線(xiàn)電荷和無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)電勢(shì)的計(jì)算和討論

王樹(shù)平 范 虹

(河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系，河北 張家口 075000)

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線(xiàn)電荷和無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)電勢(shì)的計(jì)算和討論

王樹(shù)平 范 虹

(河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系，河北 張家口 075000)

計(jì)算了線(xiàn)電荷和無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)分布，指出線(xiàn)電荷與介質(zhì)圓柱體、線(xiàn)電荷與導(dǎo)體圓柱殼、均勻外電場(chǎng)中有無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)分布都可由線(xiàn)電荷和無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)給出.

線(xiàn)電荷；介質(zhì)圓柱殼；電勢(shì)

一些文獻(xiàn)分別計(jì)算了線(xiàn)電荷與介質(zhì)圓柱體[1],均勻外電場(chǎng)中有介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)[2]的電勢(shì)分布.本文通過(guò)對(duì)線(xiàn)電荷和介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)的計(jì)算和討論將闡明：上述兩種情形的電勢(shì)分布都可由線(xiàn)電荷和介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)分布給出.

1 線(xiàn)電荷和介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)分布的計(jì)算

設(shè)介電常量為ε、內(nèi)圓柱面和外圓柱面的半徑分別為R1、R2的無(wú)限長(zhǎng)各向同性均勻介質(zhì)圓柱殼處于空氣中.在介質(zhì)圓柱殼外距圓柱殼軸線(xiàn)為a處有一與圓柱殼軸線(xiàn)平行的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)λ(λ為電荷線(xiàn)密度)，如圖1所示.在圖1所示的圓柱坐標(biāo)系下，邊值問(wèn)題為：

圖1

根據(jù)電勢(shì)疊加原理，空間電勢(shì)可視為線(xiàn)電荷的電勢(shì)和介質(zhì)分界面上電荷的電勢(shì)φ′的疊加，則圓柱殼內(nèi)、中、外的電勢(shì)分別為：

以上三式中的r0是電勢(shì)零點(diǎn)位置到線(xiàn)電荷的距離.

由于介質(zhì)圓柱殼和線(xiàn)電荷為無(wú)限長(zhǎng)，介質(zhì)圓柱殼的軸線(xiàn)與z軸重合，故此場(chǎng)與z無(wú)關(guān)，是個(gè)二維平面場(chǎng)，則φ′應(yīng)滿(mǎn)足的柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程為：

Δφ

最后得到介質(zhì)圓柱殼內(nèi)、中、外的電勢(shì)φ1、φ2、φ3分別為：

由式(4)、(5)、(15)、(16)和(17)可得關(guān)于Cn、Dn、En和Fn的方程組：

由式(18)求得：

從而可給出介質(zhì)圓柱殼內(nèi)、中、外的電勢(shì)分別為

2 討 論

2.1 線(xiàn)電荷與導(dǎo)體圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)分布

在ε→∞的條件下，介電系數(shù)為ε的介質(zhì)相當(dāng)于導(dǎo)體，利用式(23)及ε→∞的條件，可給出線(xiàn)電荷與無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱殼系統(tǒng)的導(dǎo)體殼內(nèi)的電勢(shì)分布為：

再由式(14)可得到

這表明導(dǎo)體圓柱殼內(nèi)為等電勢(shì)區(qū).

利用式(24)及ε→∞的條件，可給出線(xiàn)電荷與無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱殼系統(tǒng)的導(dǎo)體圓柱殼中的電勢(shì)為：

式(28)表明導(dǎo)體圓柱殼中為等電勢(shì)區(qū).

利用式(25)及ε→∞的條件，導(dǎo)體圓柱殼外的電勢(shì)為：

2.2 線(xiàn)電荷與介質(zhì)圓柱系統(tǒng)的電勢(shì)分布

在式(24)、(25)中，令R1=0,R2=R可得到線(xiàn)電荷和介質(zhì)圓柱體系統(tǒng)的電勢(shì)分布.介質(zhì)圓柱內(nèi)的電勢(shì)為

介質(zhì)圓柱外的電勢(shì)為

這正是文獻(xiàn)[1]的結(jié)論.

2.3 均勻外電場(chǎng)中無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱殼的電勢(shì)分布

若線(xiàn)電荷λ(<0)沿z軸正向趨于無(wú)窮遠(yuǎn)，同時(shí)λ值也趨于無(wú)窮大，但保證λ在討論的范圍內(nèi)所激發(fā)的電場(chǎng)為非零有限值場(chǎng)，則此時(shí)λ在討論的范圍內(nèi)所激發(fā)的電場(chǎng)是沿x軸正向的均勻的電場(chǎng)，其大小為：

即

式中負(fù)號(hào)的引入是因?yàn)棣?0，這里要求場(chǎng)強(qiáng)大小E非零有限，根據(jù)式(14),式(23)可改寫(xiě)為

由式(32)知,此時(shí)式(33)中的求和只有當(dāng)n=1時(shí)不為零，其余都為零.則均勻場(chǎng)中有介質(zhì)圓柱殼情形的殼內(nèi)的電勢(shì)為

再由式(32)得到

同理由式(14),式(24)可改寫(xiě)為

由式(32)知,此時(shí)式(36)中的求和也只有當(dāng)n=1時(shí)不為零，其余都為零.則均勻場(chǎng)中有介質(zhì)圓柱殼情形的殼中的電勢(shì)為

再由式(32)得到

由式(14),式(25)可改寫(xiě)為

同理由式(32)知,此時(shí)式(39)中的求和只有當(dāng)n=1時(shí)不為零，其余都為零.最后由式(32)、式(39)得到均勻場(chǎng)中有介質(zhì)圓柱殼情形的殼外的電勢(shì)為

式(35)、(38)、(40)給出的均勻場(chǎng)中有介質(zhì)圓柱殼情形的殼內(nèi)、中、外的電勢(shì)與文獻(xiàn)[2]的結(jié)論完全相同.

綜上所述，線(xiàn)電荷與導(dǎo)體圓柱殼、線(xiàn)電荷與介質(zhì)圓柱體、均勻外電場(chǎng)中有介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)都可由線(xiàn)電荷和介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)給出.因此對(duì)線(xiàn)電荷和介質(zhì)圓柱殼系統(tǒng)的電勢(shì)分布的計(jì)算具有普遍意義.

[1]劉邁,蘇景順,王樹(shù)平.線(xiàn)電荷和介質(zhì)圓柱系統(tǒng)的電勢(shì)分布[J].大學(xué)物理，2010，9(5)：11

[2]王樹(shù)平，蘇景順,薛紅丹.均勻外電場(chǎng)中無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱殼的場(chǎng)分布的計(jì)算和討論[J].大學(xué)物理，2008,7:18

Calculation and Discussion of Electric Potential of Linear Charge Density and Infinite Long-dielectric Column Shell

WANGShu-ping,FANHong

(Hebei University of Architecture, Zhangjiakou,075000)

The electric potential distribution of a system for linear charge density and long-dielectric column shell is calculated by using the separated variable method and some useful calculations are presented.

linear charge density;dielectric column shell；electric potential

2016-05-23

王樹(shù)平(1977-)，男，副教授.

O 441.4

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