由一道高考題談數(shù)形結(jié)合

張永亮●

陜西省安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(725000)

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由一道高考題談數(shù)形結(jié)合

張永亮●

陜西省安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(725000)

對(duì)參數(shù)范圍的考查，是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn).本文就浙江省2015年高考數(shù)學(xué)卷理科21題討論參數(shù)范圍的代數(shù)方法和數(shù)形結(jié)合思想.

不等式;參數(shù)；數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

分析 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等分析問題和解決問題的能力.

例2 若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解決，也可以直接用m表示出一元二次方程的根，再討論根的范圍.

設(shè)曲線y1=(x-2)2,x∈(0,3)和直線y2=1-m，圖象如圖所示.

由圖可知：(a)當(dāng)1-m=0時(shí)，有唯一解，m=1；(b)當(dāng)1≤1-m<4時(shí)，有唯一解，即-3

解法二 原方程在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，等價(jià)于方程-x2+3x-m=3-x在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，即x2-4x+m+3=0在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解.

(a)Δ=0時(shí)，即m=1時(shí)，方程為x2-4x+4=0，有唯一解x=2∈(0,3).

綜上，要使原方程在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，m=1或-3

[1] 張肇平,吳佳薇 .一道高考題的多種解法 [J] . 理科考試研究,2010，38(2)：20-23

[2] 李明,唐小惠.巧用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010，29(4):54

[3] 曲一線.五年高考三年模擬[M] .北京：首都師范大學(xué)出版社,2016

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