王耀冬, 俞衛(wèi)博, 宣兆龍, 姚 愷, 李天鵬

(軍械工程學(xué)院,河北 石家莊 050003)

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加速壽命試驗(yàn)失效時(shí)間的估算方法研究

王耀冬, 俞衛(wèi)博, 宣兆龍, 姚 愷, 李天鵬

(軍械工程學(xué)院,河北 石家莊 050003)

在加速壽命試驗(yàn)失效時(shí)間估算的原有方法基礎(chǔ)上,從概念對(duì)稱角度出發(fā),提出了區(qū)間中位分布估計(jì)法和指數(shù)均勻分布估計(jì)法。通過(guò)理論計(jì)算分析和蒙特卡洛模擬分析兩方面,對(duì)比和檢驗(yàn)了每種估算方法的特點(diǎn)和準(zhǔn)確性。結(jié)果表明,提出的方法較原方法在特定條件下具有一定的優(yōu)越性,當(dāng)產(chǎn)品的失效率為遞增型時(shí)采用指數(shù)均勻分布估計(jì)法、遞減型采用對(duì)數(shù)均勻分布估計(jì)法或是變化未知時(shí)使用等間隔分布估計(jì)法和區(qū)間中位分布估計(jì)法,所得的失效時(shí)間估計(jì)精度較高。因此,在對(duì)加速壽命試驗(yàn)失效時(shí)間進(jìn)行估算時(shí),應(yīng)視產(chǎn)品的失效類型選擇估算方法,以提高參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。

加速壽命試驗(yàn); 失效時(shí)間; 估算方法; 蒙特卡洛

1 引 言

加速壽命試驗(yàn)是指在不改變失效機(jī)理的前提下,對(duì)產(chǎn)品加載高于正常條件下的應(yīng)力水平,檢測(cè)并記錄產(chǎn)品的失效時(shí)間等失效數(shù)據(jù),最后用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,從而獲得產(chǎn)品正常條件下的各項(xiàng)可靠性指標(biāo)的方法[1]。從中可以看到,若確定的產(chǎn)品失效時(shí)間存在偏差,那么所得的各項(xiàng)可靠性指標(biāo)也必然存在偏差。為了避免這種情況,在整個(gè)加速壽命試驗(yàn)過(guò)程中應(yīng)采用自動(dòng)監(jiān)測(cè)、連續(xù)檢測(cè)的方法。但現(xiàn)階段僅對(duì)于試驗(yàn)樣品所處的環(huán)境應(yīng)力能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)監(jiān)測(cè),連續(xù)檢測(cè)不僅在技術(shù)上要求高,而且費(fèi)用昂貴,耗費(fèi)人力物力。因此,實(shí)際應(yīng)用中通常采用周期檢測(cè)的方法[2],即將試驗(yàn)時(shí)間分為若干個(gè)檢測(cè)區(qū)間,在每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)對(duì)樣品進(jìn)行檢測(cè),并記錄失效數(shù)據(jù)。但是,這種方法只能得到檢測(cè)區(qū)間內(nèi)樣品的失效個(gè)數(shù)以及失效的發(fā)現(xiàn)時(shí)間,而無(wú)法得到每個(gè)失效樣品真正的失效時(shí)間。因此,仍需對(duì)獲得的失效數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì),以獲取準(zhǔn)確有效的失效時(shí)間。

2 失效時(shí)間的估算方法

失效時(shí)間的估算其實(shí)就是對(duì)失效時(shí)間在檢測(cè)區(qū)間內(nèi)的再分布,文獻(xiàn)[3]中使用了等間隔分布估計(jì)法,文獻(xiàn)[4]中又介紹了對(duì)數(shù)均勻分布估計(jì)法,這兩種為加速壽命試驗(yàn)中常用的失效時(shí)間估算方法。而既然是失效時(shí)間的再分布,在對(duì)比了兩種常用方法的形式后,由概念對(duì)稱角度出發(fā)自然提出了兩種新的估算方法,即區(qū)間中位分布估計(jì)法和指數(shù)均勻分布估計(jì)法。

假設(shè)在檢測(cè)區(qū)間[tj-1,tj]時(shí)間內(nèi),測(cè)得樣品失效數(shù)為rj,估算此間隔內(nèi)第k個(gè)失效樣品的失效時(shí)間tjk。

2.1 等間隔分布估計(jì)法

將rj個(gè)樣品的失效時(shí)間均勻分布在[tj-1,tj]內(nèi),計(jì)算公式如下

(1)

2.2 對(duì)數(shù)均勻分布估計(jì)法

將rj個(gè)樣品的失效時(shí)間的對(duì)數(shù)均勻分布在[lntj-1,lntj]內(nèi),計(jì)算公式如下

(2)

2.3 區(qū)間中位分布估計(jì)法

將檢測(cè)區(qū)間[tj-1,tj]均勻分成rj個(gè)子區(qū)間,則每個(gè)樣品的失效時(shí)間位于該子區(qū)間的中點(diǎn),計(jì)算公式如下

(3)

2.4 指數(shù)均勻分布估計(jì)法

將rj個(gè)樣品的失效時(shí)間的指數(shù)均勻分布在[exptj-1,exptj]內(nèi),計(jì)算公式如下

(4)

3 估算方法對(duì)比

3.1 等間隔分布估計(jì)法與對(duì)數(shù)均勻分布估計(jì)法

由(1)式和(2)式可得

(5)

F(x)=(1-p)x-p+px1-p

(6)

對(duì)F(x)求一階導(dǎo)數(shù)

(7)

3.2 等間隔分布估計(jì)法與區(qū)間中位分布估計(jì)法

由(1)式和(3)式可得

(8)

3.3 等間隔分布估計(jì)法與指數(shù)均勻分布估計(jì)法

由(1)式和(4)式可得

(9)

令x=tj-tj-1,則

F(x)=(1-p)exp(-px)+pexp[(1-p)x]

(10)

對(duì)F(x)求一階導(dǎo)數(shù)

(11)

3.4 對(duì)比分析

圖1 四種失效時(shí)間估算方法對(duì)比Fig.1Comparison of four methods of failure time estimation

即與等間隔分布估計(jì)法相比,對(duì)數(shù)均勻分布估計(jì)法估算出來(lái)的失效時(shí)間先密后疏,適合那些失效率隨時(shí)間遞減的產(chǎn)品;指數(shù)均勻分布估計(jì)法估算出來(lái)的失效時(shí)間先疏后密,適合那些失效率隨時(shí)間遞增的產(chǎn)品;而區(qū)間中位分布估計(jì)法估算出來(lái)的失效時(shí)間,分別在k=(rj+1)/2兩側(cè)先疏后密,適合失效率為“浴盆曲線”,即經(jīng)歷早期失效、偶然失效和耗損失效階段的產(chǎn)品。

4 實(shí)例分析

使用蒙特卡洛法[5]進(jìn)行隨機(jī)變量抽樣,得到模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù),然后分別用以上四種方法進(jìn)行失效時(shí)間估計(jì),并進(jìn)一步得到可靠性參數(shù)估計(jì)。比較四種失效時(shí)間估算方法得到的可靠性參數(shù),說(shuō)明每種方法的精度和特點(diǎn)。

Weibull分布是可靠性中常用的一種壽命分布[6],在擬合隨機(jī)數(shù)據(jù)時(shí)有很大的靈活性和適應(yīng)性[7]。雙參數(shù)Weibull 分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

F(t)=1-exp[-(t/η)m],t≥0

(12)

f(t)=(m/ηm)tm-1exp[(t/η)m],t≥0

(13)

式中:m為形狀參數(shù),m> 0;η為特征壽命,η>0。

則Weibull 分布的失效率函數(shù)為

(14)

可以看到,λ(t)是時(shí)間t的冪函數(shù),當(dāng)m> 1時(shí),λ(t)是增函數(shù),失效率隨時(shí)間遞增;當(dāng)m<1時(shí),λ(t)是減函數(shù),失效率隨時(shí)間遞減;當(dāng)m= 1時(shí),λ(t)是常數(shù),失效率恒定,可視為指數(shù)分布。因此,可以根據(jù)m的數(shù)值區(qū)分不同的失效類型。

設(shè)容量為rj的全子樣數(shù)據(jù)為t1

(15)

似然方程為

整理化簡(jiǎn)后得

(16)

(17)

令η=100,分別取m1=0.6、m2=1、m3=2,通過(guò)蒙特卡洛模擬得到三種失效類型的Weibull分布隨機(jī)變量共三組,再將每組隨機(jī)變量代入上述四種失效時(shí)間估算方法中,分別得到檢測(cè)區(qū)間[tj-1,tj]上的四組容量為rj的全子樣數(shù)據(jù)t1,t2,…,trj,即估算后的失效時(shí)間tjk。將tjk代入上述參數(shù)估計(jì)的方法中,由(17)式用迭代法[8]求出m的極大似然估計(jì),再由(16)式得到η的極大似然估計(jì)。經(jīng)過(guò)大量的模擬,將得到的m和η的估計(jì)值取平均值,具體數(shù)值如表1所示。

由表可以看出,當(dāng)m<1時(shí),對(duì)數(shù)均勻分布估計(jì)法得到的結(jié)果與真值最為接近,指數(shù)均勻分布估計(jì)法誤差最大;當(dāng)m=1時(shí),等間隔分布估計(jì)法和區(qū)間中位分布估計(jì)法得到的結(jié)果與真值較為接近;當(dāng)m>1時(shí),指數(shù)均勻分布估計(jì)法得到的結(jié)果與真值最為接近,對(duì)數(shù)均勻分布估計(jì)法誤差最大。

表1 參數(shù)的極大似然估計(jì)Tab.1 Maximum likelihood estimation of parameters

5 結(jié) 論

通過(guò)理論計(jì)算分析和蒙特卡洛模擬分析兩方面,對(duì)比并檢驗(yàn)了四種方法的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明,在對(duì)失效時(shí)間進(jìn)行估算時(shí),應(yīng)視產(chǎn)品的失效類型選擇估算方法。若產(chǎn)品的失效率為遞增型,則采用指數(shù)均勻分布估計(jì)法得到的結(jié)果精度較高;若產(chǎn)品的失效率為遞減型,則采用對(duì)數(shù)均勻分布估計(jì)法得到的結(jié)果精度較高;若產(chǎn)品的失效率變化未知,則采用等間隔分布估計(jì)法和區(qū)間中位分布估計(jì)法得到的結(jié)果精度較高。為加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析中對(duì)失效時(shí)間的估計(jì),提供了方法和思路,提高了參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。

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王耀冬 男(1991-),黑龍江賓縣人,碩士研究生,主要研究方向?yàn)閺椝幭到y(tǒng)設(shè)計(jì)與試驗(yàn)評(píng)估。

Research on the Estimation Method of Accelerated Life Test Failure Time

WANG Yaodong, YU Weibo, XUAN Zhaolong, YAO Kai, LI Tianpeng

(Ordnance Engineering College,Shijiazhuang 050003,China)

This paper presents the interval median distribution estimation and exponential uniform distribution estimation,which is based on the original method of estimating the accelerated life test failure time from the conception of symmetry.We examined the characteristics and accuracy of each estimation method by theoretical analysis and Monte Carlo simulation.The results show that the new method has superiority in certain conditions.When the failure rate of the product is increasing,we use the exponential uniform distribution estimation.When the failure rate is decreasing,we use the logarithmic uniform distribution estimation.When the change is unknown,we use the equal interval estimation and interval estimation.These methods have high estimation precision.Therefore,in order to improve the accuracy of parameter estimation,we should choose the estimation method in failure time estimation of accelerated life test depending on products estimating failure types.

accelerated life test; failure time; estimation method; Monte Carlo

俞衛(wèi)博 男(1976-),山西永濟(jì)人,副教授,主要研究方向?yàn)閺椝幭到y(tǒng)設(shè)計(jì)與試驗(yàn)評(píng)估。

TB 114

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