淺談導數(shù)的應用

汪澤亮

0 引言

導數(shù)是數(shù)學中重要的概念之一。它的應用范圍非常廣泛，通過對導數(shù)應用問題的探討，可提升學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力。本文主要是應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性以及切線問題，同時也應用導數(shù)解決經(jīng)濟學中一些邊際分析問題。

隨著市場經(jīng)濟的不斷發(fā)展和完善，導數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域發(fā)揮的及其重要作用，因此，作為一位管理人員者不僅要對企業(yè)的經(jīng)濟行為進行定性分析，更重要的是還要對其進行定量分析，以使經(jīng)營決策更科學，更精確，從而給企業(yè)帶來良好的經(jīng)濟效益。

導數(shù)在數(shù)學基礎(chǔ)知識解決實際問題的應用：

1 利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

4 導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用舉例

導數(shù)主要是研究變化率問題，而在經(jīng)濟學中，存在許多與變化率的問題，因此我們可以把經(jīng)濟學中的很多問題歸結(jié)到數(shù)學中來，用我們所學的導數(shù)知識加以研究并解決。在此我們就經(jīng)濟學中的邊際分析問題加以討論。

邊際概念表示當x的改變量？駐x趨于0時y的相應改變量的變化，即當x在某一給定值附近有微？駐y與？駐x的比值小變化時y的瞬時變化。若設(shè)某經(jīng)濟指標y與影響指標值的因素x之間成立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），則稱導數(shù)f（x）為f（x）的邊際函數(shù)。隨著y，x含義不同，邊際函數(shù)的含義也不一樣。設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品q單位時所需要的總成本函數(shù)為C=C（q），則稱C（q）為邊際成本。邊際成本的經(jīng)濟含義是：當產(chǎn)量為q時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總成本為C（q）。類似可定義其它概念，如邊際收入，邊際利潤等等。經(jīng)濟活動的目的，除了考慮社會效益，對于一個具體的企業(yè)，決策者更多的是考慮經(jīng)營的效果，怎樣降低成本，提高利潤獲取最大的經(jīng)濟效益等問題。

例6：設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其成本函數(shù)c（x）=ax3-bx2+cx（a，b，c>0的常數(shù)）問每批生產(chǎn)多少個單位的產(chǎn)品，其平均成本最??？并求其最小平均成本和相應的邊際成本。

例7：設(shè)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為：C=C（q）=100+5q-0.3q2+0.02q3，求生產(chǎn)水平為q=20（萬件）時的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合適？

解：當q=20時的總成本為：C（20）=100+5×20-0.3×202+0.02×203=240（萬元）

所以平均成本（單位成本）為：C（20）÷20=240÷20=12（元/件）邊際成本MC=C（q）=5-0.6q+0.06q2 MC|q=20=4-0.6×20+0.06×202=16（元/件）

因此，在生產(chǎn)水平為20萬件時，每增加一個產(chǎn)品總成本增加16元，高于當前的單位成本，從降低成本角度看，不應該繼續(xù)提高產(chǎn)量，而應該降低產(chǎn)量。

從上面的例子可以看出，導數(shù)對于在經(jīng)濟學中邊際問題的分析尤為重要。通過邊際問題的分析，對于企業(yè)的決策者做出正確的決策起了十分重要的作用！

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