王昊淵

降低解析幾何運(yùn)算量的幾種技巧

王昊淵

解析幾何題的運(yùn)算式子復(fù)雜，運(yùn)算量大，往往成為學(xué)生失分的重要因素。在學(xué)習(xí)過程中，筆者認(rèn)為要解決失分問題，就必須使運(yùn)算的式子簡(jiǎn)便，降低運(yùn)算量。由此，總結(jié)了解決這個(gè)問題的幾種技巧。

一、善于設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題中常用的方式。設(shè)得好，設(shè)得巧，可以使運(yùn)算式子簡(jiǎn)便，降低運(yùn)算量。

（1）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

因此，x1+x2=4k，x1x2=-4a。

假設(shè)存在點(diǎn)P（0，b），使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN，則由角平分線定理，得

當(dāng)b=a時(shí)，唯有k=0時(shí)成立，故舍去。所以b=-a，故y軸上存在點(diǎn)P（0，-a），使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN。

二、巧用平面幾何定理

平面幾何中涉及的線、角、面積的大小關(guān)系都可以用幾何等式來表達(dá)，沒有代數(shù)運(yùn)算的繁雜。利用平面幾何知識(shí)找出題中的平行、垂直、全等、相似關(guān)系，可以縮短思考的過程，然后用坐標(biāo)表示，也能達(dá)到減少運(yùn)算量的目的。因此，將平面幾何中的一些定理用到解析幾何中，是減少解析幾何運(yùn)算量常用的技巧。

（1）求△OAB面積的最小值；

（2）過點(diǎn)O作AB的垂線，垂足是P，求點(diǎn)P的軌跡方程。

因此，cos2β=sin2α，sin2β=cos2α。

顯然，當(dāng)sin2α=0，α=0°時(shí)，有最小值

（2）先證一個(gè)結(jié)論。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則

故點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=。

三、妙用圓錐曲線的幾何性質(zhì)

圓錐曲線的定義（兩種）、焦半徑、離心率、準(zhǔn)線以及a，b，c等有十分明確的幾何意義，如果能夠恰當(dāng)?shù)貙缀我饬x應(yīng)用到解題中，可以簡(jiǎn)化許多復(fù)雜的運(yùn)算，還容易找到解題思路。

設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)∠AFPi=α（ii=1，2，3）。不失一般性，設(shè)，且設(shè)點(diǎn)P（ii=1，2，3）在l上的射影為Q（ii=1，2，3）。

減少解析幾何運(yùn)算量的方法還有一些，如整體代換、坐標(biāo)變換、運(yùn)用參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程等。解題時(shí)，要仔細(xì)分析條件與待求（證）式子的特點(diǎn)，選擇合適的方法，才能達(dá)到事半功倍的效果。

（作者單位：湖南師范大學(xué)附中梅溪湖中學(xué)）