嚴(yán) 謀，曹瑞芳，楊 濤

(1.2.3.寧夏大學(xué) 物理電氣信息學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

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一種三維手性聲子晶體的橫波偏振特性研究

嚴(yán) 謀1，曹瑞芳2，楊 濤3

(1.2.3.寧夏大學(xué) 物理電氣信息學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

構(gòu)造了一種具有完整螺旋結(jié)構(gòu)的三維手性聲子晶體，并用層多重散射方法計(jì)算了其能帶結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)這類結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)橫波左右旋偏振態(tài)的分離。然后詳細(xì)考察了各種非完整螺旋結(jié)構(gòu)的能帶圖。其中，具有三層周期的非完整螺旋結(jié)構(gòu)可分為A、B和C型空間結(jié)構(gòu)，A型結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的橫波偏振仍然簡(jiǎn)并，無(wú)法分裂，B和C型結(jié)構(gòu)則可以實(shí)現(xiàn)完全相同的橫波帶分裂，即分離橫波左右旋偏振態(tài)。通過(guò)平移實(shí)現(xiàn)的兩層斜方晶體結(jié)構(gòu)，盡管并不是嚴(yán)格意義上的手性螺旋結(jié)構(gòu)，但同樣可以實(shí)現(xiàn)橫波的偏振分裂。

聲子晶體;手性;偏振;層多重散射

1引言

自1992年M.M.Sigalas和E.N.Economou[1]首次分析三維聲子晶體材料中彈性波和聲波的傳播性質(zhì)之后，聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)在理論上和實(shí)驗(yàn)上吸引了眾多研究者的興趣[2-4]。這類人工結(jié)構(gòu)材料為實(shí)現(xiàn)各種可能的等效材料參數(shù)提供了全新的思路，尤其是近期實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的具有等效負(fù)折射率的左手電磁超材料，其特殊的光學(xué)性質(zhì)必將在新材料領(lǐng)域扮演重要的角色。盡管理論上通過(guò)單極和偶極共振單元的組合，也可以實(shí)現(xiàn)聲學(xué)材料有效質(zhì)量密度和有效模量同時(shí)為負(fù)，從而實(shí)現(xiàn)所謂的負(fù)折射聲子晶體材料[5-6]。但到目前為止，對(duì)具有手性特征結(jié)構(gòu)的聲子晶體研究卻相對(duì)較少[7]。

波在具有負(fù)折射率的聲子晶體中傳播時(shí)，會(huì)具有某些奇異的現(xiàn)象。手性(chirality)結(jié)構(gòu)往往是實(shí)現(xiàn)負(fù)折射性質(zhì)常用的方法，因?yàn)楫?dāng)共振型材料引入手性結(jié)構(gòu)以后，只需要使一個(gè)有效參數(shù)為負(fù)就可以實(shí)現(xiàn)負(fù)折射，這樣可以簡(jiǎn)化人工結(jié)構(gòu)加工的復(fù)雜度，為實(shí)現(xiàn)負(fù)折射提供了一種新的方法。手性結(jié)構(gòu)破壞了空間結(jié)構(gòu)的左右旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，也就是降低了體系的對(duì)稱性，增強(qiáng)了各向異性，使原本簡(jiǎn)并的左右旋偏振態(tài)發(fā)生分裂，并且產(chǎn)生偏振帶隙，這樣就可以單獨(dú)操控橫波的左右旋偏振態(tài)。近期，I.E.Psarobas等人[8]根據(jù)一種手性結(jié)構(gòu)研究了彈性波的雙折射現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)左右旋偏振波的分裂，但是并沒有觀察到負(fù)折射。

本文通過(guò)三維聲子晶體中相鄰層的相對(duì)移動(dòng)，使其在方向上的左右旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性被破壞，從而形式上構(gòu)造出三維手性螺旋結(jié)構(gòu)，然后采用層多重散射方法，計(jì)算這種結(jié)構(gòu)的能帶圖，并詳細(xì)討論手性結(jié)構(gòu)在各個(gè)不同層結(jié)構(gòu)遭到破壞時(shí)，對(duì)彈性波偏振特性的影響。

2理論

彈性波的多重散射理論最初是由IE Psarobas[9]和Liu[10]在2000年分別獨(dú)立提出來(lái)的，這一方法在計(jì)算大填充率和阻抗相差大的組成材料時(shí)取得了巨大的成功，并且成功地應(yīng)用于計(jì)算局域共振型超材料的帶結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上發(fā)展的層多重散射理論，還可以計(jì)算有限層聲子晶體的透射和反射系數(shù)[11]。

首先將位移場(chǎng)在球坐標(biāo)系下展開，對(duì)于單個(gè)球形散射體，其外部總場(chǎng)表示為

(1)

式中右邊第一項(xiàng)是入射波場(chǎng)，第二項(xiàng)是散射波場(chǎng)，分別用和表示入射波場(chǎng)和散射場(chǎng)的系數(shù)矩陣，則二者之間的關(guān)系可以形式的表示為：

B=TA

(2)

其中T叫做Mie散射矩陣，Jlmσ(r)和Hlmσ(r)表示如下

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

(3f)

(4)

另一部分是除i以外其他所有散射體的散射波場(chǎng)的疊加

(5)

式中的求和可以用球坐標(biāo)系下的加法定則計(jì)算。這樣就可以由給定的外部入射波場(chǎng)得到除第i個(gè)散射體外其他所有散射體的散射波場(chǎng)之和，進(jìn)而得到第i個(gè)散射體的總?cè)肷鋱?chǎng)，再利用Mie散射矩陣得出整個(gè)波場(chǎng)分布。對(duì)于周期性聲子晶體，我們引入Bloch定理，將方程轉(zhuǎn)化為久期方程進(jìn)行求解，可以得到聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。這種方法不但可以計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)，還可以求解經(jīng)過(guò)有限厚度聲子晶體的透射系數(shù)和反射系數(shù)。

圖1 三維手性螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體示意圖。左圖為空間結(jié)構(gòu)圖，右圖為沿著z正方向的投影圖

3模型及討論

首先，我們通過(guò)逐次平移層平面，構(gòu)造三維手型螺旋結(jié)構(gòu)的聲子晶體，三維空間的示意圖如圖1。假設(shè)聲子晶體的層平面均為晶格常數(shù)為a的正方晶格結(jié)構(gòu)，如圖1中左圖所表示的各個(gè)層，如果選取某一層為第一層，并且固定這一層中的某個(gè)散射體的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(如圖1左中的“1”)，并且保持層與層(z方向)之間的間距始終為0.5a，那么只需要第二層相對(duì)于第一層在x方向移動(dòng)0.5a(如圖1左中的“2”)，第三層相對(duì)于第二層在y方向移動(dòng)0.5a(如圖1左中的“3”)，第四層相對(duì)于第三層在x方向移動(dòng)-0.5a(如圖1左中的“4”)，第五層相對(duì)于第四層在x方向移動(dòng)-0.5a(如圖1左中的“1’”)，此時(shí)第五層又回到了原始位置，也就是說(shuō)，只需要四層我們就可以構(gòu)造出一個(gè)周期的空間手性螺旋結(jié)構(gòu)。沿著軸的正方向投影過(guò)去，可以看到最初確定的參考點(diǎn)O，在投影上形成了1-2-3-4-1的螺旋結(jié)構(gòu)，如圖1右中的表示。一般情況下，可以將參考點(diǎn)在每一層的位置表示為(m1a,l1a,1h)，(m2a,l2a,2h)，(m3a,l3a,3h)…(mna,lna,nh)，m,l表征空間結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，或者說(shuō)手性的強(qiáng)弱程度。顯然m=0,l=0時(shí)，對(duì)稱性最高，結(jié)構(gòu)手性最弱，x和y方向的結(jié)構(gòu)排列完全一樣；當(dāng)m,l至少有一個(gè)不為零時(shí)，聲子晶體的空間結(jié)構(gòu)對(duì)稱性降低，因此可以通過(guò)不斷變化m,l，以調(diào)整其手性的強(qiáng)弱。

接下來(lái)，我們利用多重散射方法計(jì)算圖1中所給出的這種完整螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體(n=4,m=0.5,l=0.5,h=0.5a)的能帶。其中，基體材料和散射體分別為樹脂和鋼，樹脂的密度為ρm=1.18×103kg/m3，縱波在其內(nèi)部傳播的速度clm=2540m/s，橫波傳播的速度ctm=1160m/s，鋼的密度是ρc=7.8×103kg/m3，縱波速度clm=5940m/s，橫波速度是ctm=3200m/s，選擇樹脂中的縱波速度為歸一化速度，即c0=2540m/s，散射體鋼球的半徑為r=0.23a。圖2給出了這種手性結(jié)構(gòu)的能帶圖。

圖2 完整手性螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體能帶圖。圖中紅色實(shí)心圓點(diǎn)表示橫波，三角形表示縱波

圖2中的完整手性螺旋聲子晶體能帶的顯著特征是橫波(圖中紅色實(shí)心圓)能帶發(fā)生了分裂。眾所周知，橫波有兩種偏振模式，包括左旋和右旋偏振。傳統(tǒng)的聲子晶體，由于結(jié)構(gòu)本身具有高度的對(duì)稱性，橫波都是簡(jiǎn)并的，無(wú)法區(qū)分偏振模式。但引入手性螺旋結(jié)構(gòu)后，可以使橫波簡(jiǎn)并消除，能帶發(fā)生分裂，從而實(shí)現(xiàn)區(qū)分并控制左旋偏振和右旋偏振波。另外，由于對(duì)稱性遭到破壞，第一條縱波帶被壓低，在ωa/c0=1.8～2.0附近產(chǎn)生了縱波帶隙，同時(shí)在ωa/c0=2.1～2.35之間也出現(xiàn)了完全帶隙。

在完整螺旋結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，我們引入破缺螺旋結(jié)構(gòu)，即非完整手性螺旋結(jié)構(gòu)，以討論手性螺旋結(jié)構(gòu)對(duì)左右旋偏振模式的影響。首先討論三層非完整螺旋結(jié)構(gòu)。為了簡(jiǎn)潔，我們只給出沿著正方向的投影圖。

圖3 三層非完整手性螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體沿z正方向的6種可能的投影示意圖

圖3給出了破缺聲子晶體的6種可能的投影圖。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，首先分析它們的空間對(duì)稱性。(1)和(6)在第二層的平移順序不一致，但從空間結(jié)構(gòu)看，只需要沿著z軸旋轉(zhuǎn)90°，則完全一致，這一類結(jié)構(gòu)我們標(biāo)記為A型結(jié)構(gòu)。同樣地，(2)和(5)，(3)和(4)也分別具有相同的空間結(jié)構(gòu)，標(biāo)記為B型和C型結(jié)構(gòu)。圖4給出了這三種結(jié)構(gòu)的能帶圖。

圖4 三層非完整手性螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體能帶圖，自左至右分別是A、B和C種空間結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的能帶圖，其中紅色圓點(diǎn)表示橫波，黑色三角形表示縱波

顯然圖4的能帶圖中，A、B和C型晶體的能帶結(jié)構(gòu)整體上基本相同，橫波和縱波能帶的分布幾乎沒有差別。但是，A型結(jié)構(gòu)的橫波左右旋偏振模式仍然簡(jiǎn)并，并沒有因?yàn)槁菪Y(jié)構(gòu)的引入而發(fā)生分裂。B型和C型結(jié)構(gòu)中所有的橫波左右旋偏振都出現(xiàn)了分裂，同時(shí)B型和C型晶體結(jié)構(gòu)在空間上對(duì)彈性波的影響完全一致。這也說(shuō)明了手性結(jié)構(gòu)對(duì)于橫波偏振分裂的影響并不是絕對(duì)的，只是在某些特定情況下會(huì)實(shí)現(xiàn)左右旋偏振模式的分裂。

圖5 兩層非完整螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體沿z正方向的2種可能的投影示意圖

接下來(lái)，討論兩層結(jié)構(gòu)對(duì)橫波偏振模式的影響，空間結(jié)構(gòu)如圖5。這種結(jié)構(gòu)嚴(yán)格來(lái)講并不是螺旋結(jié)構(gòu)，一般稱其為斜方晶體結(jié)構(gòu)。由于其破壞了空間的左右對(duì)稱性，應(yīng)該也會(huì)對(duì)橫波的偏振模式產(chǎn)生影響。同樣地，通過(guò)分析可知，這兩種結(jié)構(gòu)在空間上的拓?fù)渫耆恢?，屬于同一類型。圖6給出了這種斜方晶體結(jié)構(gòu)的能帶圖，從中可以看到橫波對(duì)應(yīng)的能帶發(fā)生了分裂，而且在ωa/c0=2.1～2.3附近出現(xiàn)了第一條完全帶隙。由此可見，通過(guò)兩層平移實(shí)現(xiàn)橫波左右旋偏振模式簡(jiǎn)并消除，即能帶分裂更具有一般性。

圖6 兩層非完整螺旋結(jié)構(gòu)(斜方結(jié)構(gòu))聲子晶體能帶圖，其中紅色圓點(diǎn)表示橫波，黑色三角形表示縱波。

本文構(gòu)造了一種具有完整螺旋結(jié)構(gòu)的手性聲子晶體，并用層多重散射方法計(jì)算了其能帶結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)橫波左右旋偏振態(tài)的分離。在此基礎(chǔ)上，詳細(xì)考察了各種非完整螺旋結(jié)構(gòu)的能帶圖。其中，具有三層周期的非完整螺旋結(jié)構(gòu)可分為A、B和C型空間結(jié)構(gòu)，A型結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的橫波偏振仍然簡(jiǎn)并，無(wú)法分裂，B和C型結(jié)構(gòu)，則可以實(shí)現(xiàn)完全相同的橫波帶分裂，即分離橫波左右旋偏振態(tài)。通過(guò)平移實(shí)現(xiàn)的兩層斜方晶體結(jié)構(gòu)，盡管并不是嚴(yán)格意義上的手性螺旋結(jié)構(gòu)，但同樣可以實(shí)現(xiàn)橫波的偏振分裂。

手性螺旋結(jié)構(gòu)，無(wú)論完整還是破缺，都沒有發(fā)現(xiàn)負(fù)折射現(xiàn)象，因此這一類型的手性結(jié)構(gòu)聲子晶體與光子晶體在性質(zhì)上有著明顯的區(qū)別。盡管如此，這類結(jié)構(gòu)還可以顯著地區(qū)分出橫波的左右旋偏振態(tài)，有著其重要的現(xiàn)實(shí)意義，如制作聲學(xué)二極管、聲學(xué)濾波片等。

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(責(zé)任編輯：高 堅(jiān))

On Shear-wave Polarization Characteristics 3-DChiral Photonic Crystal

Yan Mou1, Cao Ruifang2, YangTao3

(1.2.3. School of Physics electrical information Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

In this paper, a 3-D chiral photonic crystal with complete helical structure has been built and its energy band structure has been calculated in multiple scattering method, which shows that such a structure can be used to realize the separation of shear wave around spin polarization. Then, a detailed research into various energy band pictures with incomplete helical structures has been conducted, among which incomplete helical structures with three cycles can be divided into spatial structures of A, B and C types. The structure of A type is still integrated with shear wave polarization while structures of A and B types can fully realize the separation of shear wave polarization, i.e. the separation of shear wave around spin polarization.Although the two-layered orthorhombic crystal structure obtained by translation is not A strictly-defined chiral helical structure, it can also be used to realize the separation of shear wave polarization.

; Photonic crystal; Chiral; Polarization; Multiple scattering method

2016-03-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(11504190);寧夏大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目( GIP2015007)

O469

A

1673-8535(2016)03-0027-07

嚴(yán)謀(1991-)，男，云南省宣威市人，寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院碩士研究生，研究方向：人工特異材料。

曹瑞芳(1978-)，女，甘肅省天水市人，寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院講師，碩士研究生,研究方向：人工特異材料。

楊濤(1980-)，男，寧夏青銅峽市人，寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院講師，博士研究生，研究方向：人工特異材料、復(fù)雜流體。