MIMO無線通信系統(tǒng)容量研究

孫會(huì)楠

(哈爾濱華德學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150025)

多輸入多輸出技術(shù)(MIMO)是無線通信領(lǐng)域中的重大技術(shù)性突破。它是指無線通信信號(hào)的發(fā)射端和接收端分別使用多個(gè)天線，使信號(hào)通過多條路徑傳送和接收，從而改善通信質(zhì)量。MIMO是4G通信系統(tǒng)的核心技術(shù)，MIMO系統(tǒng)在不增加使用成本和技術(shù)難度的情況下，能夠大幅度改善通信系統(tǒng)的信道容量，和傳統(tǒng)的單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)相比有著顯而易見的優(yōu)勢(shì)。因此，MIMO技術(shù)在未來的無線通信領(lǐng)域有著舉足輕重的地位[1]。

本文首先推導(dǎo)了MIMO信道容量的計(jì)算公式，其次應(yīng)用MATLAB軟件對(duì)不同條件下的信道容量進(jìn)行了仿真分析，并和單天線(SISO)系統(tǒng)、單輸入多輸出(SIMO)系統(tǒng)、多輸入單輸出(MISO)系統(tǒng)的信道容量進(jìn)行對(duì)比，最后證明MIMO系統(tǒng)的優(yōu)越性。

1 傳統(tǒng)通信系統(tǒng)的信道容量

1.1 SISO系統(tǒng)的信道容量

對(duì)于高斯信道，發(fā)射端發(fā)射的總功率為P，噪聲功率為σ2，則信道的香濃容量為

(1)

式中ρ=P/σ2，表示接收端獲得的信噪比。對(duì)于參數(shù)不變的單天線系統(tǒng)，在某一時(shí)刻具有固定的信道復(fù)數(shù)增益h的SISO信道容量可表示為

C=lb(1+ρ|h|2) 。

(2)

當(dāng)信噪比較大時(shí)，信道容量隨信噪比的增加而增加。它們之間成對(duì)數(shù)關(guān)系，大約ρ每增加3 dB就可以使C增加1 bit/(s·Hz)。

對(duì)于隨機(jī)信道系數(shù)，式(2)所描述的信道容量也可以是一個(gè)隨機(jī)變量。此時(shí)可以得到SISO系統(tǒng)的遍歷容量[2]：

(3)

圖1為所描述的SISO信道容量仿真結(jié)果，收發(fā)天線數(shù)目均為1。由圖1可知，信道容量僅隨信噪比(SNR)的增加而增加。

圖1 SISO系統(tǒng)的信道容量

1.2 SIMO系統(tǒng)的信道容量

(4)

C=lb(1+nRρ)。

(5)

與SISO系統(tǒng)相比，SIMO系統(tǒng)的分集增益為nR。圖2所示為所描述的SIMO信道容量的仿真結(jié)果，接收天線數(shù)目分別為1、3、5、7、9。由圖2可知，信道容量不僅隨信噪比(SNR)增加而增加，還隨接收天線數(shù)量的增加而增加。但如果天線數(shù)量達(dá)到了一定的程度，此時(shí)再增加天線數(shù)量，信道容量增加的幅度就十分有限。

圖2 SIMO系統(tǒng)的信道容量

對(duì)于隨機(jī)信道系數(shù)，該信道容量為

(6)

1.3 MISO系統(tǒng)的信道容量

(7)

C=lb(1+ρ) 。

(8)

由式(8)可以看出，MISO信道容量并沒有受到分集增益的影響，這是因?yàn)榘l(fā)射的總功率被平均分配到了各個(gè)發(fā)射天線上的緣故。圖3所示為所描述的MISO信道容量的仿真結(jié)果，發(fā)射天線數(shù)目分別為1、3、5、7、9。由圖3可知，信道容量不僅隨信噪比(SNR)增加而增加，還隨接收天線數(shù)量的增加而增加。但相對(duì)于SISO系統(tǒng)的容量增加的很少，當(dāng)天線數(shù)量大于3時(shí)，再增加其數(shù)量對(duì)信道容量并沒有明顯的改善。

圖3 MISO系統(tǒng)的信道容量

對(duì)于隨機(jī)信道系數(shù)，該信道容量為

(9)

2 MIMO系統(tǒng)的容量分析

2.1 MIMO信道容量推導(dǎo)過程

圖4為 MIMO系統(tǒng)框圖。其中，發(fā)射天線數(shù)目為nT，接收天線數(shù)目為nR。假設(shè)信道為nR×nT維矩陣H。其中，Hi,j表示第i個(gè)發(fā)射天線到第j個(gè)接收天線之間的衰落系數(shù)；發(fā)射端發(fā)射的信號(hào)為nT×1維列向量x，xi表示第i個(gè)天線上發(fā)射的向量；接收端接收的信道噪聲為nR×1維列向量n，噪聲模型為獨(dú)立分布的零均值的復(fù)高斯白噪聲，方差為δ2[4]。

圖4 MIMO系統(tǒng)框圖

對(duì)于圖4所示的系統(tǒng)，可表示為

y=Hx+n。

(10)

發(fā)射端無法獲取信道狀態(tài)信息，所以通常情況下每個(gè)發(fā)射端發(fā)射的信號(hào)功率是相同的，假設(shè)發(fā)射端發(fā)射的信號(hào)總功率為P，則單個(gè)發(fā)射端的發(fā)射功率為P/nT。由此可以推導(dǎo)出發(fā)射信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

RXX=E(XXH)，

(11)

式中P=Trace(RXX)，這是由于發(fā)射功率受限所致。通過信息論的分析方法可以得出，發(fā)射信號(hào)的最佳分布模型為高斯分布，即發(fā)射信號(hào)均為高斯變量且互相獨(dú)立。根據(jù)一般情況下高斯分布的特性可得

(12)

假設(shè)接收端接收到的信號(hào)功率等于發(fā)射的總功率，忽略其他因素造成的衰落等不利影響，則可以利用信道矩陣的奇異值(SVD)分解推導(dǎo)得出MIMO信道容量。根據(jù)SVD分解法，對(duì)H進(jìn)行分解可得

H=UDVH，

(13)

式中：U和V均為酉矩陣，滿足UUH=InR,VVH=InT；D為對(duì)角矩陣，是矩陣HHH特征值的算術(shù)平方根。將式(13)代入式(10)可得

y=UDVHx+n，

(14)

在式(14)的兩邊分別乘以UH，可得

UHy=DVHx+UHn，

(15)

式中VHx、UHn與x、n的統(tǒng)計(jì)特性完全一致，故該系統(tǒng)可以等效為i個(gè)SISO系統(tǒng)的集合。對(duì)于這種系統(tǒng)，其等效的系統(tǒng)模型如圖5所示。

圖5 MIMO的等效系統(tǒng)模型

(16)

式中Pyi為第i個(gè)子信道接收端接收到的信號(hào)功率。通過前邊假設(shè)的兩個(gè)條件可得

(17)

因此信道容量為

(18)

假設(shè)m=min(nT,nR)，特征值和特征向量之間的關(guān)系為

(λIm-W)y=0,y≠0，

(19)

式中W是威沙特(Wishart)矩陣，其定義為

(20)

當(dāng)且僅當(dāng)λIm-W為奇異矩陣時(shí)，λ是W的一個(gè)特征值，因此可得

det(λIm-W)=0。

(21)

通過查找式(20)的根，得到信道矩陣的特征值λ，因此式(21)左邊的特征多項(xiàng)式為

p(λ)=det(λIm-W)，

(22)

式中m為式 (22)的冪次。對(duì)于det(λIm-W)的拉普拉斯最小項(xiàng)乘積式，每一行λIm-W的元素對(duì)應(yīng)λ的一次乘積項(xiàng)[5]。由于系數(shù)為復(fù)數(shù)的m次多項(xiàng)式具有m個(gè)零點(diǎn)，故式(22)的特征多項(xiàng)式為

(23)

因此可得

(24)

用-nTσ2/P替換式(24)中的λ，可得

(25)

由式(18)得到固定信道系數(shù)的MIMO信道容量公式，即

(26)

因?yàn)镠HH和HHH具有相同的非零特征值，所以信道矩陣H和HH也具有相同的信道容量。對(duì)于隨機(jī)信道系數(shù)的MIMO系統(tǒng)，式(26)表示瞬時(shí)時(shí)刻的信道容量。

2.2 MIMO系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)容量

根據(jù)式(25)的定義，對(duì)于隨機(jī)信道系數(shù)的MIMO系統(tǒng)，其遍歷容量為[6]

(27)

式中：m=min(nT,nR)；符號(hào)EH[.]表示對(duì)信道矩陣求數(shù)學(xué)期望;矩陣W為

(28)

式(27)還可以寫作[7]

(29)

(30)

圖6 MIMO系統(tǒng)的信道容量

圖7所示為所描述的MIMO系統(tǒng)中斷容量的累積分布函數(shù)的蒙特卡羅仿真結(jié)果，信噪比取30 dB。由圖7可知，隨著天線數(shù)量的增加，信道容量也不斷增加；而且也可以看出，MIMO系統(tǒng)與單天線(1×1)系統(tǒng)相比信道容量有了很大幅度的提高。

圖7 MIMO系統(tǒng)中斷容量的累積分布函數(shù)

3 SISO、SIMO、MISO與MIMO信道容量的綜合比較

為了綜合比較分析傳統(tǒng)通信系統(tǒng)和MIMO的信道容量，分別選擇了1×1、3×1、5×1、1×3、1×5、3×3、5×5這七種收發(fā)天線構(gòu)成方案。圖8和圖9分別為所述系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量累積分布函數(shù)的綜合比較仿真結(jié)果，仿真方法采用蒙特卡羅仿真法。假設(shè)信道系數(shù)服從瑞利分布，信噪比取30 dB，蒙特卡羅仿真的迭代次數(shù)為10 000。

圖8 SISO、SIMO、MISO、MIMO系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)容量的綜合比較

圖9 SISO、SIMO、MISO、MIMO系統(tǒng)的中斷容量累積分布函數(shù)的綜合比較

通過觀察收發(fā)天線數(shù)目為1×3和1×5的仿真曲線，可以總結(jié)出多個(gè)接收天線對(duì)信道容量造成的影響。接收端使用多個(gè)接收天線使信道獲得了分集增益，這些增益降低了衰落的不利影響，并增大了接收端獲得的信噪比(SNR)。因此SIMO系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量相比SISO系統(tǒng)都獲得了不小的提升。然而由于信噪比與信道容量成對(duì)數(shù)關(guān)系，導(dǎo)致分集增益產(chǎn)生的作用很快趨于飽和，信道容量提升的幅度也就十分有限。從兩張仿真圖中也可以看出，當(dāng)接收天線從3個(gè)到5個(gè)時(shí)，信道容量并沒有增大很多。

同理，通過觀察收發(fā)天線數(shù)目為3×1和5×1的仿真曲線，可以總結(jié)出多個(gè)發(fā)射天線對(duì)信道容量造成的影響。當(dāng)發(fā)射端無法獲取信道狀態(tài)信息時(shí)，就無法在多個(gè)發(fā)射天線中采用波束形成技術(shù)和自適應(yīng)分配發(fā)射功率。并且發(fā)射的總功率還被平均分配到了各個(gè)發(fā)射天線上，導(dǎo)致信道中基本沒有分集增益。這些因素使得MISO系統(tǒng)的中斷容量得到提升，但各態(tài)歷經(jīng)容量卻沒有提升太多。從兩張仿真圖中也可以看出，3×1和5×1的各態(tài)歷經(jīng)容量曲線幾乎是重合的。

通過觀察收發(fā)天線數(shù)目為3×3和5×5的仿真曲線，可以發(fā)現(xiàn)MIMO系統(tǒng)在改善信道的各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，兩張仿真圖中曲線的數(shù)據(jù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其他曲線。這是因?yàn)镸IMO系統(tǒng)結(jié)合并放大了SIMO系統(tǒng)和MISO系統(tǒng)各自的優(yōu)點(diǎn)，從而優(yōu)化了信道容量所致。實(shí)際上，當(dāng)收發(fā)天線數(shù)目為nT=nR時(shí)，信道容量可以近似地看成和nT成正比，即

C≈nTlb(1+ρ)，

(31)

所以在理論上來說，只要收發(fā)天線的數(shù)量足夠多，信道容量就可以趨近于無窮大。實(shí)際上這是不可能的，因?yàn)樾诺廊萘繒?huì)受到物理信道自身的限制。

4 結(jié)論

MIMO系統(tǒng)突破了傳統(tǒng)單天線系統(tǒng)(SISO)的瓶頸，并且信道容量相比一般的分系統(tǒng)(SIMO和MISO)有了明顯的改善。通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，在不考慮信道相關(guān)衰落特性的情況下，信道系數(shù)無論固定還是隨機(jī)變化，信道容量受到收發(fā)天線數(shù)量和信噪比的共同影響。其中同一收發(fā)天線中，信道容量隨信噪比的增大而增大；當(dāng)收發(fā)天線數(shù)量增加時(shí)，信道容量也會(huì)增加，并且收發(fā)天線越多，信道容量隨信噪比增大的幅度也會(huì)越大。因此，增大收發(fā)天線的數(shù)量，可以明顯改善MIMO系統(tǒng)的信道容量。