分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省鹽城交通技師學(xué)院 (224000)

沈桂蘭●

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分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省鹽城交通技師學(xué)院 (224000)

沈桂蘭●

分類討論作為一種邏輯方法，是一種重要的解題策略，通過分類討論，可以將問題化難為易，便于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，使問題得到解決.本文對(duì)此進(jìn)行了分析研究.

分類討論；數(shù)學(xué)；教學(xué)；應(yīng)用

一、分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段最重要的知識(shí)，也是難度最大的知識(shí)，學(xué)生理解和掌握的難度比較大.無論是在教學(xué)階段還是復(fù)習(xí)階段，對(duì)函數(shù)的教學(xué)展開都比較困難.教師在進(jìn)行函數(shù)教學(xué)的時(shí)候，結(jié)合函數(shù)的特點(diǎn)，適當(dāng)發(fā)揮出分類討論思想的重要作用，讓學(xué)生掌握分類討論的解題方法，就可以讓學(xué)生掌握解題技巧，將函數(shù)化繁為簡，為學(xué)生理解和掌握函數(shù)知識(shí)提供充分的保障.

例題1 某商場推出兩種優(yōu)惠方法，甲種方法：購買一個(gè)書包贈(zèng)送一支筆；乙種方法：購買書包和筆一律按九折優(yōu)惠，書包20元/個(gè)，筆5元/支，小明和同學(xué)需購買4個(gè)書包，筆若干(不少于4支).(1)分別寫出兩種方式購買的費(fèi)用y(元)與所買筆支數(shù)x(支)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)比較購買同樣多的筆時(shí)，哪種方式更便宜.

教師先提示學(xué)生用一次函數(shù)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問題，根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)，以及題目中“甲種方法”和“乙種方法”學(xué)生確定用分段函數(shù)的思想解答數(shù)學(xué)問題.其解題過程為：

解 (1)由題意，得y甲=20×4+5(x-4)=5x+60，y乙=90%(20×4+5x)=4.5x+72.(2)由(1)可知當(dāng)y甲>y乙時(shí)5x+60>4.5x+72，解得：x>24，即當(dāng)購買筆數(shù)大于24支時(shí)，乙種方式便宜．當(dāng)y甲=y乙時(shí)， 5x+60=4.5x+72 解得：x=24，即當(dāng)購買筆數(shù)為24支時(shí)，甲乙兩種方式所用錢數(shù)相同即甲乙兩種方式都可以．當(dāng)y甲

由此可見，函數(shù)本身就包含分類討論思想，在解決函數(shù)相關(guān)問題的時(shí)候，教師引導(dǎo)學(xué)生正確運(yùn)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題，就可以迅速找出解題方法和解題思路，從而正確解答出數(shù)學(xué)問題.

二、分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用

能否靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答實(shí)際問題，是關(guān)系學(xué)生學(xué)習(xí)水平能否迅速提高的關(guān)鍵性因素.數(shù)學(xué)解題實(shí)踐應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都不能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，使得解題目標(biāo)難以實(shí)現(xiàn)，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平也形成了不利影響.排列組合是數(shù)學(xué)知識(shí)中既簡單又繁雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生理解難度比較小，但解題中需要注意的細(xì)節(jié)比較大，學(xué)生把握好各個(gè)細(xì)節(jié)問題，才能正確解答出數(shù)學(xué)問題.以教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)題2為例：

例題2 某條鐵路線上，包括起點(diǎn)和終點(diǎn)在內(nèi)原來共有7個(gè)車站，現(xiàn)在新增了3個(gè)車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，需要增加多少種不同的車票？

由于題目中的限制條件比較大，要確保答案的完整性和準(zhǔn)確性，需要學(xué)生用分類討論的方法解決數(shù)學(xué)問題.

方法二：1.新站為起點(diǎn)，舊站為終點(diǎn)有3×7=21種，2.舊站為起點(diǎn)，新站為終點(diǎn)有7×3=21種，3.起點(diǎn)、終點(diǎn)均為新站有3×2=6種，以上共有21+21+6=48種.

由此可見，學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)，靈活運(yùn)用分類討論思想，就可以正確解答出數(shù)學(xué)問題.同時(shí)，學(xué)生掌握分類討論思想，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的思考更加全面，有利于確保解題的準(zhǔn)確性和可靠性.

三、分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用

分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用也比較廣泛，數(shù)列主要分為等差數(shù)列和等比數(shù)列，在解決數(shù)列相關(guān)數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，通常都會(huì)對(duì)不少于兩種情況進(jìn)行分類討論，最后將答案集合起來，根據(jù)題目的要求，最終確定正確答案.

例題3 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(n≥1).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數(shù)列，求Tn．

解 (1)因?yàn)閍n+1=2Sn+1，所以an=2Sn-1+1(n≥2).將①②兩式相減得an+1-an=2an，即an+1=3an(n≥2)，又因?yàn)閍2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列,∴an=3n-1．

(2)設(shè){bn}的公差為d，由T3=15，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可設(shè)b1=5-d，b3=5+d.又因?yàn)閍1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數(shù)列，所以可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2，d2=-10.∵等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，∴d>0，∴d=2，∴Tn=n2+2n.

由此可見，將分類討論思想滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生掌握并靈活運(yùn)用分類討論思想解決實(shí)際問題，就可以為學(xué)生迅速明確題意，找出解題方法，進(jìn)而為解答出數(shù)學(xué)問題提供充分的保障.

[1] 果宏宇. 數(shù)學(xué)中的分類討論思想[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012(17)

[2] 江寶龍. 例說分類討論思想在數(shù)學(xué)新教材習(xí)題中的滲透[J]. 考試周刊， 2012(21)

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