●王紅權(quán)

(杭州市基礎(chǔ)教育研究室 浙江杭州 310003)

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含絕對值的不等式問題復(fù)習(xí)研究*

●王紅權(quán)

(杭州市基礎(chǔ)教育研究室 浙江杭州 310003)

含絕對值不等式的解法和三角形不等式的應(yīng)用已寫入《浙江省數(shù)學(xué)高考考綱》．為此需要對該內(nèi)容作深入和系統(tǒng)地研究，縱觀已有的真題，通過梳理知識結(jié)構(gòu)，提取解題策略，破解命題軌跡，尋找復(fù)習(xí)靈感，實(shí)現(xiàn)新增內(nèi)容從復(fù)習(xí)到考試的軟著陸．

絕對值不等式;三角形不等式;復(fù)習(xí)研究;解題策略

2017年是浙江省數(shù)學(xué)高考文理不分卷考試的第1年，《浙江省2017年普通高等學(xué)校招生考試大綱·數(shù)學(xué)》(以下簡稱《大綱》)在第5章“不等式考試要求”中明確規(guī)定：5.會解|x+b|≤c，|x+b|≥c，|x-a|+|x-b|≥c，|x-a|+|x-b|≤c型不等式；6．了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(以下稱該不等式為三角形不等式)及其應(yīng)用．

《大綱》明確要求“會解”含有1個(gè)或2個(gè)絕對值的不等式，“了解”三角形不等式及其應(yīng)用．歷年浙江省和其他省市的數(shù)學(xué)高考中均有所涉及不等式內(nèi)容，教師在復(fù)習(xí)時(shí)也會有所提及，但筆者認(rèn)為系統(tǒng)梳理這類問題的解題方法仍是必要的.筆者通過舉例給出這類問題的常用解題策略，供大家復(fù)習(xí)時(shí)參考．

1 含絕對值的不等式的解法研究

例1 解不等式|x-1|+|x-4|≥5．

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊試題)

分析1 (分類討論法)對形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式，一般均可利用分點(diǎn)a和b，分3種情況進(jìn)行討論(其中a，b，c∈R)．

解法1 當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式可化為

(1-x)+(4-x)≥5，

解得x≤0；

當(dāng)1

(x-1)+(4-x)≥5，

得3≥5，此時(shí)x∈φ；

當(dāng)x>4時(shí)，原不等式可化為

(x-1)+(x-4)≥5，

解得x≥5.

綜上所述，該不等式的解集為(-∞,0]∪[5,+∞)．

分析2 (幾何法)利用不等式|x-a|+|x-b|≥c(其中c>0)的幾何意義：解集是數(shù)軸上到點(diǎn)x1=a和x2=b的距離之和不小于c的集合．因?yàn)?/p>

|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|,

所以當(dāng)c≤|a-b|時(shí)，x∈R；當(dāng)c>|a-b|且a

或

解法2 因?yàn)?/p>

|x-1|+|x-4|≥|(x-1)-(x-4)|=3，

所以由分析2知該不等式的解集為(-∞,0]∪[5,+∞)．

分析3 (圖像法)利用函數(shù)y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的圖像，數(shù)形結(jié)合求解．

圖1

解法3 畫出函數(shù)y1=|x-1|+|x-4|和y2=5的圖像(如圖1所示)，觀察圖像，得不等式的解集為(-∞,0]∪[5,+∞)．

評注 1)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有以上3種解法．

2)形如|x-a|+|x-b|≤c的不等式的解如下：當(dāng)|b-a|>c時(shí)，x∈φ；當(dāng)|b-a|≤c且a

f(x)min=|b-a|．

4)推廣：設(shè)f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|(其中a1≤a2≤…≤an)，若n為奇數(shù)，則

若n為偶數(shù)，則

例2 解不等式2|x-2|-|x+1|>3．

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊試題)

分析1 (分類討論法)與例1類似．

解法1 當(dāng)x>2時(shí)，原不等式可化為

2(x-2)-(x+1)>3，

解得x>8；

當(dāng)-1

2(2-x)-(x+1)>3，

解得x<0，此時(shí)-1

當(dāng)x≤-1時(shí)，原不等式可化為

2(2-x)+(x+1)>3，

解得x<2，此時(shí)x≤-1．

綜上所述，該不等式的解集為(-∞,0)∪(8,+∞)．

分析2 (圖像法)利用函數(shù)y1=k1|x-a|-k2|x-b|和y2=c的圖像(其中k1，k2，a，b，c∈R)，數(shù)形結(jié)合求解．

圖2

解法2 畫出函數(shù)y1=2|x-2|-|x+1|和y2=3的圖像(如圖2所示)，觀察圖像，可知不等式的解集為(-∞,0)∪(8,+∞)．

評注 1)形如|x-a|-|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有2種解法．

圖3 圖4

2 三角形不等式應(yīng)用研究

2.1 在向量解題中的應(yīng)用

當(dāng)a，b是向量時(shí)，三角形不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|仍成立．前一個(gè)等號成立的條件是向量a，b反向或至少有1個(gè)是零向量；后一個(gè)等號成立的條件是向量a，b同向或至少有1個(gè)是零向量．

例3 若非零向量a，b滿足|a+b|=|b|，則

( )

A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|

C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|

(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解 利用三角形不等式，得

|a+2b|=|(a+b)+b|≤|a+b|+|b|=|2b|．

因?yàn)閍，b是非零向量，所以等號不成立.故選C．

例4 已知a，b是單位向量，a·b=0．若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是

( )

(2013年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

||c|-|a+b||≤|c-a-b|=1，

從而

-1≤|c|-|a+b|≤1，

即

故選A．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解 利用三角形不等式，得

|(a+b)·e|= |a·e+b·e|≤

評注 1)向量形式的三角形不等式具有更為清晰的幾何意義：三角形2邊之和大于第3邊，2邊之差小于第3邊.

2)利用三角形不等式解答向量模長取值范圍的問題，簡潔直觀，很好地揭示了命題者的命題思路[1].

3)三角形不等式刻畫了向量空間的“平直”本質(zhì)，是實(shí)現(xiàn)“向量空間代數(shù)化”的重要定理之一．

2.2 在函數(shù)解題中的應(yīng)用

帶有絕對值的函數(shù)最值問題，一般有2種處理方式：一是通過討論去絕對值，化為常見函數(shù)求解；二是利用三角形不等式求解．

例6[2]若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是______．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解 因?yàn)閤2+y2≤1，所以

(3x+4y)2≤(32+42)(x2+y2)≤25，

即

|3x+4y|≤5.

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=|2x+y-2|+|6-x-3y|，則

f(x,y)≥ |(2x+y-2)-(6-x-3y)|=

|3x+4y-8|≥8-|3x+4y|≥3,

例7 已知實(shí)數(shù)a，b，c,則

( )

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2<100

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解 由三角形不等式，得

|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,

從而

于是

即

同理可得

再利用三角形不等式，得

|2c+a2-a-b2+b|≤

|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,

即

|c|<3，

進(jìn)而

故選D．

2)例7用三角形不等式估計(jì)的上界改進(jìn)了答案給出的上界，筆者認(rèn)為命題者給出的上界“100”既滿足了考試的選拔要求，又比較人性化．

例8 已知f(x)=ax2+bx+c，g(x)=cx2+bx+a，對任意x∈[-1,1]，都有|f(x)|≤1，設(shè)h(x)=|f(x)|·|g(x)|，證明：h(x)≤2．

證明 由題意，知

f(1)=a+b+c，f(0)=c，f(-1)=a-b+c，

且 |f(1)|≤1， |f(0)|≤1， |f(-1)|≤1,

解得

從而

于是

h(x)=|f(x)|·|g(x)|≤2,

其中f(x)=2x2-1滿足條件．

例9 已知a>0，b∈R，函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b(其中x∈[0,1])，證明：|f(x)|≤|2a-b|+a．

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題改編)

引理1 若0≤x≤1，則

|2x3-3x+1|+|2x3-x|≤1.

引理1的證明 根據(jù)平凡恒等式|a|+|b|=max{|a+b|，|a-b|}，知

|2x3-3x+1|+ |2x3-x|=

max{|4x3-4x+1|，|1-2x|}．

當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|1-2x|≤1顯然成立.因?yàn)?x3-4x+1≤1?x(x2-1)≤0，所以4x3-4x+1≤1顯然成立.又因?yàn)?x3-4x+1≥-1?x(2-2x)(1+x)≤1，根據(jù)三元均值不等式，得

所以4x3-4x+1≥-1也成立．

綜上所述，|2x3-3x+1|+|2x3-x|≤1．

例9的證明 因?yàn)閒(0)=-a+b，f(1)=3a-b，所以

又f(0)+f(1)=2a>0，從而

max{|f(0)|，|f(1)|}=max{f(0)，f(1)},

于是|f(x)|= |(2x3-3x+1)·f(0)+(2x3-x)·f(1)|≤|2x3-3x+1|·|f(0)|+|(2x3-x)|·|f(1)|≤max{|f(0)|，|f(1)|}·(|2x3-3x+1|+|2x3-x|)≤max{|f(0)|，|f(1)|}=max{f(0)，f(1)}=

評注 這里使用了平凡恒等式：若a，b是實(shí)數(shù)，則

例10 函數(shù)f(x)=4x3+ax2+bx+c滿足：當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1，求實(shí)數(shù)a，b，c的值．

(2012年天津市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題)

|4+a+b+c|≤1,

(1)

|-4+a-b+c|≤1,

(2)

(3)

(4)

由式(1)和式(2)得

|8+2b|= |(4+a+b+c)-(-4+a-b+c)|≤

|4+a+b+c|+|-4+a-b+c|≤2，

從而 |4+b|≤1.

(5)

從而 |1+b|≤2.

(6)

由式(5)和式(6)解得b=-3．此時(shí)，由式(1)和式(2)得a+c=0，由式(3)和式(4)得

解得a=c=0,故

f(x)=4x3-3x，

易證該函數(shù)滿足條件．

評注 1)在例8和例9中，利用函數(shù)值的有界性，用函數(shù)值表達(dá)系數(shù)，代換后用三角形不等式放縮，獲得函數(shù)值的界，是一種簡單有效的方法，初學(xué)者容易掌握．例9的解答則是完全初等的，改編后的試題渾然一體．

2)例10的解法非常巧妙，通過對函數(shù)賦值，獲得部分系數(shù)組合的取值范圍，利用問題成立的必要性，縮小范圍，然后再驗(yàn)證其充分性．這種解法簡潔靈巧，但需要解題者有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)洞察力(直覺)，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好題．

2.3 在不等式證明中的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)中，利用三角形不等式進(jìn)行放縮是常見的也是基本的方法.

(2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

證明 因?yàn)?|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤ |2(x-1)|+|(y-2)|<

所以

|2x+y-4|

待證不等式成立.

當(dāng)k=2時(shí)，

待證不等式成立.

例13 設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù)，且滿足條件：1)f(-1)=f(1)=f(0)；2)對任意的u，v∈[-1,1]，都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|，證明：|f(u)-f(v)|≤1．

(2003年北京市數(shù)學(xué)高考試題改編)

證明 因?yàn)閡，v∈[-1,1]，當(dāng)|u-v|≤1時(shí)，

|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1；

當(dāng)|u-v|>1時(shí)，則uv<0．不妨設(shè)u<0，v>0，則v-u>1，因?yàn)閒(-1)=f(1)=f(0)，所以

|f(u)-f(v)|= |f(u)-f(-1)-f(v)+f(1)|≤

|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤

|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=

2-(v-u)<1．

綜上可知，對任意的u，v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1．

評注 1)證明條件為絕對值不等式，結(jié)論為含有絕對值的不等式的最佳“武器”是三角形不等式.

2)例10和例11的放縮方法在高等數(shù)學(xué)中很常見，在中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接處命題，彰顯命題者的立意，例12中插入2個(gè)等值點(diǎn)f(-1)和f(1)的做法在高等數(shù)學(xué)中也是常見的技巧.

3)由此可見，命題者常常用自己熟悉的內(nèi)容為切入點(diǎn)進(jìn)行命題．

2.4 在數(shù)列中的應(yīng)用

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題改編)

證明 由三角形不等式，得

從而

整理即得

|an|≥2n-1(|a1|-2)．

3 相關(guān)應(yīng)用

三角形不等式和解絕對值不等式綜合應(yīng)用，含有2個(gè)絕對值的函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，也常見于某些大型的考試中，這方面的問題在復(fù)習(xí)中也值得重視．

例15 不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2，對任意x∈R恒成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合為

( )

(2016年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生試題)

解 設(shè)f(x)=|2x-a|+|3x-2a|≤

例16 若f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)的圖像是中心對稱圖形，則a=______．

(2014年浙江省嘉興市數(shù)學(xué)一?？荚囋囶})

要使函數(shù)f(x)的圖像是中心對稱圖像，則經(jīng)過適當(dāng)平移后，函數(shù)f(x+t)為奇函數(shù)即可，因此只需要函數(shù)g(x+t)=|x+t-a|+|x+t-4|為偶函數(shù)，函數(shù)h(x+t)=(x+t+a)為奇函數(shù)，從而

解得

評注 1)任何圖像成中心對稱的函數(shù)總能通過平移，使得函數(shù)變?yōu)槠婧瘮?shù).

2)任何圖像成軸對稱的函數(shù)總能通過平移，使得函數(shù)變?yōu)榕己瘮?shù)．

2017年數(shù)學(xué)高考文理科合卷，復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)必須把握好教學(xué)的難易，需要落實(shí)基本概念，強(qiáng)化基本運(yùn)算，需要落實(shí)數(shù)學(xué)基本方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀．“學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”．

[1] 王紅權(quán)．一類與向量模長有關(guān)試題的簡潔解法[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2015(3)：35-38．

[2] 數(shù)學(xué)高考研究組．浙江高考數(shù)學(xué)2004一路走來[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2016．

[3] 王紅權(quán)．最值互嵌問題的解題策略[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(6)：12-15．

?2016-08-14；

2016-09-20

王紅權(quán)(1970-)，男，浙江杭州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)12-29-06