肖雪芳，林 烽，雷國(guó)偉

(1.廈門理工學(xué)院光電與通信工程學(xué)院，福建 廈門 361024；2.福建省高校光電技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 廈門 361024；3.廈門市LED照明應(yīng)用工程技術(shù)研究中心，福建 廈門361024；4.集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

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天線相關(guān)性對(duì)多天線系統(tǒng)信道容量的影響

肖雪芳1,2,3，林 烽4，雷國(guó)偉4

(1.廈門理工學(xué)院光電與通信工程學(xué)院，福建 廈門 361024；2.福建省高校光電技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 廈門 361024；3.廈門市LED照明應(yīng)用工程技術(shù)研究中心，福建 廈門361024；4.集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

基于多天線系統(tǒng)的容量等效公式，從空間因素著手，計(jì)算多天線系統(tǒng)中天線數(shù)量、天線間距、角度擴(kuò)展與信道容量之間的最優(yōu)值，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證，分析3個(gè)空間因素產(chǎn)生的天線相關(guān)性對(duì)多天線系統(tǒng)信道容量的影響.結(jié)果顯示，增加發(fā)射天線數(shù)或者接收天線數(shù)都能顯著地增加系統(tǒng)的信道容量，其中增加接收天線數(shù)比增加發(fā)射天線數(shù)效果更好.但是在有限的空間一味增加天線數(shù)量又會(huì)減小天線間距，從而增加天線之間的相關(guān)性，進(jìn)而降低信道容量.因此，在設(shè)計(jì)多天線工程時(shí)，可在一定天線間距和角度擴(kuò)展情況下，盡可能地增加天線數(shù)量，以達(dá)到信道容量的最優(yōu)值.

多天線系統(tǒng)；信道容量；天線相關(guān)性；天線數(shù)量；天線間距；角度擴(kuò)展

多輸入多輸出系統(tǒng)(Multiple-InputMultiple-Out-put，簡(jiǎn)稱MIMO) 即多天線系統(tǒng)能夠在不增加發(fā)送功率和帶寬的前提下，有效地成倍增加信道的傳輸容量，能夠充分地利用有限的空間資源以提高頻譜效率.在實(shí)際的無(wú)線通信環(huán)境中，由于MIMO信道中每個(gè)通信子信道的傳輸系數(shù)可以近似的看作是一個(gè)服從某項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，因此MIMO信道可以看作是一個(gè)由多個(gè)隨機(jī)變量元素組成的信道矩陣[1]，目前對(duì)于MIMO信道容量的分析都是在假定的獨(dú)立平緩瑞利衰落信道基礎(chǔ)上[2-4].然而,在信號(hào)傳播的過(guò)程中，傳播信道之間會(huì)產(chǎn)生一定的相關(guān)性，它會(huì)對(duì)MIMO系統(tǒng)信道容量產(chǎn)生較大的影響，相關(guān)性的提高會(huì)使得系統(tǒng)信道容量的降低，直到相關(guān)性到達(dá)1時(shí)，MIMO系統(tǒng)將不再適于增加傳輸容量的技術(shù).對(duì)于信道容量而言，相關(guān)性的增加對(duì)信道容量的影響相當(dāng)于信噪比的減小.理論研究表明,如果發(fā)射天線到接收天線之間的信道為獨(dú)立的同分布平緩瑞利衰落信道，MIMO系統(tǒng)的信道傳輸容量決定于發(fā)送和接收天線的數(shù)目由少變多地呈線性增長(zhǎng)[5].在實(shí)際的無(wú)線通信環(huán)境中,衰落并不是獨(dú)立的,由于天線間距、角度擴(kuò)展、來(lái)波角度等因素的影響，使得獨(dú)立瑞利衰落信道的研究存在著相關(guān)性[6-7].即考慮在相關(guān)性存在的情況下，根據(jù)空間因素等的變化產(chǎn)生的容量的變化來(lái)得出MIMO信道的最優(yōu)值. 本文引入MIMO技術(shù)的基本概念和工作原理，基于多天線系統(tǒng)的容量等效公式，從空間因素著手，分析天線相關(guān)性對(duì)多天線系統(tǒng)信道容量的影響，以期為多天線工程的設(shè)計(jì)提供有益的參考和借鑒.

1 MIMO系統(tǒng)信道容量

假設(shè)每個(gè)信號(hào)周期內(nèi)的發(fā)射端的天線陣列上的信號(hào)為nT×1維列向量X，由下式表示

(1)

其中第i元素xi(t)表示從第i根天線傳輸?shù)男盘?hào).

(2)

式中:Y為nR×1維接收信號(hào)向量，Z為nR×1維加性高斯白噪聲向量，均值為0，方差為E=σ2InR，InR為nR×nR單位陣，H為nR×nT維信道矩陣，由下式表示

(3)

假設(shè)信道為平緩的瑞利衰落獨(dú)立信道.為了達(dá)到歸一化的條件，假設(shè)每根接收天線所接收到的信號(hào)功率等于所有發(fā)射天線的信號(hào)總功率.也就是說(shuō)，忽略了大尺度衰弱、陰影衰弱和天線增益帶來(lái)的信號(hào)放大或衰減等影響.因此hij滿足以下歸一化情況[8].

(4)

式中:i=1,2,…,nR.

如果衰落信道矩陣的每一個(gè)元素是隨機(jī)變量，則上式左端取它的數(shù)學(xué)期望值.對(duì)信道相關(guān)矩陣H進(jìn)行奇異值分解，得到

(5)

其中，U為nR×nR的酉矩陣，V為nT×nT的酉矩陣，D為nR×nT的大于等于零的對(duì)角矩陣.U和V這兩個(gè)矩陣滿足UUH=InR和VVH=InT.對(duì)角矩陣D中的每個(gè)元素對(duì)應(yīng)于矩陣HHH的特征值的平方根.HHH的特征值λ的表達(dá)式由下式給出

(6)

引入威沙特矩陣，其定義式是

俗話說(shuō)，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。但在我國(guó)由于管理會(huì)計(jì)引進(jìn)的時(shí)間較短，且一開始是照搬國(guó)外的理論，我國(guó)自己的管理會(huì)計(jì)理論仍處于發(fā)展階段，在許多方面都沒(méi)有的到研究和論證。沒(méi)有合理的管理會(huì)計(jì)理論，不能將管理會(huì)計(jì)的理念與實(shí)際的工作相結(jié)合起來(lái)。在很多時(shí)候只是單獨(dú)的討論管理會(huì)計(jì)的重要性，卻忽略了管理會(huì)計(jì)在實(shí)際工作中的應(yīng)用方法，使管理會(huì)計(jì)與企業(yè)出現(xiàn)脫節(jié)，無(wú)法發(fā)揮其真正的作用。

(7)

令M=min(nR，nT),式(6)定義了特征值與特征向量的關(guān)系，因此進(jìn)一步改寫為

(8)

由于det(λIM-Q)的拉普拉斯最小項(xiàng)的乘積式中，(λIM-Q)每一行相對(duì)于λ的一次乘積項(xiàng).M次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有M個(gè)零點(diǎn)，所以特征多項(xiàng)式可以表示成

(9)

由此可見(jiàn)，等效MIMO信道是由M個(gè)去耦平行子信道構(gòu)成的，即等同于M個(gè)獨(dú)立的并行子信道相加的結(jié)果.所以，信道容量的增益等于矩陣HHH的特征值.比如，假設(shè)nT>nR，則等效的MIMO信道中，最大含有nR個(gè)非零增益子信道.同理，假設(shè)nR>nT，則等效的MIMO信道中，最多含有nT個(gè)非零增益子信道.假如等效MIMO信道下發(fā)送端的總功率設(shè)成P.并且發(fā)送端信道狀態(tài)信息不知道，則將發(fā)送總功率平均分配到每條天線上，記作P/nT，信道噪聲功率為σ2.令λ=-nTσ2/P，則MIMO信道容量的表達(dá)式表示

(10)

2 相關(guān)性分析

上述關(guān)于容量的討論是基于天線與天線間不具備相關(guān)性的，即相關(guān)系數(shù)為零.然而，在信號(hào)傳輸環(huán)境中，天線與天線之間因?yàn)殡姶挪ǖ母蓴_、傳輸路徑的干擾，以及空間散射物質(zhì)的干擾，發(fā)射端的信號(hào)到達(dá)接收端存在著相當(dāng)大的影響.當(dāng)相關(guān)系數(shù)達(dá)到1的時(shí)候，多天線系統(tǒng)將不再具有增大信道傳輸效率的作用，相反，還會(huì)因此浪費(fèi)空間資源.由于信號(hào)的來(lái)波角度的非全向性和非均勻分布性質(zhì)，信道傳輸函數(shù)的相關(guān)特性與相對(duì)應(yīng)的空間距離向量的關(guān)系非常密切[9].

考慮空間因素中的天線間距、角度擴(kuò)展和天線數(shù)量這幾個(gè)參數(shù)產(chǎn)生的相關(guān)性.在接收端接收天線采用等間距線性陣列，陣列模型如圖1所示.

假設(shè)兩根天線之間的距離為d,天線接收到的角度擴(kuò)展為2Δ，平均來(lái)波角度為θ，來(lái)波角取決于概率密度p(θi)，概率密度是由角度擴(kuò)展決定的，因此第m條天線和第n條天線之間的相關(guān)系數(shù)可由下式?jīng)Q定[10]，有

(11)

根據(jù)系統(tǒng)散射環(huán)境和天線所處位置的不同，在已有的許多文獻(xiàn)中，來(lái)波角譜考慮了許多種的分布，如有余弦分布，均勻分布，高斯分布和拉普拉斯分布.出于均勻分布的簡(jiǎn)單性和一般性的考慮，這里假設(shè)來(lái)波方向服從均勻分布，即

(12)

此時(shí)，為了研究天線相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)信道容量的影響，將信道矩陣H進(jìn)行分解，得到如下表達(dá)式[11]

(13)

式(13)中R定義為nR×nR的接收天線正相關(guān)矩陣；T則是nT×nT的發(fā)射天線正相關(guān)矩陣；Hw中的每一個(gè)元素都是均值為零，方差為1的復(fù)高斯獨(dú)立的隨機(jī)變量.通過(guò)式(13),更能清晰地看出接收天線和發(fā)射天線的相關(guān)性對(duì)信道矩陣的影響.

因?yàn)榘l(fā)射端的信道狀態(tài)信息是未知的，發(fā)射信號(hào)總功率平均分配到每一根天線上，可得

(14)

再把式(14)代入式(10)中，令γ=P/σ2，只討論單位頻帶的容量，即C′=C/W，則容量公式變?yōu)?/p>

(15)

假定一個(gè)M階的相關(guān)矩陣A為

(16)

其中，r∈[0,1)是相關(guān)系數(shù).則R=AnR(r),T=AnT(r),其中R和T分別是發(fā)射天線的相關(guān)矩陣和接收天線的相關(guān)矩陣.

這里，假定nR=nT=M，當(dāng)信噪比較高的時(shí)候，多天線MIMO系統(tǒng)的信道容量可以改寫成

(17)

顯而易見(jiàn)，當(dāng)發(fā)送端的信道狀態(tài)信息是未知的時(shí)候，將發(fā)送功率平均分配到每一根天線上，此時(shí)的R和T相關(guān)矩陣對(duì)信道容量的影響是一致的.假設(shè)發(fā)送端信道狀態(tài)信息是已知的，就要考慮功率分配來(lái)分析信道容量的大小.由此，這里只考慮接收端的相關(guān)性分析.

3 數(shù)值模擬與分析

模擬的MIMO系統(tǒng)是典型的室內(nèi)微小區(qū)域，發(fā)射端和接收端都是均勻線性陣列[12].圖2中各曲線的天線配置是nR×nT，通過(guò)蒙特卡羅方法產(chǎn)生式(3)所示的信道矩陣，再根據(jù)式(10)得到的結(jié)果.從圖2可以看出，在低信噪比下，信道容量隨信噪比成對(duì)數(shù)關(guān)系增加；在高信噪比下，信道容量隨信噪比成線性關(guān)系增加.比較4發(fā)2收和3發(fā)3收可以看出，發(fā)射天線數(shù)的增加沒(méi)有接收天線數(shù)的增加對(duì)信道容量的影響更大.在天線數(shù)相同的條件下，天線的相關(guān)性降低了信道容量.同時(shí)看出，無(wú)論增加發(fā)射天線數(shù)或者增加接收天線數(shù)都能顯著地增加系統(tǒng)的信道容量.

下面討論的是天線間距，角度擴(kuò)展對(duì)相關(guān)系數(shù)、信道容量的影響.圖3根據(jù)式(11)得到.圖3(a)給出的是在不同角度擴(kuò)展下相關(guān)系數(shù)受天線間距的影響.從圖中可以看出，當(dāng)角度擴(kuò)展比較大的時(shí)候，相關(guān)系數(shù)隨著天線間距的增加很快地趨于0值，這是由于在接收天線角度擴(kuò)展比較大的時(shí)候，信號(hào)傳輸子路徑的增益變大，相當(dāng)于接收到的信號(hào)更多，信號(hào)的損失比較小，所需的空間間距也比較小.當(dāng)角度擴(kuò)展一定時(shí)，相關(guān)系數(shù)隨著天線間距的增大而減小，隨著天線間距的增大，相關(guān)系數(shù)漸漸地收斂于0的附近.

圖3(b)給出的是在不同天線間距下相關(guān)系數(shù)受角度擴(kuò)展的影響.從圖中可以看出，當(dāng)天線間距比較大的時(shí)候，相關(guān)系數(shù)隨著角度擴(kuò)展的增加很快地趨于0值，這是由于隨著天線間距的增加，各天線間的相關(guān)性降低.特別當(dāng)天線間距增大到一定程度時(shí)(如d=3.85/λ)，角度擴(kuò)展對(duì)相關(guān)性的作用微乎其微.

圖4(a)和4(b)根據(jù)式(15)得到.圖4(a)給出了不同角度擴(kuò)展下信道容量隨天線間距的影響.當(dāng)天線間距一定的時(shí)候，隨著角度擴(kuò)展的增大，信道容量趨于穩(wěn)定值越快.也就是說(shuō)，天線間距一定時(shí)，角度擴(kuò)展越大，相關(guān)系數(shù)越快接近0，容量隨著相關(guān)系數(shù)的減小而增大.同理，角度擴(kuò)展一定時(shí)，隨著天線間距的增大，信道容量能夠漸漸地趨于一個(gè)穩(wěn)定的值.由圖4(a)和4(b)可以看出，接收發(fā)射天線數(shù)一定的時(shí)候，無(wú)論天線間距和角度擴(kuò)展的增大如何，信道容量趨于一個(gè)相同的值.這個(gè)值就是我們要求的最優(yōu)信道容量值.

圖4(b)給出了不同天線間距下信道容量隨角度擴(kuò)展的影響，其理論闡釋與圖4(a)相仿，不再贅述.需要注意的是，當(dāng)天線間距增大到一定程度時(shí)(如d=3.85λ)，角度擴(kuò)展對(duì)相關(guān)性的作用，進(jìn)而對(duì)信道容量的貢獻(xiàn)微乎其微.同時(shí)圖4(b)也從另一個(gè)側(cè)面映證了圖3(b)的結(jié)論.

4 結(jié)語(yǔ)

本文考查了多天線系統(tǒng)中，MIMO天線各參數(shù)對(duì)信道容量的影響.可以看到，在收、發(fā)端增加天線數(shù)會(huì)提高信道容量，不過(guò)天線之間的相關(guān)性，又會(huì)降低信道容量.雖然我們可以采用增大天線間距，或者增大角度擴(kuò)展的辦法,以減小天線的空間相關(guān)性.但一味地增加天線間距和角度擴(kuò)展也會(huì)給系統(tǒng)硬件設(shè)計(jì)帶來(lái)難度.本文探討天線數(shù)量、間距、角度擴(kuò)展等因素對(duì)信道容量的影響.考查了在一定天線間距和角度擴(kuò)展情況下，盡可能增加天線數(shù)量，以達(dá)到信道容量的最優(yōu)值，這在工程上對(duì)多天線設(shè)計(jì)具有一定的參考意義.今后的工作可以圍繞功率分配對(duì)天線相關(guān)下信道容量的影響進(jìn)行.

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(責(zé)任編輯 宋 靜)

Impact of Antenna Correlation on MIMO Channel Capacity

XIAO Xuefang1,2,3，LIN Feng4， LEI Guowei4

(1.SchoolofOpto-electronicandCommunicationEngineering,XiamenUniversityofTechnology,Xiamen361024,China;2.FujianUniversityKeyLaboratoryofOptoelectronicTechnology,Xiamen361024,China;3.XiamenLEDLightingEngineeringCenter,Xiamen361024,China;4.SchoolofScience,JimeiUniversity,Xiamen361021,China)

BasedontheequivalentformulaofchannelcapacityofMIMOsystem，theoptimalvalueisevaluatedamongthenumberofantennas,antennaspacing,anglespreadandchannelcapacity,andimpactofantennacorrelationonMIMOchannelcapacitycausedbythethreespacefactorsstudied.Simulatedresultsrevealthat,increaseoftransmittingorreceivingantennascanbothsignificantlyenlargethechannelcapacityofMIMOsystems,thelatterofwhichshowsbettereffect.Butexcessiveincreaseofantennaswillreducetheantennaspacingandincreasethecorrelationbetweenantennasandasaresultthechannelcapacitywillbereduced.Therefore,maximalnumberofantennasshouldbeusedinMIMOdesignwhilekeepingantennaspacingandanglespreadsoastoensuretheoptimalvalueofchannelcapacity.

MIMO;channelcapacity;antennacorrelation;numberofantennas;antennaspacing;anglespread

2016-07-05

2016-09-22

廈門理工學(xué)院預(yù)研科技項(xiàng)目(XYK201406)；福建省青年骨干教師出國(guó)留學(xué)1∶1配套項(xiàng)目(20150710605)[作者簡(jiǎn)介]肖雪芳(1977-)，女，副教授,博士，研究方向?yàn)榘雽?dǎo)體、光電子、通信.E-mail:xfxiao5217@semi.ac.cn

TN

A

1673-4432(2016)05-0064-06