增加p21時，S會減少，即當博弈參與者B兩種狀態(tài)下增長率ρ2與ρ1的比值p21越大，其均衡策略為y1（t）=0，從而系統(tǒng)（5）的穩(wěn)定狀態(tài)更趨于平衡點P3（1，0），反之，系統(tǒng)（5）的穩(wěn)定狀態(tài)更趨于平衡點P2（0，1）.

圖1當a-q21e＜0＜c-q21g，f-p21h＜0＜b-p21d時的動態(tài)演化圖

5　結(jié)語

本文通過引入強度系數(shù)，擴展了文獻［3］中的進化博弈論框架.并針對兩個策略的兩個博弈參與者的情形，分析了他們采取不同策略時的進化穩(wěn)定性情況，反映出強度系數(shù)對博弈決策的影響；最后，進一步研究表明了強度系數(shù)影響參與者在多個穩(wěn)態(tài)下最終的優(yōu)化行為，即影響動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)的演變趨勢.

可以看到，雖然本文局限于分析兩個策略的兩個博弈參與者的情形，但對于多個博弈參與者多種策略的穩(wěn)定狀態(tài)，類似可得到研究.即方程（5）解的穩(wěn)定狀態(tài)分析對方程（3）解的穩(wěn)定狀態(tài)分析具有基礎(chǔ)作用，僅計算量相對較為復雜.這對以后利用進化博弈理論，來解決分析實際問題具有重要的指導作用.

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Improved replicated dynamic equations and its stability analysis

Wu Keqing，F(xiàn)eng Xinglai

（College of Science，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou341000，China）

Based on the defects from the original replicated dynamic establishment，different strategies adopted are made more interdependent for game players by introducing strength coefficient，the changes of different strategies adopted are better reflected，and the framework of evolutionary game theory is extended.For two game players with two strategies，the stability of the replicated dynamics improved is analyzed.As a result，the analysis obtained in this paper has important guiding significance for scientific management.

evolutionary game，replicated dynamic，strength coefficient，evolutionarily stable strategy

O225；F224.32

A

1008-5513（2015）03-0221-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.001

2014-02-20.

國家自然科學基金（61364015，61064006）.

吳克晴（1972-），博士，副教授，研究方向：運籌學、泛函分析.

2010 MSC：91A22，93C15