蘇燦榮, 禹春福, 周 玲

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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一道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的推廣

蘇燦榮, 禹春福, 周 玲

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

對(duì)一道大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題分別從導(dǎo)數(shù)的階數(shù)及變量的個(gè)數(shù)兩方面做出推廣.

數(shù)學(xué)競(jìng)賽； 多元函數(shù)； Taylor公式； Cauchy-Schwarz不等式

第七屆(2015年)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(非數(shù)學(xué)系)預(yù)賽試題的第六題為

(1)

本文將分別從導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n(n≥2)及變量的個(gè)數(shù)m(m≥2)兩個(gè)方面對(duì)該試題做出推廣.

1 推廣一

設(shè)f(x,y)在x2+y2≤1上有連續(xù)的n(n≥2)階偏導(dǎo)數(shù)，且

若f(x,y)在(0,0)處的p階(p=0,1,2,…,n-1)偏導(dǎo)數(shù)全為0，則有

(2)

證 由二元函數(shù)的Taylor公式[1]及題設(shè)知

其中0<θ1<1.

由Cauchy-Schwarz不等式知

而

所以

從而

故不等式(2)成立.

特別取n=2，則由(2)即可得到(1).

2 推廣二

(3)

其中k=1,2,3,…為正整數(shù).

證 由m元函數(shù)的Taylor公式[1]及題設(shè)知

其中 0<θ2<1.

由Cauchy-Schwarz不等式知

而

故

從而

利用球面坐標(biāo)變換[1]

其中0≤r<+∞, 0≤φ1≤π, …, 0≤φm-2≤π, 0≤φm-1≤2π,則有

其中k=1,2,3,…為正整數(shù).

因此

(3)

其中k=1,2,3,…為正整數(shù).

特別取m=2,x1=x,x2=y,則由(3)即得(1)，又若取m=3,x1=x,x2=y,x3=z,則當(dāng)

且f(0,0,0)=fx(0,0,0)=fy(0,0,0)=fz(0,0,0)時(shí)，由(3)可知

(4)

[1] 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].2版.北京：高等教育出版社，2004：167-170,268-269.

The Promotion of a National College Student Mathematics Contest

SUCan-rong,YUChun-fu,ZHOULing

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

A college mathematic contest is promoted from two aspects-the order of derivative and variables number.

mathematical competition; multi function; formula; inequality

2016-06-20; [修改日期] 2016-07-15

蘇燦榮(1963-)男，學(xué)士，副教授，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.Email: chunfu_yu1964@163.com

禹春福(1964-)女，學(xué)士，講師，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.Email: chunfu_yu1964@163.com

O172

C

1672-1454(2016)05-0109-03