嚴(yán)格半正張量特征值互補(bǔ)問題的Pareto-譜估計(jì)

凌莉蕓，凌 晨

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

?

嚴(yán)格半正張量特征值互補(bǔ)問題的Pareto-譜估計(jì)

凌莉蕓，凌 晨

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

針對(duì)一類嚴(yán)格半正張量特征值互補(bǔ)問題，研究了其Pareto-特征值的符號(hào)特征.在此基礎(chǔ)上，利用嚴(yán)格半正張量的常量定義和算子定義，得到了嚴(yán)格半正張量特征值互補(bǔ)問題的Pareto-特征值的上下界估計(jì).

張量；嚴(yán)格半正張量；Pareto-特征值；Pareto-譜

0 引 言

張量特征值互補(bǔ)問題[1]是矩陣特征值互補(bǔ)問題[2-3]和張量特征值問題[4-5]的自然推廣，它與矩陣特征值互補(bǔ)問題類似，在許多工程領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1].但與矩陣特征值互補(bǔ)和張量特征值問題比較,張量特征值互補(bǔ)問題的計(jì)算更難[6].例如，求最大Pareto-特征值是NP-難問題，因此需要進(jìn)行相關(guān)估計(jì).本文研究了嚴(yán)格半正張量特征值互補(bǔ)問題的Pareto-譜估計(jì).結(jié)合算子范數(shù)的性質(zhì)，刻畫嚴(yán)格半正張量特征值互補(bǔ)問題的Pareto-特征值的符號(hào)特征和上下界估計(jì)，對(duì)進(jìn)一步研究結(jié)構(gòu)性張量特征值互補(bǔ)問題具有重要的理論意義.

1 問題描述及相關(guān)預(yù)備知識(shí)

本文考慮張量特征值互補(bǔ)問題,即求λ∈R和x∈Rn{0},使得：

(1)

下面首先給出有關(guān)定義和引理.

引理1[9]設(shè)A∈Tm,n.則A是嚴(yán)格半正張量，當(dāng)且僅當(dāng)β(A)>0.

命題1 設(shè)A∈Tm,n.若A為嚴(yán)格協(xié)正，則A必為嚴(yán)格半正.

下面的例子表明，嚴(yán)格半正張量未必是嚴(yán)格協(xié)正張量.

針對(duì)給定的A∈Tm,n，現(xiàn)在定義連續(xù)正齊次算子TA∶Rn→Rn如下：

特別地，若m是偶數(shù)，還可定義另一連續(xù)正齊次算子FA∶Rn→Rn：

(2)

引理2[10]設(shè)A∈Tm,n,則有：

引理3[10]設(shè)A∈Tm,n,且A≥0(即A中任一元均非負(fù))，則有：

2 主要結(jié)果

在文獻(xiàn)[1]中所需條件更弱的假設(shè)下，考慮式(1)的Pareto-譜估計(jì).首先，討論A為嚴(yán)格半正且B=-I情形時(shí)A的Pareto-特征值符號(hào).

命題2 設(shè)A,B∈Tm,n.若A為嚴(yán)格半正且B=-I，則(A,-I)的任一Pareto-特征值均是正的.

(3)

下面的定理進(jìn)一步刻畫A的Pareto-譜的上下界.

定理1 設(shè)A,B∈Tm,n.若A為嚴(yán)格半正且B=-I，則：

(4)

(5)

(6)

由引理2和定理1，得到下面的結(jié)論.

推論1 設(shè)A,B∈Tm,n.若A為嚴(yán)格半正，且B=-I，則：

下面討論A為嚴(yán)格半正且B≥0情形時(shí)(A,B)的Pareto-特征值符號(hào)和上下界.

命題3 設(shè)A,B∈Tm,n.若A為嚴(yán)格半正且B≥0，則(A,B)的任一Pareto-特征值均是負(fù)的.

(7)

下面的定理進(jìn)一步刻畫(A,B)的Pareto-特征值的上下界.

(8)

(9)

(10)

由上式和式(10)知，定理2的結(jié)論1中第一個(gè)不等式成立.

(11)

進(jìn)一步，由于

由上式和式(11)知，定理2的結(jié)論1中第二個(gè)不等式成立.從而定理2的結(jié)論1成立.

由命題3和定理2，可以得到下述推論.

推論2 設(shè)A,B∈Tm,n為嚴(yán)格半正，且B≥0,則：

由引理2、引理3和推論2，進(jìn)一步得到：

推論3 設(shè)A,B∈Tm,n為嚴(yán)格半正，且B≥0,則：

3 結(jié)束語

本文首先針對(duì)嚴(yán)格半正張量特征值互補(bǔ)問題，分別在B為負(fù)單位張量和非負(fù)嚴(yán)格半正張量的條件下，討論了(A,B)的Pareto-特征值的符號(hào)特征.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到了(A,B)的Pareto-特征值的上下界估計(jì).這些結(jié)果為今后研究一般的(B無限制條件)嚴(yán)格半正張量特征值互補(bǔ)問題的Pareto-特征值的估計(jì)提供了新途徑.

[1]LING C, HE H, QI L. On the cone eigenvalue complementarity problem for higher-order tensors[J]. Computational Optimization and Applications, 2016, 63(1): 143-168.

[4]QI L. Eigenvalues of a real supersymmetric tensor[J]. Journal of Symbolic Computation, 2005, 40(6): 1302-1324.

[5]LIM L H. Singular values and eigenvalues of tensors: a variational approach[C]// Proceedings of the 1st IEEE International Workshop on Computational Advances in Multi-Sensor Adaptive Processing,2005,1:129-132.

[6]HILLAR C J, LIM L H. Most tensor problems are NP-hard[J]. Journal of the ACM (JACM), 2013, 60(6): 45.

[7]SONG Y, QI L. Properties of tensor complementarity problem and some classes of structured tensors[J/OL]. Eprint Arxiv,2014, [2016-03-23]. http://arxiv.org/abs/1412.0113.

[8]QI L Q．Symmetric nonnegative tensors and copositive tensors[J]．Linear Algebra and its Applications, 2013, 439 (1):228-238.

[9]SONG Y, QI L. On strictly semi-positive tensors[J/OL]. Eprint Arxiv,2015, [2016-03-23]. http://arxiv.org/abs/1509.01327.

[10]SONG Y, QI L. Spectral properties of positively homogeneous operators induced by higher order tensors[J]. Siam Journal on Matrix Analysis and Applications,2013, 34(4): 1581-1595.

Pareto-spectrum Estimations of Eigenvalue Complementarity Problem with Strictly Semi-positive Tensors

LING Liyun, LING Chen

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

For a class of eigenvalue complementarity problem with strictly semi-positive tensors, we study the symbolic features of Pareto-eigenvalue. On this based, we obtain the upper and lower bounds of Pareto-eigenvalue for eigenvalue complementarity problem with strictly semi-positive tensors by using the constant definition and operator definition of strictly semi-positive tensors.

tensor; strictly semi-positive tensor; Pareto-eigenvalue; Pareto-spectrum

10.13954/j.cnki.hdu.2016.06.017

2016-04-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571087)

凌莉蕓(1991-)，女，河南洛陽人，碩士研究生，非線性優(yōu)化.通信作者：凌晨教授，E-mail: macling@hdu.edu.cn.

O221.2

A

1001-9146(2016)06-0081-05