過(guò)程操作：數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值的應(yīng)然旨?xì)w

江蘇省姜堰中學(xué) (225500)

周 鵬●

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過(guò)程操作：數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值的應(yīng)然旨?xì)w

江蘇省姜堰中學(xué) (225500)

周 鵬●

注重?cái)?shù)學(xué)課堂的“過(guò)程操作”，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“過(guò)程操作”進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的壓縮，將“過(guò)程操作”形式化、公理化，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)形式化的抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程進(jìn)行充分地觀(guān)察、描述，逐步地抽象、概括，系統(tǒng)地反思、推理等，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升.

具體;抽象;凝聚;思維;操作

本世紀(jì)初，英國(guó)數(shù)學(xué)教育家David Tall在融合了認(rèn)知主義、結(jié)構(gòu)主義和建構(gòu)主義等的相關(guān)理論后，提出了“數(shù)學(xué)世界”是數(shù)學(xué)的“具體化世界”“符號(hào)化世界”“形式化世界”的有機(jī)交織，認(rèn)為在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，他們首先是感性地描述、表征，然后是演繹，進(jìn)行“邏輯的推理”，最后是提取對(duì)象的性質(zhì)，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生形式化的定義、公理體系等.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要立足于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)多元化的“心理表征”，對(duì)知識(shí)形成步驟精致化的“過(guò)程操作”和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)約化的“抽象凝聚”.在這一系列過(guò)程中，要找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生發(fā)點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)、生成點(diǎn)和延伸點(diǎn).要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行“精致化加工”,以讓學(xué)生精準(zhǔn)化地掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

一、關(guān)注多樣化的“心理表征”，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性

學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)是在已有的心理圖式上進(jìn)行的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)首先是建立心理表征.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生建立多元的知識(shí)心理表征可以擴(kuò)充數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)結(jié)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的觸發(fā)點(diǎn)、延展點(diǎn).例如高中數(shù)學(xué)教材中的“函數(shù)”概念，學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)同樣需要調(diào)動(dòng)頭腦中相關(guān)的表象如“炮彈的軌跡”等進(jìn)行認(rèn)知加工，當(dāng)抽象出函數(shù)的表達(dá)式后，學(xué)生就進(jìn)入了符號(hào)化的加工，最后對(duì)函數(shù)概念形成本質(zhì)認(rèn)識(shí)，這時(shí)，學(xué)生實(shí)質(zhì)上就是進(jìn)入了函數(shù)的形式化世界.再如“等差數(shù)列”的概念，在學(xué)生通曉生活中常見(jiàn)的等差數(shù)列現(xiàn)象之后，筆者讓學(xué)生建立起多樣化的心理表征.如建立的文字形式是：從第二項(xiàng)開(kāi)始的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差始終是同一個(gè)常數(shù)；用通項(xiàng)的符號(hào)表征是：an-an-1=d(d為常數(shù)，n≥2)或者2an=an-1+an+1(n≥2)或者an=kn+b(k、b為常數(shù))；用圖形表征就是：建立以(n，an)為坐標(biāo)的點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的表征；或Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù))，或者建立點(diǎn)(n，Sn)在過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)上等.多元化的心理表征凸顯著數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和完整建構(gòu).

二、引領(lǐng)精致化的“過(guò)程操作”，讓學(xué)生步步數(shù)學(xué)實(shí)踐、創(chuàng)造

數(shù)學(xué)的“過(guò)程操作”主要是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，這個(gè)過(guò)程伴隨著學(xué)生的感知、推理、抽象等的認(rèn)知活動(dòng).數(shù)學(xué)作為人類(lèi)“生命·實(shí)踐”智慧的結(jié)晶，理應(yīng)讓學(xué)生重蹈其中的關(guān)鍵步子.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、判斷、比較、質(zhì)疑、選擇等的探究過(guò)程，沒(méi)有自我的分析與綜合等的認(rèn)知活動(dòng)，沒(méi)有彼此爭(zhēng)論、碰撞等的觀(guān)點(diǎn)交流活動(dòng)，學(xué)生就不能深刻理解抽象化的知識(shí).例如“任意角”的概念，教學(xué)前首先要分析學(xué)生的認(rèn)知水平，并且對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行充分地解讀.然后通過(guò)實(shí)例(如鐘表的旋轉(zhuǎn)、體操運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)、扳手?jǐn)Q動(dòng)螺絲的旋轉(zhuǎn)等)引入“任意角”概念.接著引領(lǐng)學(xué)生逐層探究：如何定義任意角(旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量)；如何設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)(引入象限角)；如何將角放入平面直角坐標(biāo)系中？終邊相同的角如何用集合表示？通過(guò)精致化的“過(guò)程操作”，學(xué)生對(duì)任意角(正角、負(fù)角、零角)、象限角、終邊相同角的集合S={β|β=α+k×360，k∈Z}等知識(shí)有了精準(zhǔn)的掌握.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合”(畫(huà)圖操作)思想、類(lèi)比思想(從數(shù)的擴(kuò)充等現(xiàn)象聯(lián)想到角的擴(kuò)充)、化歸思想(終邊相同的角的集合)、分類(lèi)思想(k的不同導(dǎo)致角的象限不同)等.在這里，數(shù)學(xué)超越了機(jī)械的“模仿”和純粹的“紙筆訓(xùn)練”，學(xué)生步步進(jìn)行著數(shù)學(xué)實(shí)踐、數(shù)學(xué)創(chuàng)造.

三、推進(jìn)簡(jiǎn)約化的“抽象凝聚”，建立相關(guān)數(shù)學(xué)概念間的關(guān)聯(lián)

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要呈現(xiàn)知識(shí)的不同層面.數(shù)學(xué)的“具體化世界”呈現(xiàn)著學(xué)生能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)理解的感性材料，使學(xué)生產(chǎn)生了多樣化的心理表征；數(shù)學(xué)的“符號(hào)化世界”讓學(xué)生經(jīng)歷著數(shù)學(xué)抽象知識(shí)的誕生過(guò)程，領(lǐng)悟著數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)、生成的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)；數(shù)學(xué)的“形式化世界”是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的必要凝聚、簡(jiǎn)約抽象.如此，學(xué)生充分地展開(kāi)著“數(shù)學(xué)化”活動(dòng)，提升著思維經(jīng)驗(yàn)、方法經(jīng)驗(yàn)與思想經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)由“工具性理解”導(dǎo)向“關(guān)系性理解”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“創(chuàng)新性理解”.

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