馬海英，宣士斌，b，c，向順靈

(廣西民族大學(xué) a.信息科學(xué)與工程學(xué)院；b.廣西混雜計(jì)算與集成電路設(shè)計(jì)分析重建實(shí)驗(yàn)室；c.中國-東盟研究中心，廣西 南寧 530006)

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低秩矩陣在CT圖像重建中的應(yīng)用*

馬海英a，宣士斌a，b，c，向順靈a

(廣西民族大學(xué) a.信息科學(xué)與工程學(xué)院；b.廣西混雜計(jì)算與集成電路設(shè)計(jì)分析重建實(shí)驗(yàn)室；c.中國-東盟研究中心，廣西 南寧 530006)

CT圖像重建是醫(yī)學(xué)影像學(xué)的重要研究課題，但由于噪聲對(duì)醫(yī)學(xué) CT 圖像的影響比較大，為了在不犧牲圖像精度和空間分辨率的情況下，重建出噪聲含量最低的圖像，就要選擇合適的去噪方法對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理.針對(duì)于此，筆者提出一種新的CT圖像重建算法，重建過程分成兩個(gè)步驟：首先用低秩矩陣加權(quán)核范數(shù)最小化(WNNM)進(jìn)行圖像去噪，再用低秩矩陣分解(LRMD)更新CT圖像.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的方法具有較強(qiáng)的細(xì)節(jié)保持能力，低秩矩陣的特性簡(jiǎn)化計(jì)算過程，降低算法復(fù)雜度，同時(shí)保證了重建圖像的去噪效果.

低秩矩陣；核范數(shù)；CT圖像重建

0 引 言

近年來，CT圖像重建的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法發(fā)展迅速，這是由于CT掃描時(shí)需要低劑量的X射線輻射的同時(shí)要保留高質(zhì)量的重建圖像.然而，統(tǒng)計(jì)學(xué)方法計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)的特點(diǎn)限制了它的實(shí)際應(yīng)用，為了加速統(tǒng)計(jì)方法，許多優(yōu)化技術(shù)被提出，這些算法包括：迭代閾值法(Iterative shrinkage/thresholding algorithm,IST)[1]、兩步迭代閾值法(Two step iterative shrinkage/thresholding algorithm,TwIST)[2]、快速迭代閾值法(Fast Iterative shrinkage/thresholding algorithm,FISTA)[3]；分裂 Bregman 方法(Split Bregman algorithm)[4]、Bregman 算子分裂方法(Bregmanized operator splitting，BOS)[5]；低秩矩陣恢復(fù)(low-rank matrix recovery，LRMR)技術(shù)[6]；Tao[7]等在交替最小化方法的基礎(chǔ)上提出了交替方向乘子法(Alternating direction method of multipliers,ADMM)[8]；低秩矩陣分解(low-rank matrix decomposition，LRMD)技術(shù)是近幾年迅速發(fā)展起來的一種高維數(shù)據(jù)分析工具，并在協(xié)同過濾(collaborative filtering)、控制(control)、遙感(remote sensing)、量子態(tài)層析成像(quantum state tomography)、機(jī)器學(xué)習(xí)和計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.近似低秩矩陣，旨在從它的退化視圖中恢復(fù)潛在低秩矩陣，它在計(jì)算機(jī)視覺和機(jī)器學(xué)習(xí)中有較大應(yīng)用.例如，通過人臉面部圖像形成矩陣的低秩特性允許我們重建損壞的臉部[9].網(wǎng)飛公司客戶數(shù)據(jù)矩陣就被認(rèn)為是一種低秩矩陣，因?yàn)榭蛻舻倪x擇大部分受一些常規(guī)因素的影響[10].通過靜態(tài)相機(jī)捕獲的視頻片段有一個(gè)清晰的低秩特性，基于背景建模和前景抽取[11]可以被統(tǒng)計(jì)出來.在自然圖像中通過非局部相似塊形成矩陣也是低秩特性.由于凸凹優(yōu)化技術(shù)的迅速發(fā)展，近年來在近似低秩矩陣中有一系列的研究，同時(shí)提出許多重要模型和算法.

目前低秩矩陣技術(shù)主要包含矩陣填充(matrix completion,MC)[12]、魯棒主成分分析(robust principle component analysis,RPCA)[13]和低秩表示(low-mnk representation,LRR)[14]三個(gè)方面的內(nèi)容.該技術(shù)的理論基礎(chǔ)是矩陣的仿射秩最小化理論，即在給定線性方程組約束下，以矩陣的秩作為測(cè)度對(duì)目標(biāo)矩陣進(jìn)行分析和處理.然而，秩最小化問題在理論上是NP難(Non-deterministic Polynomial Hard,NP Hard)的.類似于壓縮感知(compressive sensing,CS)中用l1范數(shù)代替l0范數(shù)[15]，在拓展了約束等距性(restricted isometry property，RIP)條件后，核范數(shù)(矩陣的所有奇異值的和)被用來代替秩函數(shù)作為原優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)[16].事實(shí)上，壓縮感知與秩最小化是密切相關(guān)的.當(dāng)矩陣為對(duì)角矩陣時(shí)，秩最小化問題就是退化為在矩陣的子空間中找一個(gè)最稀疏向量的問題.此時(shí)，矩陣的奇異值的和就等同于矩陣的對(duì)角元的絕對(duì)值之和，即求解核范數(shù)最小化問題與l1范數(shù)最小化問題是等價(jià)的.

由于低秩矩陣分解的凸松弛問題，核范數(shù)最小化成為近年來研究的重點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)最小正則化(NNM)[17]每一個(gè)奇異值等同于追求目標(biāo)函數(shù)的凸性問題.然而，這也使其在處理許多實(shí)際問題中(如，圖像去噪、圖像恢復(fù))很大程度上限制了它的性能和靈活性，因?yàn)橛行┢娈愔涤忻黠@的物理意義，應(yīng)該區(qū)別對(duì)待.文中，我們研究了加權(quán)核范數(shù)最小化(WNNM)問題，此處的奇異值被分配了不同的權(quán)重，然后利用圖像非局部自相似性將提出的WNNM算法進(jìn)行圖像去噪，實(shí)驗(yàn)證明提出的WNNM算法在圖像定量測(cè)量和視覺感知質(zhì)量方面明顯高于許多先進(jìn)的去噪算法(如BM3D).

文中，我們提出了基于低秩矩陣加權(quán)核范數(shù)最小化的去噪模型，并將該模型應(yīng)用于CT圖像去噪，同時(shí)將基于低秩矩陣分解應(yīng)用于CT重建，在重建模型中利用前面提出的圖像去噪模型進(jìn)行圖像去噪，建立CT數(shù)據(jù)重建數(shù)學(xué)模型，利用傅里葉變換和低秩矩陣的特性簡(jiǎn)化計(jì)算過程，降低算法復(fù)雜度.實(shí)驗(yàn)表明本文提出的方法具有較好的去噪效果，且為CT重建中的圖像去噪步驟提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)具有較強(qiáng)的細(xì)節(jié)保持能力.

1 相關(guān)工作

(1)

我們所要求解的去噪后的圖像為px.其中，p代表對(duì)動(dòng)態(tài)圖像投影，‖·‖F(xiàn)為F范數(shù)，‖·‖1為l1范數(shù).

1.1 加權(quán)核范數(shù)進(jìn)行圖像去噪

核范數(shù)最小化(NNM)是一個(gè)凸性最優(yōu)問題.由于許多低秩矩陣能通過NNM方法得到很好的恢復(fù)并能高效的解決，因此核范數(shù)最小化廣泛應(yīng)用于低秩矩陣最優(yōu)化問題中，它能通過F范數(shù)測(cè)量觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣Y和潛在數(shù)據(jù)矩陣X的區(qū)別，通過奇異值的軟閾值法得到一個(gè)分析解.由于相同的軟閾值將會(huì)應(yīng)用到所有奇異值中，NNM方法顯然不太合理，因?yàn)椴煌钠娈愔悼赡苡胁煌膬r(jià)值，因此他們需要區(qū)別對(duì)待.為達(dá)到這個(gè)目的，我們使用加權(quán)核范數(shù)來正則化X.下式為加權(quán)核范數(shù)最小化式化：

(2)

(3)

顯然，現(xiàn)在的關(guān)鍵問題是權(quán)重向量w的確定.對(duì)于自然圖像，我們有普遍的先驗(yàn)知識(shí)，即pXj的較大奇異值比較小的更重要，因?yàn)樗麄兇鞽j主要部分的能量.去噪應(yīng)用中，奇異值越大，他就應(yīng)該縮減得越小.因此，權(quán)重分配給σi(Xj)，Xj的第i個(gè)奇異值應(yīng)該和σi(Xj)成反比，我們讓：

(4)

c>0是常數(shù)，n是Yj中相似塊的數(shù)目，ε=10-16是防止除數(shù)為0.

假定噪聲能量跨越基底U和V的每個(gè)子空間是均勻分布的，然后最初σi(Xj)估計(jì)可以寫成如下：

(5)

σi(Yj)表示Yj第i個(gè)奇異值.通過將以上的程序應(yīng)用到每個(gè)塊中然后聚集所有的塊，就能重建圖像x.實(shí)際操作中，我們可以多次運(yùn)行以上程序以提高去噪質(zhì)量.整體的去噪算法在算法1中總結(jié)出來：

算法1：基于WNNM的圖像去噪

輸入：噪聲圖像y

2)for k=1:K do

4)for y(k)中的每個(gè)塊yjdo

5)找到相似塊組Yj

6)評(píng)估權(quán)重向量w

7)奇異值分解 [U,∑，V]=SVD(Yj)

9)結(jié)束

11)結(jié)束

2 低秩矩陣分解更新CT圖像

在重建模型中利用前面提出的圖像去噪模型進(jìn)行圖像去噪，建立CT數(shù)據(jù)重建數(shù)學(xué)模型，然后利用低秩矩陣分解的特性將得到的清晰圖像運(yùn)用到錐束CT成像(CBCT)[19]圖像重建中.

Cai等人[19]將時(shí)間作為一個(gè)維度，利用序列CBCT圖像中潛在的周期性或重復(fù)性等時(shí)間上的相關(guān)性建模并求解.首先將應(yīng)用于所有不同投影時(shí)刻的圖像xi以向量的形式按列依次排成一個(gè)矩陣X.矩陣的每一列代表一幅待重建的CBCT圖像，矩陣的列數(shù)即為投影的次數(shù).該算法的核心思想是矩陣X的秩遠(yuǎn)小于投影的次數(shù)，因此對(duì)其進(jìn)行矩陣的乘法分解X=LR.X中的圖像性質(zhì)分別體現(xiàn)在矩陣L的稀疏性和矩陣R的近似周期性上.首先，矩陣L的列是對(duì)矩陣R的秩的約束，無形中對(duì)CBCT中所有圖像加了一個(gè)時(shí)間相容性條件.事實(shí)上，矩陣L的每一列都是一幅CBCT圖像，因此L是可被用于表示矩陣X中的所有圖像的一組基.其次，矩陣R的行是矩陣X在基L下的系數(shù)，具有一定的周期性或重復(fù)性.

可以將CBCT重建看成一個(gè)如下最優(yōu)化問題：

s.t.‖p(LR)-Y‖≤σ2

(6)

其中，p代表對(duì)動(dòng)態(tài)圖像投影，Y為投影數(shù)據(jù)，σ為誤差控制項(xiàng).考慮到L和R分別具有稀疏性和潛在的周期性等先驗(yàn)信息，分別采用了在小波緊框架[21]下的稀疏算法d和傅里葉變換f.‖·‖為l1范數(shù)，λ為平衡參數(shù).

2.1 算法

首先，Cai使用split Bregman[22]方法來解決這個(gè)優(yōu)化問題，首先引入兩個(gè)輔助變量C和D，那么等式(6)就等價(jià)于下式：

s.t.p(LR)=F,C=dL,D=fR

(7)

增廣拉格朗日式即：

(8)

此處<·,·>表示內(nèi)積，Z,Z1和Z2表示拉格朗日乘子.合理的固定Z，Z1，Z2，再通過最小化E(C,D,L，R,Z,Z1,Z2)就能找到最優(yōu)的C，D，L，R.因此，關(guān)鍵是確定Z，Z1，Z2.在增廣拉格朗日算法中，我們使用下式進(jìn)行交替極小化算法：

(9)

這4個(gè)子問題通過軟閾值法和線性方程求解器(如共軛梯度法)求解.這個(gè)算法總結(jié)到如下算法中，Γ是軟閾值運(yùn)算符，定義為[Γ(A)]ij=sign([A]ij)·max{‖A‖ij-,0}.

1)通過如下最小化迭代.

返回.

3)Z(k+1)=Z(k)+(p(L(k+1)R(k+1))-F)

6)k=k+1，返回第1步.

3 圖像質(zhì)量客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了對(duì)圖像去噪效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，采用峰值信噪比(PSNR)進(jìn)行客觀評(píng)價(jià).令大小為M×N的原圖和有噪聲圖像分別為x和y，PSNR值計(jì)算公式如下：

(10)

其中x(i,j)和y(i,j)分別表示圖像x和y在位置(i,j)處的幅值.PSNR的值越高表示圖像和原圖越相似，去噪效果越好.

為了對(duì)重建圖像效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，本文采用均方根誤差(RMSD)進(jìn)行評(píng)價(jià).

(11)

RMSD值越小表示圖像和原圖越接近，重建效果越好.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

程序仿真基于VirtualBox centos 6.6-32bit 系統(tǒng)下的Matlab編程環(huán)境，在CPU為AMD Athlon2.99 GHz П X2 B24 處理器下，內(nèi)存為1.75 GB的PC機(jī)上運(yùn)行.視頻的分辨率均為480×320.

為了驗(yàn)證文中所提基于低秩矩陣加權(quán)核范數(shù)最小化的圖像去噪算法的有效性，對(duì)CT圖像進(jìn)行了仿真測(cè)試，并采用峰值信噪比PSNR (Peak Signal Noise Ration)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)作為評(píng)價(jià)圖像去噪的標(biāo)準(zhǔn).

圖1 CT圖像在WNNM下的去噪效果

為了驗(yàn)證加權(quán)核范數(shù)最小化(WNNM)去噪效果的優(yōu)越性，本文對(duì)比算法是NNM和BM3D，所用評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為PSNR.從表1可以看出，對(duì)于CT圖像的去噪結(jié)果，本文所提算法PSNR值比NNM和BM3D (精確已知噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的情況)高，因此本文所提去噪算法的去噪結(jié)果會(huì)比NNM、BM3D好.

為了驗(yàn)證本文提出算法(LRMD-WNNM)的可行性，由于每一個(gè)錐束CT(CBCT)圖像的重建都是基于相應(yīng)的瞬時(shí)投影.該算法首先進(jìn)行去噪預(yù)處理，然后有效地利用潛在的周期性或重復(fù)性等時(shí)間上的相關(guān)性建模并求解，如圖2所示，容易發(fā)現(xiàn)本文算法能捕獲解剖圖的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并恢復(fù)得其結(jié)構(gòu)，同時(shí)能重構(gòu)出高分辨率的CT圖像.

表1 不同方法的去噪效果(PSNR)

圖2 提出算法(LRMD-WNNM)對(duì)NCAT體模的重建過程效果圖

為了驗(yàn)證本文提出的算法(LRMD-WNNM)相對(duì)于Cai提出的簡(jiǎn)單的LRMD方法更具優(yōu)越性，分別將這兩種方法進(jìn)行CT重建，由圖3可知，提出的算法(LRMD-WNNM)更能有效地去除偽影，具有較好的去噪能力，重建效果更清晰.這主要是由于CT圖像在低秩矩陣分解之前進(jìn)行去噪預(yù)處理，因此重建的圖像更接近原始圖像.

圖3 原始圖像、簡(jiǎn)單的低秩矩陣分解(LRMD)和提出的算法(LRMD-WNNM)對(duì)NCAT體模的重建效果比較

為了驗(yàn)證提出算法的優(yōu)越性，實(shí)驗(yàn)將三種算法在相同條件下進(jìn)行的CT圖像重建效果比較.圖4將濾波反投影法(FBP)、可分二次迭代(SQS)和提出的算法(LRMD-WNNM)進(jìn)行CT圖像重建效果的比較，圖5將這三種方法在前10次迭代的RMSD進(jìn)行了比較.由圖可知LRMD-WNNM算法的重建效果優(yōu)于FBP、SQS算法，這主要是因?yàn)長(zhǎng)RMD-WNNM算法相對(duì)于SQS算法具有更好的穩(wěn)定性且預(yù)先進(jìn)行了更好地去噪處理，這就使得提出的算法在更新圖像的過程中降低了圖像偽影，低秩矩陣的特性簡(jiǎn)化計(jì)算過程，降低算法復(fù)雜度，提高了算法的收斂速率，同時(shí)也降低了RMSD值，具有更優(yōu)越的重建精度.

圖4 濾波反投影法(FBP)、可分二次代理(SQS)與提出的算法(LRMD-WNNM)對(duì)NCAT體模的重建效果比較

迭代次數(shù)

5 結(jié)語

本文提出了基于低秩矩陣加權(quán)核范數(shù)最小化的去噪模型，并將該模型應(yīng)用于CT圖像去噪，同時(shí)將基于低秩矩陣分解應(yīng)用于CT重建，在重建模型中利用前面提出的圖像去噪模型進(jìn)行圖像去噪，建立CT數(shù)據(jù)重建數(shù)學(xué)模型，利用傅里葉變換和低秩矩陣的特性簡(jiǎn)化計(jì)算過程，降低算法復(fù)雜度.實(shí)驗(yàn)表明本文提出的方法具有較好的去噪效果，且為CT重建中的圖像去噪步驟提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)具有較強(qiáng)的細(xì)節(jié)保持能力.

盡管這種可行性實(shí)驗(yàn)取得了成功，但是對(duì)于CBCT的臨床應(yīng)用仍然存在一些實(shí)際問題.首先，當(dāng)把CB幾何模型建模成一個(gè)立體CBCT圖像時(shí)，由于涉及極大的數(shù)據(jù)就會(huì)帶來一些潛在問題，計(jì)算效率也會(huì)降低.這些問題能通過一些更有力的計(jì)算平臺(tái)(如計(jì)算GPU)得到一定緩解.降低圖像質(zhì)量的另一問題是呼吸模型的奇異性.這種方法在CBCT圖像中有效地利用時(shí)間相關(guān)的周期性，然而它在患者不規(guī)則呼吸運(yùn)動(dòng)情況下(如咳嗽)時(shí)將有所下降，將來可以對(duì)那些不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的情形在仿真數(shù)據(jù)中進(jìn)行更深遠(yuǎn)的研究.

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[責(zé)任編輯 蘇 琴]

[責(zé)任校對(duì) 黃招揚(yáng)]

Low-Rank Matrix Technology for CT Image Reconstruction

MA Hai-yinga,XUAN Shi-bina,b,c,XIANG Shun-linga

(a.CollegeofInformationScienceandEngineering;b.GuangxiKeyLaboratoryofHybridComputationandICDesignAnalysis;c.TheChina-ASEANStudyCenterofGuangxiUniversityforNationalities,GuangxiUniversityforNationalities,Nanning530006,China)

Computed tomography (CT)image reconstruction is an important research subject in field of medical imaging.But as the heavily influence of the noise in medical CT image,We must choose appropriate denoising method for image preproce-ssing to get the lowest noise images,while without sacrificing image precision and spatial resolution.To this problem,this paper proposes a new CT image reconstruction algorithm,the reconstruction process has two steps:first,the low rank weighted nuclear matrix norm minimization(WNNM)which is applied to image denoising.Then a low-rank decomposition of matrix which is used to update CT images.Experimental results show that the proposed method has strong ability to keep the details of the CT images,the characteristics of low-rank matrix to simplify the calculation process,reduce the complexity of the algorithm,and the denoising method has good denoising effect.

low-rank matrix; nuclear norm; CT image reconstruction

2016-04-08.

馬海英(1990-)，女，湖南湘潭人，廣西民族大學(xué)在讀碩士，研究方向：圖像處理與模式識(shí)別；宣士斌(1964-)，男，安徽無為人，博士，廣西民族大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：圖像處理與模式識(shí)別.

TP391.4

A

1673-8462(2016)03-0086-07