牛傳擇, 桑 波, 顏 紅

(1.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東聊城252059； 2. 聊城市東昌中學(xué),山東聊城252000)

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第二重要極限的一種簡(jiǎn)易變形

牛傳擇1, 桑 波1, 顏 紅2

(1.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東聊城252059； 2. 聊城市東昌中學(xué),山東聊城252000)

利用無窮小量,給出了第二重要極限的一類變形.討論了該變形在求不定極限中的應(yīng)用技巧,利用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開式,該變形可以較快的解決一些求不定極限的問題.結(jié)合歷年考研試題闡明該變形在求1∞型不定式極限中的優(yōu)勢(shì).

第二重要極限； 無窮小量； 泰勒公式

1 引 言

2 主要結(jié)果

(1)

故

利用與定理1的證明中相同的方法，也可證明下面的定理2.

(2)

特別地，作為定理1，2的特殊情形，有

推論1 設(shè)limf(x)=0,則

(3)

推論2 設(shè)limf(x)=∞,則

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

3 應(yīng)用舉例

結(jié)合四個(gè)歷年考研試題，闡明如何利用定理1、定理2計(jì)算1∞型不定式極限.

分析 這是一個(gè)1∞型不定式極限，利用泰勒公式將cos2x+2xsinx化為1+f(x)+o(f(x))的形式.

解 利用泰勒公式，因?yàn)?/p>

所以

故

解 因?yàn)?/p>

所以

注 例2有更簡(jiǎn)單的解法.

解 因?yàn)?/p>

所以

這是因?yàn)閷?duì)1∞型不定式極限limf(x)g(x)，有

limf(x)g(x)=lim(1+f(x)-1)g(x)=elim(f(x)-1)g(x).

事實(shí)上，上式將求1∞型不定式極限limf(x)g(x)轉(zhuǎn)化為求0·∞型不定式極限lim(f(x)-1)g(x).例2中，經(jīng)過化簡(jiǎn)，(f(x)-1)g(x)的極限容易求得，所以注解中的解法較為直接.但是一般情形下求解0·∞型不定式極限lim(f(x)-1)g(x)有可能較為復(fù)雜.

分析 因?yàn)閤→0時(shí),ln(1+x)與x是等價(jià)無窮小量，且ex-1→0,所以這是一個(gè)1∞型不定式極限.

解 利用泰勒公式,因?yàn)?/p>

所以

因此

解 利用泰勒公式，因?yàn)?/p>

所以

通過4個(gè)典型考研試題的解答過程可以看出，在求1∞型不定式極限時(shí)，結(jié)合泰勒公式，定理1、定理2避免了洛必達(dá)法則的反復(fù)求導(dǎo)，是一種值得采用的解決問題的方法.

4 結(jié) 論

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M]. 6版.北京：高等教育出版社,2012.

[3] 鄧雪,趙俊峰.洛必達(dá)(L’Hospital)法則在求1∞型極限中的應(yīng)用[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2006,22(4)：158-160.

[4] 華婷,文傳軍.解析第二極限的三步驟法 [J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào),2014,27(6)：42-45.

[5] 王秀旺,周貴祥.第二重要極限的應(yīng)用技巧及推廣[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版,2010(61)：94-95.

A Simple Deformation of the Second Important Limit

NIUChuan-ze1,SANGBo1,YANHong2

(1. School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng Shandong 252059, China;2. Dongchang Middle School, Liaocheng Shandong 252000, China)

Using infinitesimals, a deformation of the second important limit is proposed. Application of such deformation in computing indeterminate limits is discussed. Using this deformation, combined with Taylor expansions with the remainder of the Peano form, some indeterminate limit problems can be resolved quickly. The advantages of such deformation in solving limits of the form 1∞are classified through questions in the postgraduate entrance examinations over the years.

the second important limit; infinitesimals; Taylor’s formula

2016-06-22； [修改日期] 2016-07-19

聊城大學(xué)本科教學(xué)改革研究項(xiàng)目(311161522)；國(guó)家自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目(11401285)

牛傳擇(1985-),男，博士，講師，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究.Email: niuchuanze@lcu.edu.cn

O13

C

1672-1454(2016)05-0105-04