一類二次函數絕對值問題的解法探究

浙江省金華市外國語學校高中部 (321000)

傅鮮兵 ●

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一類二次函數絕對值問題的解法探究

浙江省金華市外國語學校高中部 (321000)

傅鮮兵 ●

二次函數與絕對值知識的結合，使得題型變得新穎，解法變得靈活，思維變得抽象.筆者結合2015年浙江高考理科第18題及2015年金麗衢十二校聯(lián)考二模填空第15題，談一談對二次函數絕對值問題中，包含區(qū)間，最值一類問題的解法.針對該類題型，反解系數法可謂是絕妙！

一、緣起

例1(2015年浙江高考理科第18題) 已知函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

(1)證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2;

(2)當a,b滿足M(a,b)≤2時，求|a|+|b|的最大值.

二次函數在高考中常出常新，而2015年浙江高考理科卷18題的出現，又喚起了我們對這類問題的思考，與對過往經典的致敬！

二、思考

1.編過這類試題的老師都會發(fā)現，這類含絕對值、區(qū)間、最值問題的處理方法，主要是發(fā)現端點的函數值，對稱軸的函數值與最值之間的聯(lián)系.而端點函數值往往與最值相吻合，即端點最值！因為在其它情況下，題目很難編，情況會變得十分復雜，不適合出考題.基于這樣的想法，代端點可以秒殺2015年金麗衢十二校聯(lián)考二模數學理填空把關題即第15題！端點代入，秒殺解題：

三、解決

1.向經典致敬

例3(1998年“希望杯”高三賽題) 若函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對一切x∈[0,1],恒有|f(x)|≤1.

(1)對所有這樣的f(x)，求|a|+|b|+|c|可能的最大值；(2)試給出一個這樣的f(x)，使|a|+|b|+|c|確實取到上述最大值.

(2)取a=8,b=-8,c=1即可.

這道題是不老的傳奇，影響了此后很多年.其實例2即金麗衢12校二模數學理填空15題即源于此！端點時取到最值，對稱軸時取到最值的相反數，如出一轍！

2.反解系數法解決例1第二問

解 (2)∵f(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,

又∵M(a,b)≤2,|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2.

易見a=±2,b=1時，|a|+|b|取到最大值3.

不難看出，該題可以由端點最值秒殺！ 即端點取到最值時！這些所謂的難題，難逃此率！

從二次函數的角度分析，不論a,b,c怎么取值，f(x)在區(qū)間上的最值只能是端點函數值或者對稱軸時的函數值.這里需要特別指出的是要將二次函數中的系數a,b,c用端點函數值與對稱軸函數值表示，然后運用絕對值不等式，進行適當的放縮.這就是解決這類問題的一般解題思考方法.

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1008-0333(2016)22-0039-01