張鈞鑫，姜 軍,2*，張徐芳，習 彤

(1.西藏大學信息科學技術(shù)學院，西藏拉薩 850000；2.西藏大學信息技術(shù)國家級實驗教學示范中心，西藏拉薩 850000）

隨著無線通信技術(shù)的演進，5G 通信時代已經(jīng)到來，A × B MIMO 作為多天線傳輸技術(shù)在不增加額外帶寬的情況下大幅度的提高了無線通信系統(tǒng)的系統(tǒng)容量，被認為是新一代無線通信技術(shù)的革命，在無線通信系統(tǒng)智能天線領域起著至關(guān)重要的作用[1-3]。在A × B MIMO 中，A 表示發(fā)射端的天線數(shù)，B 表示接收端的天線數(shù)。因為A × B MIMO 涉及到多天線創(chuàng)造的多條路徑傳播，所以可以根據(jù)發(fā)送端和接收端天線個數(shù)的不同，將A × B MIMO 系統(tǒng)分為單入單出（SISO）、單入多出（SIMO）、多入單出（MISO）、多入多出（MIMO）4 種類型[4]。相比于傳統(tǒng)的SISO、SIMO、MISO 來說，MIMO 具有了更多的空間資源，在無線通信系統(tǒng)中影響通信質(zhì)量的主要因素是多徑衰落，但是MIMO 系統(tǒng)卻能夠充分利用多徑的影響來提高系統(tǒng)容量[5]。但是在實際操作上，MIMO 系統(tǒng)的容量并不一定能得到理論上的可觀結(jié)果，會受到實際狀況的影響。因此對實際狀況中發(fā)送端的信道狀態(tài)信息（CSI）已知和未知下的信道容量進行原理推導以及數(shù)學分析是十分重要的。

首先對A × B MIMO 系統(tǒng)中SISO、SIMO、MISO、MIMO 4 種類型信道進行了原理推導，利用Matlab 軟件進行了信道容量分析，并對A × B MIMO系統(tǒng)已知和未知信道狀態(tài)信息（CSI）[6]狀態(tài)下的信道容量進行比較，仿真結(jié)果表明MIMO 系統(tǒng)不管是否已知CSI，相比于傳統(tǒng)的信道來說信道容量都得到了提升，通信系統(tǒng)的性能也得到了提高。

1 SISO、SIMO、MISO信道容量

圖1 為SISO、SIMO、MISO 3 種傳統(tǒng)通信系統(tǒng)模型。假設發(fā)送端天線數(shù)目為NTx，接收端的天線數(shù)目為NRx，SISO 即為收發(fā)端NTx、NRx采用單根天線進行收發(fā)的系統(tǒng)，即單輸入單輸出；SIMO 即由NTx采用單根天線、接收端為NRx根天線組成的系統(tǒng)，即單輸入多輸出，相當于接收分集；MISO 即由發(fā)送端NTx根天線、NRx為單根天線組成的系統(tǒng)，即多輸入單輸出，相當于發(fā)射分集。SIMO和MISO系統(tǒng)都增加了收發(fā)端的路徑，相比于SISO的單發(fā)單收來說，提高了傳輸?shù)某晒β?，但是通信的最大容量沒有發(fā)生改變，只能發(fā)送同樣的數(shù)據(jù)。

圖1 SISO、SIMO、MISO系統(tǒng)模型

從信息論的角度來看，信道的香農(nóng)容量公式用式（1）表示：

其中：f(x)是x的概率密度函數(shù)；I(x,y)是隨機變量x與隨機變量y之間的互信息。

對于單入單出(SISO)，輸出y用式（2）表示：

其中：h為信道增益系數(shù)，當h服從高斯分布時，單入單出(SISO)信道的信道容量可用式（3）表示：

其中：σ2表示噪聲功率，是對帶寬B做了歸一化處理。P表示發(fā)送端發(fā)送總功率。

當h=1 時，單入單出(SISO)信道的歸一化容量為式（4）：

對于發(fā)送端NTx=1 根天線，接收端為NRx根天線的單入多出（SIMO)系統(tǒng)的信道，信道可以認為是由NRx個不同系數(shù)的H組成，SIMO 系統(tǒng)的信道容量為式（5）：

其中：hj表示發(fā)射到接收端第j根天線的信道衰落系數(shù)表示接收端的信噪比；H由[h1,…h(huán)NRx]組成，由可以看出，與SISO 相比SIMO 獲得了NRx倍的分集增益。

當信道衰落系數(shù)恒定時，對于多入單出（MISO)系統(tǒng)的信道，其信道容量為式（6）：

其中：hi表示發(fā)送到接收端第i根天線的信道衰落系數(shù)[7]表示接收端的信噪比；H是由[h1,…h(huán)NTx]組成，MISO 中與分母中的NTx相抵消后得到的信道容量與SISO 的信道容量相同，可以看出MISO 系統(tǒng)的信道容量不會隨發(fā)送端天線數(shù)的增加而獲得信道容量的提升，雖然最大容量沒有改變，但是通信的成功率卻提高了一倍。

圖2 為SISO、SIMO、MISO 3 種信道的信道容量對比圖，假設信道為瑞利（Rayleigh)信道[8]，收發(fā)天線選1× 1、1× 2、1× 3、2 × 1、3× 1五種天線構(gòu)成，信噪比取20 dB，迭代次數(shù)取1 000。

圖2 SISO、SIMO、MISO信道容量對比

通過對圖2 的觀察發(fā)現(xiàn)，當信噪比越大的時候，SISO、SIMO、MISO 3 種信道的信道容量也會越大。通過對比SIMO 中收發(fā)天線數(shù)為1× 2、1× 3 兩種天線構(gòu)成的仿真曲線，可以觀測到SIMO 的信道容量獲得了提升，但是提升的幅度相對不高，這是由于獲得了分集增益帶來了可靠性，降低了衰落的不利影響，但分集增益會趨于飽和導致提升有限。對比1×1、1× 2、1× 3 三種天線構(gòu)成的仿真曲線，可以看到1× 2 的SIMO 信道的信道容量相比于1× 1 的SISO 信道的信道容量得到了顯著提升，但與1× 3 的SIMO 信道相比時，信道容量增長的幅度就相對有限，所以當接收天線數(shù)繼續(xù)增長達到一定程度時，對信道容量的影響將不會太大。對比1× 1、2 × 1 的仿真曲線，可以看出2 × 1 的MISO 信道的信道容量相比于1× 1 的SISO 信道的信道容量有小幅度的增長。對比1× 1、2 × 1、3× 1 的仿真曲線，從圖中可以觀察出2 × 1、3× 1 兩種天線構(gòu)成的仿真曲線幾乎重合，所以當發(fā)送端天線數(shù)大于2 時，天線數(shù)是否增加對信道容量的提升幾乎沒有任何影響效果，這是由于MISO信道并沒有受到分集增益的影響。

2 MIMO信道容量

如圖3 所示為2 × 2 MIMO 系統(tǒng)模型，2 × 2 MIMO 系統(tǒng)即在接收和發(fā)送端兩端相對于SISO 各自多采用一根天線，使得信息傳輸多條路徑，多出口多匯入。

圖3 2 × 2 MIMO系統(tǒng)模型

在非頻率選擇性衰落條件下，對于多入多出（MIMO），輸出y可用式（7）表示：

其中：H是一個NTx×NRx的矩陣，輸入x為NTx× 1 維的向量；n表示復高斯噪聲。

根據(jù)信息論的知識，可知隨機變量x與隨機變量y相互間的信息I(x;y)可用式（8）表示：

其中：x和y是連續(xù)隨機向量；H(y)是y的差分熵。

假設x和y相互獨立，則H(|y x)=H(n)，由于H(n)是常數(shù)，當給定H(n)時求最大化互信息，即為最大化H(y)，I(x;y)可用式（9）表示：

當x服從高斯分布，y服從復高斯分布時，y才具有最大的差分熵，差分熵信號相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系可用式（10）、式（11）表示：

其中：Ry是接收信號y 的自相關(guān)矩陣，可用式（12）表示：

其中：L是發(fā)送信號的協(xié)方差矩陣。

將Ry代入H(y)中，此時I(x;y)可用式（13）表示：

則確定信道系數(shù)MIMO 的信道容量可用式（14）表示：

圖4為MIMO系統(tǒng)的遍歷信道容量仿真結(jié)果圖。假設信道為瑞利（Rayleigh)信道，信噪比取20 dB，每間隔2 dB選取一點，蒙特卡洛仿真時的抽樣數(shù)取1 000，收發(fā)天線分別選1×1、3×3、6×6、9×9、11×11五種天線構(gòu)成。從圖4中可以看出收發(fā)天線數(shù)越多遍歷信道容量越大[9]，并且對于相同天線數(shù)的MIMO系統(tǒng)來說，信噪比越大遍歷容量就越大。

圖4 MIMO系統(tǒng)的遍歷信道容量

圖5 為MIMO 系統(tǒng)的互補累計概率分布函數(shù)仿真結(jié)果圖，信噪比取20 dB，收發(fā)天線分別選1×1、3× 3、6 × 6、9 × 9、11× 11 五種天線構(gòu)成。從容量的概率分布上可以看出，SISO 相比于MIMO 來說信道容量較低，但是隨著收發(fā)天線數(shù)的同時增加，MIMO信道容量將大幅度提升。

圖5 MIMO系統(tǒng)的互補累計概率分布函數(shù)

3 A×B MIMO 已知和未知CSI的信道容量分析

對于單入多出（SIMO)系統(tǒng)的信道，H由組成，不論發(fā)送端是否知道CSI，SIMO系統(tǒng)的信道容量都為式（15）：

從式（15）中可以看出，發(fā)送端只能傳輸一組信息流，對SIMO 系統(tǒng)來說發(fā)送端對CSI 的獲取并不能增大信道容量。

對于多入單出（MISO)系統(tǒng)的信道，當發(fā)送端未知CSI時，MISO系統(tǒng)的信道容量為式（16）：

從式（16）中可以看出，當發(fā)送端未知CSI 時，對MISO 系統(tǒng)來說信道容量與SISO 系統(tǒng)的信道容量一樣。

當發(fā)送端已知CSI 時，MISO 系統(tǒng)的信道容量為式（17）：

從式（16）、式（17）中可以進一步了解到，對MISO 系統(tǒng)來說如果不知道信道狀態(tài)信息時，則可以進行平均發(fā)送，得到的結(jié)果與SISO 相同，稱為分集；如果已知道信道狀態(tài)信息時，則先進行預編碼，這樣提高了接收功率的信號，而總增益不變，這種方式稱為波束賦形。

對于多入多出（MIMO）系統(tǒng)來說，當發(fā)送端已知CSI時，執(zhí)行模態(tài)分解，發(fā)送端模態(tài)分解如圖6：

圖6 發(fā)送端已知CSI時模態(tài)分解圖

根據(jù)圖6 的示意圖，接收端的輸出信號可用式（18）表示：

利用式19 中的奇異值分解，式（18）可以進行改寫，用式（20）重新表示為：

此時可以等價為r個虛擬的SISO 并行子信道，用式（21）表示為：

發(fā)送端已知CSI時，MIMO 信道模態(tài)分解得到的r個虛擬的SISO并行子信道示意圖，如圖7。

圖7 r 個虛擬SISO子信道

此時，MIMO 信道的容量是r個虛擬的SISO 子信道的容量之和[10]，如式（22）：

其中：βi表示發(fā)送端第i其中βi表示發(fā)送端第i根天線的發(fā)送功率；Ci(βi)表示第i個虛擬SISO 信道容量。

功率分配合理時可得到MIMO 信道的最大容量，如式（23）：

由式（23）可以求得MIMO 信道最大容量時的最優(yōu)解，可用式（24）表示：

其中：μ是常數(shù)。

圖8 注水算法模型

對于MIMO 系統(tǒng)來說，當發(fā)送端未知CSI 時，發(fā)送端常采用平均分配功率算法，總功率平均分配給所有的發(fā)射天線。MIMO 系統(tǒng)的信道容量為式（25）：

進行特征值分解HHH=Q∧QH和恒等式det(I+AB)=det(I+BA)，式（25）中的MIMO 信道容量可如式（26）所示：

其中：r=Nmin?min(NTx,NRx)是H的秩。

當信道正交時MIMO 信道的容量可以達到最大，此時可用式（27）表示：

圖9為A × B MIMO已知CSI時的信道容量仿真圖，圖中選取 1× 1、2 × 1、1× 2、2 × 2、1×3、2 × 3、3× 3 七種收發(fā)天線構(gòu)成情況，信噪比取40 dB，每間隔5 dB 選取一點。通過對比1× 1、1×2、1× 3 三種收發(fā)天線情況可以觀察出，當已知CSI時接收天線的數(shù)目增加信道容量也有所增加。對比2 × 1、1× 2兩種天線情況發(fā)現(xiàn)曲線幾乎重合，MISO（2 × 1）信道的容量和SIMO（1× 2）信道的容量相同，這是因為對于MISO 信道來說，當發(fā)送端已知CSI時，可以把發(fā)送功率集中于當前信道的某個特定模式，而不是直接對信號進行發(fā)送，這樣做可以將接收信號的功率提升NTx倍。對比1× 1、2 × 2、3× 3 三種情況，發(fā)現(xiàn)已知CSI時的MIMO系統(tǒng)的信道容量相對于SISO來說有很大的提高。

圖9 A × B MIMO已知CSI時的信道容量

圖10 為A × B MIMO 未知CSI 時的信道容量仿真圖，圖中所選取的收發(fā)天線數(shù)與已知CSI時的天線數(shù)一致，信噪比取40 dB。通過對比1× 1、1×2、1× 3 三種天線情況可以觀察出未知CSI 時，SIMO 的信道容量隨接收端天線數(shù)的增加而有所增大。對比2 × 1、1× 2 兩種天線情況發(fā)現(xiàn)SIMO（1× 2）信道的容量相比與MISO（2 × 1）信道的容量有了NRx倍的提升。對比1× 3、2 × 3、3× 3 三種天線情況發(fā)現(xiàn)，在未知CSI 時三種天線的信道容量曲線幾乎重合，信道的容量并未隨發(fā)送端天線數(shù)的增加而增加。對比1× 1、2 × 2、3× 3 三種情況，處于未知CSI 時的MIMO 系統(tǒng)的信道容量有所增加，但是增長的幅度較小。

圖10 A × B MIMO未知CSI時的信道容量

為了綜合比較A × B MIMO 中CSI 對信道容量的影響，將已知和未知CSI 兩種狀態(tài)下的A ×B MIMO 進行了仿真對比實驗。圖11 為兩種狀態(tài)下的天線數(shù)目都選取2 × 1、1× 2、2 × 2、1× 3、2 ×3、3× 3六種情況，信噪比取40 dB。

圖11 A × B MIMO 已知和未知CSI時的信道容量對比

通過對圖11 的觀察，可以發(fā)現(xiàn)對于SIMO 信道來說，接收天線數(shù)目越多則容量越大，對于是否已知CSI 作用并不是很大。對于MISO 信道來說，當不知道CSI 時，得到的信道容量結(jié)果和SISO 信道幾乎是一樣的。當已經(jīng)知道CSI 時，MISO 信道得到的信道容量結(jié)果相比與SISO 信道有所提升，此時總增益雖然不變，但是接收信號的功率提升了NTx倍。對于MIMO 信道來說，不管是否知道CSI，信道容量都會隨天線數(shù)的增加而增加。而且隨著信噪比的增大，每根天線上的功率都得到了改善。

4 總結(jié)

A × B MIMO 的出現(xiàn)使得空間成為了一種可以提高系統(tǒng)性能的資源，在A × B MIMO 系統(tǒng)中MIMO技術(shù)與傳統(tǒng)的SISO、SIMO、MISO 技術(shù)相比，通過在收發(fā)端同時采用多根天線實現(xiàn)多發(fā)多收，在未來移動通信網(wǎng)絡中起著舉足輕重的作用。通過仿真發(fā)現(xiàn)，MIMO 系統(tǒng)可以極大的增加系統(tǒng)的信道容量，且與收發(fā)天線的數(shù)目呈上升關(guān)系，在理想狀態(tài)下收發(fā)天線數(shù)越多，信道容量越大。但在實際狀況中也會受到發(fā)送端對CSI 是否知曉的影響，這密切關(guān)系到MIMO 系統(tǒng)的容量增益。當處于信噪比較低的情況下時，對于已知CSI 時的信道容量特性要優(yōu)于未知CSI 時得到的信道容量特性。因此，在已知CSI 時增加收發(fā)天線數(shù)，可以更好的提高MIMO 系統(tǒng)的信道容量。