用曲率方法討論圓形可逆循環(huán)溫度的極值問題

胡 玥

(上海師范大學(xué)附屬龍華中學(xué) 上海 200232)

姚黃濤 馮 杰

(上海師范大學(xué) 上海 200235)

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用曲率方法討論圓形可逆循環(huán)溫度的極值問題

胡 玥

(上海師范大學(xué)附屬龍華中學(xué) 上海 200232)

姚黃濤 馮 杰

(上海師范大學(xué) 上海 200235)

從圖像曲率的角度討論了理想氣體在p-V圖上圓形循環(huán)的溫度極值問題.結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)循環(huán)過程的軌跡圓處在約束角θ=60°的約束范圍內(nèi)時，軌跡圓與低溫處的等溫線相切于一個點.超過約束范圍的軌跡圓與等溫線切于兩個點.從而指出了相關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)論不準(zhǔn)確，嘗試解答相關(guān)文獻(xiàn)中作者提出的猜想.

約束角 圓形可逆循環(huán) 曲率 p-V圖像

1 問題的引出

2 原題與本文的解決思路

圖1 理想氣體的圓形可逆循環(huán)過程

圖2 等溫線與圓相切的情況

由于理想氣體在p-V圖上的等溫線離原點的遠(yuǎn)近代表了溫度的高低，所以等溫線與圖像上的圓相切時的溫度即為最高溫度和最低溫度.如圖2所示，最高溫度很明確，只有一個切點A，因為在A點圓的曲率和等溫線的曲率符號相反.但是對最低溫度的確定存在著困難，原因是在B點處等溫線和圓的曲率符號相同但大小不確定，所以存在兩種不同的情況：切點可能是一個或者兩個.如果直接聯(lián)立理想氣體狀態(tài)方程和圓的軌跡方程求單一切點，得出的溫度極小值可能不是最小值.所以我們的目的是從曲率的角度，直觀地尋找一個切點與兩個切點的分界條件.

3 具體解決過程

3.1 曲率與曲率半徑

用數(shù)量來描述曲線彎曲程度的數(shù)學(xué)量叫做曲率.設(shè)光滑曲線在直角坐標(biāo)系中的方程為y=f(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，則曲線上任意一點的曲率

圖3 曲線與圓的相切情況

3.2 等溫線的曲率最值

理想氣體的狀態(tài)方程為pV=μRT，則

(1)

(2)

(3)

代入曲率公式

得

(4)

曲率半徑

(5)

(6)

3.3 一個切點的條件——約束角

由于等溫線中心點處的曲率最大,曲率半徑最小,所以只要圓形可逆循環(huán)的軌跡圓的半徑小于等于等溫線最小曲率半徑ρmin，就可以保證可逆循環(huán)的軌跡圓與(低溫)等溫線內(nèi)切于一點，而當(dāng)軌跡圓的半徑等于ρmin時則為密切.此軌跡圓的半徑等于ρmin即為切點只有一個的臨界條件.

圖4

4 結(jié)論

(1)判斷切點個數(shù)的約束角θ=60°.

1 鄭金.對氣態(tài)變化橢圓圖像成立條件的探究.物理教學(xué)，2014(1)：52～54

2 方偉，涂泓，朱炯明.理想氣體在圓形可逆循環(huán)過程中溫度極值的討論.物理通報，2015(7)：23～27

3 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊).北京：高等教育出版社，2007.171～174

2015-10-10)