江 潔,李團(tuán)結(jié),梅宇健,王鴻鈞

(1.紅河學(xué)院工學(xué)院,云南蒙自 661100; 2.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安 710071)

微波負(fù)載電熱耦合的無(wú)源互調(diào)分析

江 潔1,2,李團(tuán)結(jié)2,梅宇健2,王鴻鈞1

(1.紅河學(xué)院工學(xué)院,云南蒙自 661100; 2.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安 710071)

微波負(fù)載可改善電路的匹配性能,吸收微波能量.消耗微波能量產(chǎn)生的焦耳熱對(duì)微波負(fù)載的電阻率產(chǎn)生影響,從而產(chǎn)生無(wú)源互調(diào).針對(duì)熱場(chǎng)與電磁場(chǎng)耦合時(shí)導(dǎo)致時(shí)間尺度上的差異引起的微波負(fù)載無(wú)源互調(diào)問(wèn)題,首先利用分?jǐn)?shù)階微分方法建立了微波負(fù)載分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)模型;然后建立分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)的電路模型;最后結(jié)合熱阻效應(yīng),推導(dǎo)出微波負(fù)載電熱耦合引起的無(wú)源互調(diào)功率電平表達(dá)式.分析了材料的電阻溫度系數(shù)、熱阻、熱容對(duì)無(wú)源互調(diào)的影響,為微波負(fù)載降低電熱耦合引起的無(wú)源互調(diào)提供了參考.

微波負(fù)載;無(wú)源互調(diào);互調(diào)失真;分?jǐn)?shù)階微分;電熱耦合;熱阻

無(wú)源互調(diào)是由無(wú)源部件的固有非線性引起的.當(dāng)電流通過(guò)非線性部件時(shí),非線性的電壓-電流特性會(huì)導(dǎo)致一個(gè)單頻傳輸系統(tǒng)中出現(xiàn)諧波信號(hào)傳輸,雙頻或多頻傳輸系統(tǒng)中出現(xiàn)諧波信號(hào)及其他不希望有的交調(diào)信號(hào)頻譜.產(chǎn)生無(wú)源互調(diào)的原因眾多,例如,金屬-氧化物-金屬接觸、金屬-金屬接觸、磁滯材料的非線性特性和接觸處的接觸污染等[1-4].通常情況下,因?yàn)闊嶙兓碗姶挪ǖ念l率相差很大,在時(shí)間尺度上相差了幾個(gè)量級(jí),使得電熱耦合引起的無(wú)源互調(diào)被嚴(yán)重忽視.但是,當(dāng)輸入多載波的頻率比較接近時(shí),會(huì)有功率信號(hào)頻率落入材料的熱帶寬中,從而產(chǎn)生電熱耦合過(guò)程,使得元件的電阻率隨時(shí)間變化,呈現(xiàn)非線性的電壓-電流關(guān)系,最終導(dǎo)致無(wú)源互調(diào)的產(chǎn)生[5-6].

當(dāng)輸入載波流經(jīng)微波負(fù)載時(shí),微波負(fù)載吸收微波能量,產(chǎn)生焦耳熱效應(yīng),導(dǎo)致金屬材料電阻率發(fā)生時(shí)變,電阻率的變化又會(huì)影響焦耳熱效應(yīng),形成電熱耦合現(xiàn)象.

分?jǐn)?shù)階微分能簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確描述具有歷史記憶性和空間全域相關(guān)性等物理過(guò)程,而且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模簡(jiǎn)單、參數(shù)物理意義清楚、描述準(zhǔn)確,是復(fù)雜物理過(guò)程數(shù)學(xué)建模的重要工具之一[7-8].在微波負(fù)載的電熱耦合過(guò)程中,熱傳導(dǎo)過(guò)程具有明顯的記憶性和遺傳性.相較于熱傳導(dǎo)方程的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式指數(shù)函數(shù)[9],應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微分方法能簡(jiǎn)潔地表達(dá)熱傳導(dǎo)過(guò)程,將簡(jiǎn)化電熱耦合模型的無(wú)源互調(diào)(Passive Inter Modulation,PIM)計(jì)算.

筆者研究了微波負(fù)載電熱耦合產(chǎn)生的PIM問(wèn)題,首先,用分?jǐn)?shù)階微分簡(jiǎn)化熱傳導(dǎo)方程,得到分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程.再根據(jù)分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程,建立分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)電路模型,推導(dǎo)熱傳導(dǎo)結(jié)果.最后,結(jié)合熱阻效應(yīng)、耦合電場(chǎng)和熱場(chǎng),推導(dǎo)出由微波負(fù)載電熱耦合產(chǎn)生各階PIM的表達(dá)式.對(duì)微波終端負(fù)載進(jìn)行仿真,分析電阻溫度系數(shù)、熱阻和熱容對(duì)PIM的影響.并提出降低微波負(fù)載電熱耦合引起無(wú)源互調(diào)的方法,為其他微波器件的低PIM設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和參考方法.

1　熱傳導(dǎo)和電熱耦合模型

無(wú)源器件自熱將導(dǎo)致電阻率變化.研究證明,在多載波下,輸入的功率信號(hào)會(huì)出現(xiàn)新的頻譜分離,若有功率信號(hào)頻譜分量落入熱帶寬時(shí),會(huì)產(chǎn)生電熱耦合,使無(wú)源器件的電阻率發(fā)生時(shí)變,產(chǎn)生PIM.其中輸入載波的頻率差與熱變化頻率接近,將產(chǎn)生電熱耦合和PIM;而輸入載波的頻率和比熱變化頻率高很多時(shí),將不產(chǎn)生電熱耦合效應(yīng)[10].文中研究在雙載波情況下,載波的頻率差功率信號(hào)對(duì)微波負(fù)載電熱耦合PIM的影響.

1.1電熱耦合模型

根據(jù)熱電阻效應(yīng)[11-12]和熱傳導(dǎo)理論,推導(dǎo)得出電熱耦合方程為

其中,T是溫度,單位為K;Rth是熱阻,單位為K·W-1;Cv是熱容,單位為J·K-1·kg-1;J是電流密度,單位為A·m-2;ρe0是電阻率,是常數(shù);α和β是電阻溫度系數(shù).實(shí)際上,對(duì)于大多數(shù)金屬,熱電阻表達(dá)式中的一階系數(shù)比二階及以上系數(shù)要大好幾個(gè)量級(jí),故一階系數(shù)是產(chǎn)生非線性的主要原因.

1.2熱傳導(dǎo)模型

熱傳導(dǎo)方程描述在一個(gè)實(shí)體中,熱能會(huì)從高溫區(qū)域流向低溫區(qū)域的一個(gè)現(xiàn)象.通過(guò)分析半無(wú)窮大矩形結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)方程,可得到該結(jié)構(gòu)的熱擴(kuò)散特性.一個(gè)半無(wú)窮大矩形結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)方程為

假設(shè)在x=-∞處的溫度是零度,在x=0處的溫度是T0,溫度響應(yīng)會(huì)有一個(gè)含有誤差函數(shù)的解析解,其表達(dá)式[13]為

該解析解能較好地描述熱過(guò)程,但由于含有誤差函數(shù),而且熱響應(yīng)表達(dá)式中的空間和時(shí)間變量沒(méi)有分離,若直接進(jìn)行電熱耦合的PIM分析,計(jì)算過(guò)程則會(huì)很復(fù)雜.

熱響應(yīng)特征還可描述為如下多階的指數(shù)型函數(shù)[9,14]:

其中,τi是時(shí)間常量,τi=RiCi;Ri和Ci是熱阻和熱容.該高階熱響應(yīng)表達(dá)式,不僅使電熱耦合模型復(fù)雜,而且在實(shí)際應(yīng)用中,該表達(dá)式的熱阻、熱容值不能簡(jiǎn)單計(jì)算,因此,不適于分析電熱耦合的PIM問(wèn)題.

1.3分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)模型

分?jǐn)?shù)階微分的定義主要有3種形式,包括Grunwald-Letnikov定義、Riemann-Liouville定義和Caputo定義,其中,Caputo定義的分?jǐn)?shù)階微分所描述問(wèn)題的初始條件與整數(shù)階微分方程的初始條件是一致的,因而能解釋相關(guān)現(xiàn)象,適合實(shí)際工程中的建模計(jì)算問(wèn)題.引入分?jǐn)?shù)階微分方法,將精確、簡(jiǎn)潔的對(duì)熱傳導(dǎo)過(guò)程建模,簡(jiǎn)化溫度場(chǎng)的計(jì)算,為更好地分析電熱耦合的PIM問(wèn)題奠定了基礎(chǔ).

Caputo定義的分?jǐn)?shù)階微分如下[7]:

其中,C是Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子;a是積分下限;q是導(dǎo)數(shù)的階數(shù);t是時(shí)間變量;Γ是gamma函數(shù),為確定積分區(qū)域;變量τ→t.

分?jǐn)?shù)階微分的拉普拉斯變化及其逆變換為

從而構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)模型,簡(jiǎn)化了電熱耦合PIM問(wèn)題的分析.

1.4微波負(fù)載電熱耦合分析

圖1所示電阻是常用的一種微波負(fù)載,電阻元件上邊界是隔離層,下邊界與熱傳導(dǎo)介質(zhì)相連,熱傳導(dǎo)介質(zhì)裝配在一個(gè)散熱器上.當(dāng)電阻元件被劃分為無(wú)窮小的單元時(shí),因?yàn)闊醾鲗?dǎo)介質(zhì)的尺寸遠(yuǎn)大于每個(gè)電阻單元,所以可將每個(gè)電阻單元的熱傳導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單處理為一維的熱傳導(dǎo),用一維熱傳導(dǎo)方程表示.考慮到熱擴(kuò)散的速率,可認(rèn)為同一時(shí)刻每個(gè)電阻單元的溫度場(chǎng)是一致的,因此,電阻單元間是串聯(lián)的,每個(gè)無(wú)窮小單元的熱效應(yīng)可等效為一個(gè)集總元件電阻的熱效應(yīng).利用分?jǐn)?shù)階微分,將該電阻元件的一維熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)為分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)模型.

圖1　電阻元件示意圖

根據(jù)圖1所示的熱系統(tǒng),給出如下邊界條件:

其中,TH(t)是電阻元件的表面穩(wěn)態(tài)溫度,其表達(dá)式為

環(huán)境溫度可直接線性疊加到上面的解.為簡(jiǎn)化計(jì)算,假設(shè)外界溫度為零度.因?yàn)橐痪S熱傳導(dǎo)方程是基于時(shí)間和空間變量建立的,首先通過(guò)拉普拉斯變換分離時(shí)間和空間變量.

對(duì)式(2)進(jìn)行拉普拉斯變化,可得到

其中,x是空間位置,s是拉式變量.由于邊界條件是在位置x=0和x=-∞處的溫度為零度,式(11)的解為

由于式(13)中存在s-1/2,因此,可用Caputo定義分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階微分的拉式變換進(jìn)行簡(jiǎn)化.整理得

即電阻元件表面(x=0)溫度的分?jǐn)?shù)階形式.式(14)的解,即是電阻表面的熱響應(yīng)表達(dá)式.

通過(guò)拉普拉斯變換分離了空間和時(shí)間變量,結(jié)合分?jǐn)?shù)階微分得到電阻表面的熱響應(yīng)方程,而不用求解整個(gè)空間的溫度場(chǎng).同時(shí)解決了熱變化和電磁波時(shí)間尺度上不同所帶來(lái)的計(jì)算量膨脹的問(wèn)題[10],在實(shí)際應(yīng)用中具有重要的意義.通過(guò)分?jǐn)?shù)階微分建立的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程,簡(jiǎn)化了熱傳導(dǎo)的計(jì)算,為分?jǐn)?shù)階電熱耦合電路模型和電熱耦合PIM表達(dá)式的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ).

2　分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程的電路模型及PIM推導(dǎo)

2.1分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程的電路模型

分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程的解通常分為解析解和數(shù)值解.由于引入了分?jǐn)?shù)階微分,使得熱傳導(dǎo)方程的解析解非常復(fù)雜[13],不適合進(jìn)一步分析微波負(fù)載的電熱耦合PIM問(wèn)題.而用數(shù)值方法計(jì)算,雖然邊界元、有限元、有限差分等方法可精確計(jì)算出熱場(chǎng),但是計(jì)算量很大,影響計(jì)算效率.為此,文中根據(jù)分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程,以電路為基礎(chǔ),構(gòu)造描述熱傳導(dǎo)特性的電路模型,計(jì)算簡(jiǎn)單高效.

熱響應(yīng)表達(dá)式與串聯(lián)的低通濾波器一致.RC電路是基本的低通濾波器,用電路來(lái)仿真熱響應(yīng)過(guò)程.相對(duì)于傳統(tǒng)的RC低通濾波電路,根據(jù)分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程,分?jǐn)?shù)階電路模型如圖2所示,表示電阻元件的熱響應(yīng)特征.圖2中的電容根據(jù)微波負(fù)載的熱容和熱阻重新定義為(jωCth)1/2,其中,ω為雙載波的頻差,Cth的表達(dá)式如下:

圖2中的激勵(lì)源Q來(lái)自于負(fù)載自熱消耗的電功率Pdis,外界溫度Ta作為一個(gè)電壓源加載到等效電路模型中.若一個(gè)階躍功率信號(hào)作為等效電路的激勵(lì)源時(shí),該電路的階躍響應(yīng)具有與一個(gè)實(shí)體某位置處溫度與時(shí)間的曲線相同的“長(zhǎng)尾記憶”效應(yīng),故該等效電路可以表征熱傳導(dǎo)特征.

圖2　分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程的電路模型

2.2電熱耦合PIM表達(dá)式推導(dǎo)

根據(jù)上面的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程和熱阻效應(yīng),可重新定義電熱耦合方程,并以此推導(dǎo)出PIM表達(dá)式.器件的熱阻效應(yīng)[10]耦合了電場(chǎng)和熱場(chǎng),由于α?β,故用線性表達(dá)式來(lái)描述熱阻:

其中,R0是熱阻在273 K溫度下測(cè)得的參考電阻,Ta是外界溫度,α是一階熱電系數(shù).瞬態(tài)溫度可定義為

其中,等效熱阻是分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化模型的頻域等效電阻,表達(dá)式為

微波負(fù)載產(chǎn)生的熱量,可定義為

電壓和電流的關(guān)系服從歐姆定律,即

考慮到溫度是由產(chǎn)生的熱量決定的,而產(chǎn)生的熱量又是由通過(guò)的電流和電阻決定的,可得溫度的頻域表達(dá)式為

頻域下的電流、電壓、熱量、溫度和等效熱阻在式(17)～(21)中被定義.將這幾個(gè)表達(dá)式代入歐姆定律中,可得到一個(gè)遞推公式為

因此,得到電熱PIM表達(dá)式為

其中,R是當(dāng)前溫度下的電阻.

電熱耦合的PIM表達(dá)式包括了材料和環(huán)境溫度參數(shù)、輸入信號(hào)頻率和功率,已知輸入信號(hào)參數(shù)和微波負(fù)載材料的電阻溫度系數(shù)、熱阻和熱容,就可計(jì)算得到微波負(fù)載電熱耦合產(chǎn)生的PIM.該表達(dá)式可方便簡(jiǎn)單計(jì)算出微波負(fù)載電熱耦合引起的PIM,為微波負(fù)載的材料選擇提供了理論依據(jù),以此降低微波負(fù)載電熱耦合引起的PIM,從而保證整個(gè)通信系統(tǒng)低PIM的需求.

3　實(shí)例仿真

在微波系統(tǒng)中,微波電阻是很常用的有損實(shí)驗(yàn)元件來(lái)匹配端口阻抗的.大功率信號(hào)通過(guò)微波電阻會(huì)產(chǎn)生熱量,產(chǎn)生的熱量會(huì)使微波電阻的阻值發(fā)生變化,從而產(chǎn)生PIM.分析電熱耦合需要知道材料的電阻溫度系數(shù)、熱容和熱阻.

當(dāng)輸入信號(hào)為20 W雙載波時(shí),用輸入頻率差為1～1000 Hz的載波掃頻微波終端,根據(jù)上面建立的電熱耦合PIM表達(dá)式來(lái)計(jì)算電熱非線性引起的PIM.

(1)當(dāng)Rth和Cth一定,電阻溫度系數(shù)分別是α1=3.8×10-3/℃和α2=1.6×10-6/℃時(shí),計(jì)算三階PIM,如圖3所示.

圖3　不同溫度系數(shù)得到的三階PIM

(2)當(dāng)電阻溫度系數(shù)α和Cth一定,熱阻分別是Rth1=30 K·W-1和Rth2=200 K·W-1時(shí),計(jì)算三階PIM,如圖4所示.

圖4　不同熱阻得到的三階PIM

(3)當(dāng)電阻溫度系數(shù)α和Rth一定,熱容分別是Cth1=0.022 J·K-1和Cth2=7×10-5J·K-1時(shí),計(jì)算三階PIM,如圖5所示.

圖5　不同熱容得到的三階PIM

由圖3～5可以看出:①隨著雙載波頻率差的增大,PIM會(huì)隨之下降,雙載波頻率越接近,電熱耦合程度越強(qiáng),PIM越大;②電阻溫度系數(shù)對(duì)PIM影響很大,電阻溫度系數(shù)越大,PIM越大;③熱阻大小對(duì)PIM影響相對(duì)較小,對(duì)于PIM的影響基本可以忽略;④熱容對(duì)PIM影響較大,熱容越大,PIM越小.綜合以上分析可得,設(shè)計(jì)器件時(shí)盡量選擇電阻溫度系數(shù)小的材料,合理增大無(wú)源器件的尺寸,增大熱容,這樣將降低PIM影響.

4　結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)輸入多載波的頻率比較接近時(shí),會(huì)有功率信號(hào)頻率落入材料的熱帶寬中,產(chǎn)生電熱耦合過(guò)程,使得微波負(fù)載的電阻率隨時(shí)間變化,呈現(xiàn)非線性的電壓-電流關(guān)系,導(dǎo)致電熱耦合PIM的產(chǎn)生.筆者針對(duì)微波負(fù)載電熱耦合產(chǎn)生PIM問(wèn)題,利用分?jǐn)?shù)階微分降階具有“長(zhǎng)尾效應(yīng)”的熱傳導(dǎo)方程,結(jié)合分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)電路模型,用等效電路來(lái)表征微波負(fù)載熱傳導(dǎo)特征,簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值計(jì)算,得出以下結(jié)論:雙載波頻率差增大,PIM值下降,雙載波頻率差越小,PIM越大;電阻溫度系數(shù)越大,PIM越大;熱阻基本不影響PIM值;熱容越大,PIM越小.仿真結(jié)果證明了分析方法的有效性.

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(編輯:齊淑娟)

簡(jiǎn) 訊

我校兩項(xiàng)成果獲2015年度國(guó)家科技二等獎(jiǎng).其中,“雷達(dá)目標(biāo)分類(lèi)技術(shù)”,發(fā)明了目標(biāo)分類(lèi)新方法,解決了目標(biāo)分類(lèi)重大技術(shù)難題,提升了我國(guó)現(xiàn)有裝備的信息獲取能力.“氮化鎵基紫外與深紫外LED關(guān)鍵技術(shù)”,提出創(chuàng)新的表面增強(qiáng)脈沖反應(yīng)生長(zhǎng)方法、脈沖超晶格p型摻雜方法和納米微腔器件結(jié)構(gòu),解決了材料生長(zhǎng)、摻雜和紫外光提取效率等重大難題,獲得中國(guó)和美國(guó)發(fā)明專(zhuān)利授權(quán)22項(xiàng),在信息產(chǎn)業(yè)、裝備制造、國(guó)家安全、醫(yī)療健康等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用前景.

摘自《西電科大報(bào)》2016.1.22

Passive intermodulation analysis of coupled electro-thermal microwave loads

JIANG Jie1,2,LI Tuanjie2,MEI Yujian2,WANG Hongjun1
(1.Engineering College,Honghe Univ.,Mengzi 661100,China; 2.School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

Microwave loads are used to improve the matching performance of circuits and absorb the microwave energy.The microwave loads generate the joule heat to affect the electrical resistivity after consuming microwave energy which may produce the passive intermodulation(PIM).Electro-thermal compling leads to the difference of the time scale which produces PIM.In order to address the problem,the fractional heat conduction model of microwave loads is created by the fractional calculus firstly.Then the circuit model of the fractional heat conduction is established.Eventually,the thermal resistance effect is considered.The expression for the PIM power level caused by the coupled electro-thermal microwave loads is derived.The influences of the material’s temperature coefficient of resistance,thermal resistance and thermal capacity to PIM are revealed,which provides the fundamental basis for reducing the PIM from the coupled electro-thermal microwave loads.

microwave load;passive intermodulation;intermodulation distortion;fractional calculus; thermal-electric coupling;thermal resistance

TN972

A

1001-2400(2016)03-0179-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.031

2015-10-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375360);紅河學(xué)院科研資助項(xiàng)目(XJ15Y20)

江 潔(1981-),女,講師,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:jiang123456jie@126.com.

王鴻鈞(1965-),男,教授,E-mail:wanghj302@163.com.