唐燕妮

(長(zhǎng)沙醫(yī)學(xué)院基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院,410219)

超大規(guī)模集成電路多孔電介質(zhì)介電常數(shù)與分形維數(shù)

唐燕妮

(長(zhǎng)沙醫(yī)學(xué)院基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院,410219)

技術(shù)的發(fā)展要求超大規(guī)模集成電路的特征尺寸進(jìn)一步降低以提高元件密度，這就需要低介電常數(shù)（k）的多孔電介質(zhì)的應(yīng)用。而多孔介質(zhì)的輸運(yùn)物理性質(zhì)通常與其微結(jié)構(gòu)有密切關(guān)系。本文在綜述多孔電介質(zhì)利用分形模型分析方法的基礎(chǔ)上，利用分形幾何理論，進(jìn)一步把多孔電介質(zhì)介電常數(shù)（k)與反映孔微結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)聯(lián)系起來，更好地適應(yīng)于實(shí)際中不均一不規(guī)則的多孔電介質(zhì)介電常數(shù)的分析計(jì)算。

超大規(guī)模集成電路（ultra large scaled integration, ULSI）;多孔電介質(zhì)（porous dielectrics）;分形維數(shù)（fractal dimension）;介電常數(shù)（dielectric constant）

0　引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，超大規(guī)模集成電路需要進(jìn)一步降低集成電路的尺寸，增加電路元件的密度，并突破當(dāng)集成電路的特征尺寸達(dá)到0.25微米的尺寸時(shí)，器件內(nèi)部金屬連接線電阻和絕緣介質(zhì)層電容形成的串?dāng)_、功耗以及延時(shí)等阻礙，具有較低介電常數(shù)的新材料則常常用來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二氧化硅材料。而在超大規(guī)模集成電路中，引入空氣孔隙的多孔介質(zhì)是降低介電常數(shù)最有效的辦法。為了降低總介電常數(shù)，常常在材料中加入空隙，這種多孔電介質(zhì)的介電常數(shù)常?；诶硐肭蝮w孔進(jìn)行模擬研究，這與真實(shí)的多孔介質(zhì)材料是不一致的，因此具有局限性。為了能夠更好地模擬和研究真實(shí)的多孔電介質(zhì)材料，分形模型已被廣泛應(yīng)用，本文則在多孔電介質(zhì)分形模型的分析基礎(chǔ)上，重點(diǎn)討論多孔電介質(zhì)介電常數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系研究。

1　多孔電介質(zhì)與分形

1.1多孔電介質(zhì)概述

多孔介質(zhì)（多孔材料）是內(nèi)部包含許多微小空洞的固體材料體系，多孔電介質(zhì)是多孔介質(zhì)的一種。多孔介質(zhì)多見于在各種保溫材料、陶瓷材料、纖維制品以及電子元件中，而其中含有空氣空隙的介質(zhì)材料具有超低k的特性，可以通過甩膠技術(shù)或者化學(xué)氣相沉積技術(shù)獲得，這種介質(zhì)的孔隙率表征了其空洞結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。

介電常數(shù)k是超大規(guī)模集成電路中多孔電介質(zhì)性能的重要參數(shù)。介電常數(shù)是綜合反映電介質(zhì)極化行為的宏觀物理量，是兩塊金屬板之間絕緣介質(zhì)電容量與同樣兩塊板之間空氣或真空介質(zhì)電容量的比值；介電常數(shù)越大表明電介質(zhì)在電場(chǎng)作用下被極化的能力越強(qiáng)，反之亦然。而相同的尺寸下介電常數(shù)大的電容器電容量大，而對(duì)于相同電容量，介電常數(shù)大的元件尺寸小。

在超大規(guī)模集成電路中，為了滿足憎水性、高楊氏模量、高機(jī)械穩(wěn)定性等特性，就要求多孔電介質(zhì)具有盡可能低的孔隙率。由于電介質(zhì)中孔隙或空洞的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其形狀、大小各異，利用實(shí)驗(yàn)實(shí)際測(cè)量或簡(jiǎn)單理想模型模擬計(jì)算的介電常數(shù)往往很不準(zhǔn)確，因?yàn)檫@種方法是將孔隙用理想的球狀孔洞來代替，這種模型與實(shí)際偏差很大；在實(shí)際的多孔電介質(zhì)中，孔隙是不均勻分布在介質(zhì)中的。

通過分析對(duì)于多孔電介質(zhì)介電常數(shù)的傳統(tǒng)測(cè)量方法可以發(fā)現(xiàn)，每種測(cè)量方法都有其各自的使用條件和范圍，而對(duì)于實(shí)際情況中不規(guī)則孔隙不均一分布的情況，傳統(tǒng)的測(cè)量手段可能都不適應(yīng)。

低濃度二氧化硅（silica)的分子動(dòng)力學(xué)模擬表明，呈分形分布的孔可用于表征這類納米多孔低k電介質(zhì)。

1.2分形幾何及分形維數(shù)

分形幾何是幾何學(xué)的新型門類，其研究對(duì)象是歐氏幾何的一種子集，是其所在空間的緊子集，具有包括:1）任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)；2）傳統(tǒng)幾何語言無法描述；3）自相似特征；4）“分形維數(shù)”嚴(yán)格大于其相應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù)；5）可能以變化的迭代產(chǎn)生等特點(diǎn)。

其中分形維數(shù)是分形的重要幾何參數(shù)，這是一種依賴于標(biāo)度（Scale）的概念，即對(duì)于測(cè)量同一對(duì)象，用不同的單位進(jìn)行測(cè)量。而對(duì)于分維的測(cè)量是現(xiàn)在材料學(xué)家最感興趣的問題之一，目前常用的分維測(cè)量方法包括:1）計(jì)盒法測(cè)量，即用具有特征長(zhǎng)度的基本圖形度量分形圖形，通過改變特征長(zhǎng)度獲得一組對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)，取對(duì)數(shù)并回歸直線，得出維數(shù)；2）變碼尺測(cè)量，也稱之為海岸線法或者兩腳規(guī)測(cè)長(zhǎng)度法，即通過固定特征值，改變尺寸進(jìn)行測(cè)量的方法；3）物理方法，這種方法又包括散射強(qiáng)度法、汞浸入法等。

對(duì)于精確自相似的謝爾賓斯地毯或海綿，分形維數(shù)滿足如下計(jì)算公式：

對(duì)于統(tǒng)計(jì)自相似分形多孔介質(zhì)的分形維度數(shù)和孔隙率滿足以下關(guān)系：

2　介電常數(shù)和分形維數(shù)

對(duì)于一個(gè)真實(shí)的多孔介質(zhì)，其微結(jié)構(gòu)如孔的大小不是精確自相似的，而是統(tǒng)計(jì)意義上的自相似。

根據(jù)電介質(zhì)串、并聯(lián)法則，多個(gè)電介質(zhì)并聯(lián)連接時(shí)，其等效介電常數(shù)為

多個(gè)電介質(zhì)串聯(lián)連接時(shí)，其等效介電常數(shù)為

Tang等討論用精確自相似的謝爾賓斯基地毯模型模擬多孔低k電介質(zhì)進(jìn)而得到其介電常數(shù)，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。對(duì)于精確自相似的謝爾賓斯地毯模型的多孔電介質(zhì)模型，根據(jù)文獻(xiàn)，其孔隙率滿足

XU等[3]提出了一個(gè)有關(guān)多孔低k電介質(zhì)的分形-蒙特卡羅模擬方法。對(duì)于統(tǒng)計(jì)意義上的自相似分形多孔電介質(zhì)模型，其孔隙率滿足

式中各量代表意義同前。

結(jié)合方程（3）、（4）、（5）、（6），找出多孔電介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)和分形維數(shù)關(guān)系的步驟如下（給定）：

a)選用前述介紹的測(cè)量分形維數(shù)的方法如散射強(qiáng)度法、汞浸入法等，測(cè)量實(shí)際多孔電介質(zhì)薄膜的分形維數(shù)Df;

b)確定多孔電介質(zhì)薄膜分布的最小和最大空氣孔隙尺寸，根據(jù)方程（5）和方程（6）計(jì)算孔隙率（空氣相）;

d）聯(lián)立方程（3）和（4），得出多孔電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。

通過上述方法，可以用來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)自相似分形多孔電介質(zhì)的介電常數(shù)進(jìn)行計(jì)算，這種方法不僅適兩相不同材料復(fù)合系統(tǒng)，對(duì)于多種材料復(fù)合系統(tǒng)也是適用的。

3　結(jié)論

本文在介紹多孔電介質(zhì)的概念和特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合分形理論，提出了不同于傳統(tǒng)多孔電介質(zhì)介電常數(shù)分析計(jì)算方法的分形計(jì)算分析方法。從實(shí)際多孔電介質(zhì)出發(fā)，利用分形理論和方法，把表征空隙微結(jié)構(gòu)參量的分形維數(shù)引入進(jìn)來，通過先測(cè)定電介質(zhì)薄膜的分形維數(shù)，進(jìn)而確定多孔電介質(zhì)薄膜的相對(duì)介電常數(shù)。這種方法對(duì)于實(shí)際多孔電介質(zhì)介電常數(shù)的計(jì)算來說是一種新的計(jì)算分析方法。

[1] 郁伯銘等著.分形多孔介質(zhì)輸運(yùn)物理.科學(xué)出版社2014. 22

[2] 唐燕妮.多孔低k介電常數(shù)的自相似模型.華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文，2007

[3] 徐倩.多孔低k電介質(zhì)介電常數(shù)的分形-蒙特卡羅模擬研究.華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文，2008

Very large scale integrated circuit porous dielectric permittivity and fractal dimension

Tang Yanni
(basic medical college of changsha medical college,410219)

The development of the technology requirement of very large scale integrated circuit feature sizes down further in order to improve the component density,which requires low dielectric constant(k)of the application of porous dielectric.Transport of the physical properties and the porous media usually have close relationship with its microstructure.Porous dielectric were reviewed in this paper by using fractal model on the basis of the analysis methods,using the theory of fractal geometry,the porous dielectric dielectric constant(k)and further reflect the fractal dimension of pore microstructure,better adapted to the actual inequality in an irregular porous dielectric permittivity of the analysis and calculation.

very large scale integrated circuit(ultra large scaled integration,ULSI);The porous dielectric (porous dielectrics);Fractal dimension(highest-resolution dimension);Permittivity (dielectric constant)

本論文由湖南省教育廳科研一般項(xiàng)目資助（編號(hào)：14C0127 和14C0126）