吳鳳英,翟獻(xiàn)超,張登權(quán),李 睿

(天津理工大學(xué),天津 300384)

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基于最小沖擊的三自由度永磁球形電機(jī)軌跡規(guī)劃

吳鳳英,翟獻(xiàn)超,張登權(quán),李 睿

(天津理工大學(xué),天津 300384)

為了提高三自由度永磁球形電機(jī)在指定時(shí)間內(nèi)完成運(yùn)動(dòng)任務(wù)的平滑性，減小運(yùn)動(dòng)過程中的振動(dòng)程度，提出一種能達(dá)到最小沖擊的軌跡規(guī)劃方法。為保證沖擊連續(xù)，該方法采用5次B樣條曲線插值位置序列，將運(yùn)動(dòng)學(xué)約束轉(zhuǎn)化為B樣條曲線控制頂點(diǎn)約束，以沖擊平方積分的最小值作為平滑性能指標(biāo)。采用遺傳算法對最小沖擊性能指標(biāo)和相對應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)向量全局尋優(yōu)，規(guī)劃出最小沖擊軌跡。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

三自由度; 永磁球形電動(dòng)機(jī); 最小沖擊；B樣條; 遺傳算法

0 引 言

永磁球形電機(jī)是一種工作原理新穎，高度集成化的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換裝置，具有機(jī)械集成度高、體積小、傳動(dòng)鏈簡單、精度高、節(jié)能等優(yōu)點(diǎn)[1]。永磁球形電機(jī)的軌跡規(guī)劃是永磁球形電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)控制的重要內(nèi)容之一，其目的是在滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)約束條件下，利用合適的方法規(guī)劃出運(yùn)動(dòng)軌跡，通過指定路徑點(diǎn)，計(jì)算其運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，以滿足運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，軌跡平滑連續(xù)的要求。

對球形電機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制，各國學(xué)者進(jìn)行了一些研究，并取得了一定的科研成果。針對永磁球形步進(jìn)電機(jī)，Kok-Meng Lee等人建立了三自由度耦合運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)約束方程，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)球形電機(jī)的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)控制[2-5]；約翰霍普金斯大學(xué)的David Stein等人利用RO3旋轉(zhuǎn)群理論和勢函數(shù)對運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了規(guī)劃[6-7]；國內(nèi)的王群京等人利用四元數(shù)描述球形轉(zhuǎn)子的三自由度轉(zhuǎn)動(dòng)，并將自適應(yīng)模糊控制等策略應(yīng)用于球形電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制過程[8-11]。這些研究著眼于從原理上解決球形步進(jìn)電機(jī)的軌跡規(guī)劃問題。針對永磁球形直流電動(dòng)機(jī)，謝菲爾德大學(xué)的Wang J等人利用永磁球形直流電動(dòng)機(jī)模型結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了永磁球形電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制[12-13]；亞琛工業(yè)大學(xué)K. Kahlen等人采用空間轉(zhuǎn)矩矢量的排序算法、分類方法和近似算法實(shí)現(xiàn)了電機(jī)的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)控制[14]；南洋理工學(xué)院的Yan L等人推導(dǎo)了基于球諧級數(shù)的磁場力矩解析模型，并對其運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制做了初步探索[15-16]；天津大學(xué)等研究機(jī)構(gòu)將計(jì)算轉(zhuǎn)矩法應(yīng)用于永磁球形電動(dòng)機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了永磁球形電動(dòng)機(jī)的力學(xué)解耦控制[17]。上述的研究和實(shí)驗(yàn)在原理上成功實(shí)現(xiàn)了永磁球形直流電動(dòng)機(jī)連續(xù)軌跡的運(yùn)動(dòng)控制，但是，這些研究主要集中在運(yùn)行機(jī)理、運(yùn)動(dòng)控制策略等單一問題的分析與解決上，沒有涉及對運(yùn)動(dòng)過程中角速度、角加速度和沖擊等狀態(tài)變量的規(guī)劃。在軌跡規(guī)劃中，平滑、快速、低耗、沖擊小等性能指標(biāo)是非常重要的幾個(gè)指標(biāo)[22-27]，本文針對三自由度永磁球形電機(jī)連續(xù)運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)劃問題進(jìn)行了研究，以最小沖擊為規(guī)劃目標(biāo)并考慮在運(yùn)動(dòng)過程中角速度、角加速度和沖擊的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，提出一種采用五次B樣條曲線插值位置序列的軌跡規(guī)劃方法，提高三自由度永磁球形直流電動(dòng)機(jī)在指定時(shí)間內(nèi)完成運(yùn)動(dòng)任務(wù)的平滑性，減小運(yùn)動(dòng)過程中的振動(dòng)。

1 永磁球形電機(jī)最小沖擊軌跡規(guī)劃問題描述

1.1 永磁球形電機(jī)運(yùn)行原理及等效模型

永磁球形電機(jī)運(yùn)行原理如圖1(a)所示，它由定子線圈和球形轉(zhuǎn)子組成，在殼型定子上均勻排列若干個(gè)定子線圈，在球形轉(zhuǎn)子上沿赤道兩側(cè)均勻粘貼永磁體；單個(gè)定子線圈與永磁體作用產(chǎn)生電磁力驅(qū)動(dòng)球形轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)，多個(gè)定子線圈產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩可分解為三個(gè)自由度方向上的轉(zhuǎn)矩驅(qū)動(dòng)球形轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)三自由度運(yùn)動(dòng)。球形轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)通常用方位矩陣表示，也可采用歐拉角或四元素法表示，考慮到歐拉角參數(shù)較少，采用歐拉角表示。在這種情況下，球形轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)可以等效為具有3個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的四桿結(jié)構(gòu)，等效模型如圖1(b)所示，此四桿機(jī)構(gòu)由依次串聯(lián)的桿件0、桿件1、桿件2、桿件3構(gòu)成開鏈機(jī)構(gòu)，球形轉(zhuǎn)子安裝在桿件3上。桿件0、桿件1、桿件2、桿件3之間由單自由度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)副鏈接，各桿件的鏈接關(guān)系如圖1所示。桿件1、桿件2、桿件3均可繞前一桿件作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，3個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線彼此正交于O(o)點(diǎn)，各桿件的質(zhì)量均為0。三自由度球形電機(jī)與特定的三連桿工業(yè)機(jī)器臂具有相同結(jié)構(gòu)形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型。

(a)運(yùn)行原理(b)等效模型

圖1 永磁球形電動(dòng)機(jī)運(yùn)行原理及等效運(yùn)動(dòng)模型

1.2 永磁球形電機(jī)最小沖擊軌跡規(guī)劃

永磁球形電機(jī)的運(yùn)動(dòng)過程可以用位姿余弦矩陣表示，根據(jù)球形轉(zhuǎn)子的位姿余弦矩陣逆運(yùn)動(dòng)學(xué)反解求出角位移位置序列θmi和對應(yīng)的時(shí)間ti，構(gòu)成一系列的角位移-時(shí)間序列 然后采B樣條曲線插值角位移-時(shí)間序列得到相應(yīng)的軌跡曲線θ(t)={(θmi, ti)|i=0,1,…，n}。

等效關(guān)節(jié)的沖擊累積越小，軌跡越平穩(wěn)，將等效關(guān)節(jié)沖擊平方積分作為優(yōu)化指標(biāo)，構(gòu)造最小沖擊軌跡規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)：

(1)

球形轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡還必須運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的要求：

(2)

式中：cvm,cam,cjm分別為關(guān)節(jié)m的速度、加速度、沖擊約束。所以三自由度永磁球形電機(jī)最小沖擊軌跡規(guī)劃是在滿足以上目標(biāo)函數(shù)與約束條件綜合作用下的最優(yōu)軌跡尋優(yōu)過程。

2 基于B樣條的最小沖擊軌跡規(guī)劃

三自由度永磁球形電動(dòng)機(jī)角位移軌跡用B樣條可描述：

式中：θ(u)為時(shí)刻u處的輸出軸位置，di(i=0，1，…，n)為控制頂點(diǎn)，u為定義k次B樣條的定義域向量u=[u0，u1，…，ui+2k]。并且有：

Ni，k(u)(i=0,1,…,n)為k次B樣條基函數(shù)，它是由非遞減參數(shù)節(jié)點(diǎn)矢量u組成k次分段多項(xiàng)式，由德布爾-考克斯遞推公式可得：

(3)

B樣條曲線具有局部支承和Ck-1階連續(xù)特性，其r階導(dǎo)數(shù)可由德布爾-考克斯遞推公式求出，即：

(4)

求導(dǎo)得：

(5)

取k=5，得到n+5個(gè)控制頂點(diǎn)的向量的n+5個(gè)方程。即：

(6)

3 遺傳算法尋優(yōu)

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束處理

三自由度永磁球形電機(jī)的軌跡規(guī)劃過程是受各種因素限制的，包括位移、速度、加速度和沖擊的約束。將以上運(yùn)動(dòng)學(xué)約束轉(zhuǎn)化為B樣條控制頂點(diǎn)的約束，由于三自由度永磁球形電機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)導(dǎo)致輸出軸的運(yùn)動(dòng)范圍受限，也就是球形電機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡是受限的，故存在位移約束：

其控制頂點(diǎn)還應(yīng)滿足：

(7)

結(jié)合式(1)和式(7)，可將三自由度永磁球形電機(jī)規(guī)劃描述為描述為以下非線性約束問題，即：

(8)

由于B樣條具有強(qiáng)凸包性，所以只要滿足以上約束條件的最優(yōu)化沖擊最小軌跡對應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)向量和全局最小累計(jì)沖擊Δt*和J(Δt*)就是全局極小點(diǎn)。

3.2 遺傳算法尋優(yōu)

將約束條件轉(zhuǎn)化為遺傳算法中的罰函數(shù)：

(9)

式中：μi(i=1，2，3)為待定系數(shù)，由MATLAB工具箱中的GeneticAlgorithmTool來進(jìn)行遺傳算法的運(yùn)算,其默認(rèn)為求適應(yīng)度函數(shù)的最小值。選擇算子和交叉算子均選用遺傳算法工具箱默認(rèn)的設(shè)置。變異算子采用非一致變異方式，設(shè)變異概率為ym，對群體中的每一個(gè)個(gè)體Xi隨機(jī)選取其中某一變量xi，在(0，1)內(nèi)產(chǎn)生一隨機(jī)數(shù)r,若有r

通過遺傳算法可求解出適應(yīng)度函數(shù)最小時(shí)三自由永磁球形電機(jī)各段軌跡最優(yōu)的時(shí)間間隔Δt*。將優(yōu)化后的時(shí)間間隔與相應(yīng)的位置序列通過B樣條連接得到其沖擊最小的軌跡規(guī)劃曲線。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

基于三自由度永磁球形電機(jī)的幾何參數(shù)，在MATLAB上進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)合其角位移范圍約束、角速度約束、角加速度約束和沖擊約束條件，驗(yàn)證算法的有效性。設(shè)球形轉(zhuǎn)子的初始位姿R0和終點(diǎn)位姿Rf用方向余弦矩陣分別表示:

通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)公式反解得到位置序列如表1所示。

表1 位置序列

運(yùn)動(dòng)學(xué)約束如表2所示。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

設(shè)定起停速度、加速度和沖擊均為0，沖擊最小軌跡執(zhí)行時(shí)間Tdef，采用遺傳算法，得到軌跡全局最小累計(jì)沖擊J(Δt*)和對應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)向量Δt*。設(shè)定Tdef=25s,得到?jīng)_擊最小軌跡的時(shí)間節(jié)點(diǎn)向量Δt*=[3.59,4.26,3.34,4.03,3.21,3.42,3.15 ]T。其軌跡規(guī)劃的位移、速度、加速度和沖擊的仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 角位移圖3 角速度圖4 角加速度圖5 沖擊

5 結(jié) 語

本文提出一種基于五次B樣條的三自由度永磁球形電機(jī)軌跡規(guī)劃方法，并且結(jié)合角速度、角加速度和沖擊限制的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束進(jìn)行規(guī)劃，使用遺傳算法對性能指標(biāo)和時(shí)間節(jié)點(diǎn)向量尋優(yōu)，得到了在限定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過指定位置的沖擊最小的軌跡規(guī)劃方法，保證沖擊的連續(xù)性和規(guī)劃出的軌跡平滑性，并且本方法亦可用于三自由度永磁球形電機(jī)的避障軌跡規(guī)劃。

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Minimum-Jerk Trajectory Planning of 3-DOF PM Spherical Motor

WU Feng-ying,ZHAI Xian-chao,ZHANG Deng-quan,LI Rui

(Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China)

In order to improve the smoothness and reduce the vibration during the motion of the three degree of freedom permanent magnet spherical motor in the definite time,a minimum-jerk trajectory planning method was proposed .To ensure the jerk continuously, the method used fifth B spline interpolation position sequence, and transformed the kinematic constraints to B spline control points constraint, and took the minimum integral of squared jerk as minimum-jerk performance index.Genetic algorithm was used to seek the minimum-jerk performance index and the corresponding time nodes, and then the global optimization minimum-jerk trajectory planning was got. Finally, the feasibility and effectiveness of the proposed method are verified by simulation experiments.

3-DOF; PM spherical motor; minimum-jerk; B-spline; genetic algorithm

2016-04-20

天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(14JCYBJC18400)

TM351;TM359.9

A

1004-7018(2016)10-0082-04

吳鳳英(1961-)，女，副教授，研究方向?yàn)殡姍C(jī)與電器。