王慶朋,張力,尚會超,唐志剛

(重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院, 400044, 重慶)

?

考慮應(yīng)變硬化的混合彈塑性接觸模型

王慶朋,張力,尚會超,唐志剛

(重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院, 400044, 重慶)

為了更加真實(shí)地反映粗糙表面的實(shí)際接觸情況,根據(jù)表面微凸體變化的連續(xù)性、單調(diào)性和光滑性原理提出了一種新的混合彈塑性接觸模型。該模型在球體初始接觸時,就考慮更小微凸體的塑性變形和較大變形量時的應(yīng)變硬化。通過反正切函數(shù)構(gòu)建一組函數(shù),用來表征接觸過程中變形狀態(tài)的變化,利用Meyer硬度指數(shù)反映應(yīng)變硬化的影響,進(jìn)而導(dǎo)出接觸面積和接觸載荷的數(shù)學(xué)表達(dá)式。通過采用文獻(xiàn)中已有的銅、鋁合金和純鎳材料的實(shí)驗測試結(jié)果,以及文獻(xiàn)中不同的彈塑性接觸模型的計算結(jié)果進(jìn)行對比分析,結(jié)果表明,該模型的計算結(jié)果能夠很好地與實(shí)驗測試結(jié)果吻合,尤其是在大變形量、出現(xiàn)應(yīng)變硬化的情況下,更能體現(xiàn)出該模型的優(yōu)勢。

微凸體;混合彈塑性;接觸模型;應(yīng)變硬化

粗糙表面對于機(jī)械零部件之間結(jié)合面的特征參數(shù)以及相對運(yùn)動表面之間的摩擦特性都有重要的影響。為了探究兩粗糙表面之間的接觸狀態(tài),已有很多學(xué)者針對這一問題作出了大量的研究。Hertz對接觸問題作出了開拓性的研究,提出單個球體彈性接觸理論[1];Greenwood等基于這一理論提出經(jīng)典的粗糙表面和平板之間的接觸模型[2];Abbott等首次提出單個球體的完全塑性接觸模型(簡稱AF模型)[3];Pullen等將此模型應(yīng)用到粗糙表面[4]。然而,上述研究均基于完全彈性或塑性接觸理論,顯然不符合實(shí)際接觸情況。為了彌補(bǔ)單一彈性和塑性接觸模型的不足,Chang等根據(jù)接觸區(qū)域的體積守恒規(guī)律,提出彈性-完全塑性接觸模型(簡稱CEB模型),但是,該模型在屈服點(diǎn)出現(xiàn)接觸載荷的跳變[5];Zhao等對CEB模型進(jìn)行了修正,提出彈性-彈塑性-完全塑性3種變形狀態(tài)的接觸模型(簡稱ZMC模型)[6]。為了使ZMC模型的彈性區(qū)域和完全塑性區(qū)域連續(xù)、光滑地過渡,趙永武等提出對變形和力之間的關(guān)系使用三次函數(shù)進(jìn)行插值[7];類似地,Brake[8]采用Hermite多項式對這一狀態(tài)進(jìn)行描述。然而,以上2個函數(shù)均屬于高階,這將會導(dǎo)致彈塑性階段的平均接觸壓力和法向變形量之間的關(guān)系出現(xiàn)振蕩。為了解決此問題,徐超等在趙永武模型的基礎(chǔ)上,提出一種利用低階橢圓曲線對彈塑性接觸過程進(jìn)行建模的方法[9];同樣地,Brake采用雙曲正割函數(shù)對這一過程進(jìn)行表征,并且考慮了接觸過程中所產(chǎn)生的應(yīng)變硬化現(xiàn)象[10]。文獻(xiàn)[5-10]所述的模型是基于2個或3個接觸狀態(tài),但忽略了初始接觸時的塑性變形。此外,也有學(xué)者采用有限元的方法對球體和平板接觸問題進(jìn)行研究,該方法雖可以精確地描述接觸問題,但是,為了反映實(shí)際的粗糙特征需要大量的單元網(wǎng)格,而這又需要更多的計算機(jī)資源[11-13]。

基于上述研究現(xiàn)狀,微凸體的變形包括彈性和塑性2種狀態(tài),中間的過渡區(qū)域只是兩者所占比例不同。對于實(shí)際的粗糙表面,正如分形理論所描述的,是有無窮多個微凸體所構(gòu)成,也就是微凸體上還有微凸體,這就使得兩粗糙表面初始接觸時,已經(jīng)有更小尺度的微凸體發(fā)生了塑性變形,只是所占的比例較小,而在宏觀上表現(xiàn)為彈性變形;當(dāng)變形量較大時,材料將會表現(xiàn)出應(yīng)變硬化的現(xiàn)象。為了更加真實(shí)地反映實(shí)際的接觸情況,根據(jù)表面微凸體變化的連續(xù)性、單調(diào)性和光滑性原理,本文提出了一種新的混合彈塑性接觸模型。本文模型將彈性和塑性狀態(tài)擴(kuò)展到整個接觸過程,通過與文獻(xiàn)中已有的實(shí)驗測試結(jié)果以及文獻(xiàn)中不同的彈塑性接觸模型的計算結(jié)果進(jìn)行對比,驗證了本文模型的有效性。

1 模型的建立

本文提出的混合彈塑性接觸模型是基于以下幾個假設(shè)條件建立的:

(1)材料是均勻的;

(2)忽略球體之間的摩擦力;

(3)兩球體在法向正接觸,也就是,未考慮微凸體間的斜碰;

(4)不考慮相鄰球體之間的耦合作用。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]的建模方法,2個粗糙表面的接觸可以用一個具有等效彈性模量的等效粗糙度表面與一個剛性光滑平面接觸來代替,如圖1所示。等效彈性模量和半徑的計算如下

(1)

(2)

式中:E1、E2、ν1、ν2分別為兩接觸表面材料的彈性模量和泊松比;r1、r2分別為兩接觸球體的半徑。

圖1 兩球體的接觸模型及其等效模型

1.1 彈性接觸

當(dāng)變形量較小時,相互作用的球體之間將發(fā)生彈性變形。根據(jù)經(jīng)典的Hertz接觸理論[1],實(shí)際接觸面積Ae和平均接觸載荷Fe為

Ae=πrδ

(3)

(4)

式中:δ為法向變形量。

關(guān)于初始屈服點(diǎn)的計算有很多方法,常見的有2種:一種是Brake采用的,對于兩彈性體接觸過程中所產(chǎn)生的應(yīng)力場,根據(jù)Von Mises準(zhǔn)則來確定材料屈服應(yīng)力的最大幅值,進(jìn)而得到初始屈服點(diǎn)的位置[8,10];另一種是通過材料的布氏硬度計算出初始屈服點(diǎn)接觸壓應(yīng)力

py=KH

(5)

式中:py為初始屈服點(diǎn)接觸壓力;K是常量;H為材料的布氏硬度,計算過程中取較軟材料的硬度。

有關(guān)式(5)中K的取值,在文獻(xiàn)[5-10,14-15]中取值范圍為0.4～0.6,更多的作者傾向于0.6,在本文模型的計算中K取為0.6。

由式(3)～式(5)可計算出初始屈服點(diǎn)的法向變形量為

(6)

1.2 完全塑性接觸

對于完全塑性屈服點(diǎn)的計算,Tabor在研究材料的硬度時,發(fā)現(xiàn)初始屈服點(diǎn)和完全屈服點(diǎn)有以下關(guān)系[14]

(7)

式中:σy為兩接觸球體中較軟材料的屈服應(yīng)力,即

σy=min[σy1,σy2]

(8)

對于塑性狀態(tài)下的平均接觸應(yīng)力,在小的應(yīng)變硬化條件下,p0≈H≈2.8σy,而對于一般的應(yīng)變硬化材料,p0≈H≈2.8σf,σf為塑性流動應(yīng)力,這2種情況都是宏觀情況的近似[10]。在微觀情況下,有文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn),這個值是測量值的上限[16],在一些情況下,可以認(rèn)為布氏硬度的下限為H≈σy[17]。式(7)中p0的計算式為

p0=106H

(9)

完全塑性狀態(tài)下的接觸面積和接觸載荷為

Ap=2πrδ

(10)

Fp=p0Ap

(11)

1.3 混合彈塑性接觸

當(dāng)兩球體發(fā)生接觸時,已經(jīng)有更小尺度的微凸體發(fā)生了塑性變形,這時微凸體既存在彈性接觸也存在塑性接觸。正如文獻(xiàn)[7]中所描述的,塑性變形發(fā)生在接觸面積中心點(diǎn)以下一定深度一個微小的體積內(nèi),塑性變形區(qū)被體積大得多的彈性變形區(qū)所包圍,隨著變形量的增加,彈性變形所占比例逐漸減小,而塑性變形所占比例隨之增大。在初始屈服點(diǎn)和完全塑性屈服點(diǎn),接觸面積和接觸壓力應(yīng)該連續(xù)和光滑,并且單調(diào)增加,不應(yīng)有突變。

為了表征彈性變形和塑性變形所占比例的變化,構(gòu)造一組函數(shù)

(12)

式中:n為Meyer硬度指數(shù)。

f1(δ)、f2(δ)與變形量δ之間的關(guān)系如圖2所示,該組函數(shù)的一些性質(zhì)如下。

圖2 f1(δ)、f2(δ)與變形量δ之間的關(guān)系

(1)在初始點(diǎn),有

(13)

當(dāng)δ→∞時,有

(14)

由圖2可見:對應(yīng)于f2(δ)的變化,材料的塑性變形所占比例在開始時為0,隨著變形量δ的增加而變大,直至無限趨近于1,這時表現(xiàn)為完全塑性變形;f1(δ)的變化對應(yīng)于彈性變形所占比例的變化。

(2)在定義域(0,+∞),函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為

(15)

從式(15)可知,f1(δ)單調(diào)遞減,而f2(δ)單調(diào)遞增,這正好符合兩接觸球體內(nèi)部彈塑性狀態(tài)的變化。

(3)在定義域(0,+∞),函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為

(16)

從式(16)可知,f1(δ)表現(xiàn)為凹的,f2(δ)表現(xiàn)為凸的。在相對較小的變形量下,2種變形狀態(tài)較快地轉(zhuǎn)換,這主要由材料的初始屈服點(diǎn)、完全塑性屈服點(diǎn)和Meyer硬度指數(shù)決定;而當(dāng)球體處于較大的變形量時,幾乎呈現(xiàn)為完全塑性變形,那很小的一部分彈性變形可以解釋為:接觸表面總有一些相對較小的微凸體處于初始接觸狀態(tài)。

通過以上分析,可以導(dǎo)出接觸面積和接觸載荷分別為

A=f1(δ)(πrδ)+f2(δ)(2πrδ)

(17)

(18)

2 模型的比較

2.1 模型的無量綱化

為了便于不同模型的比較,有必要進(jìn)行無量綱化。將模型中的變形量、接觸面積和接觸載荷分別用初始屈服點(diǎn)處相應(yīng)的變量進(jìn)行無量綱化。無量綱化后的接觸面積和接觸載荷方程分別為

(19)

(20)

式中:δ*為無量綱的變形量。

由于計算模型中忽略了一些影響因素和實(shí)驗過程中所帶來的不確定性,需對f1(δ)和f2(δ)進(jìn)行略微的修正,修正系數(shù)的范圍為1±0.05,在以下的單個球體模型驗證中,均將f2(δ)乘以1.047。

2.2 銅材料的模型驗證及對比

Jamari等通過金剛砂平板對一銅球進(jìn)行壓縮實(shí)驗[18],測試試件的幾何和材料數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 銅球壓縮實(shí)驗中測試試件的參數(shù)

本文模型的計算結(jié)果和實(shí)驗測試結(jié)果的對比如圖3所示。由圖3可見,對于變形量-接觸面積和接觸力-面積曲線,本文模型的計算結(jié)果和實(shí)驗的測試結(jié)果能夠很好地吻合,尤其對于接觸力-面積曲線,應(yīng)變硬化的影響變得明顯。此外,本文模型和文獻(xiàn)中的Hertz模型[1]、AF模型[3]、CEB模型[5]、Thornton模型[19]、ZMC模型[6]、Stronge模型[20]、DW模型[21]、Brake2012模型[8]以及Brake2015模型[10]進(jìn)行對比,結(jié)果如圖4所示。

從圖4a可以看出,10個模型的接觸面積和變形量都近似地呈現(xiàn)為線性關(guān)系,Hertz、DW和Thornton模型無量綱曲線的斜率均為1,其余模型的無量綱曲線斜率均近似為2。由于Hertz和DW模型沒有考慮完全塑性區(qū)域,Thornton沒有考慮混合彈塑性區(qū)域,造成其偏離實(shí)驗數(shù)據(jù)。從和實(shí)驗數(shù)據(jù)的吻合程度來看,在相對低的變形量下,除了Hertz、Thornton和DW模型,其余7個模型都能較好地吻合。在相對高的變形量下,本文模型的吻合程度最好,其次是ZMC、CEB、AF和Brake2015模型,最后是Stronge和Brake2012模型。

(a)變形量和接觸面積

(b)接觸力和面積圖3 本文模型的計算結(jié)果和銅材料實(shí)驗的結(jié)果對比

(a)變形量和接觸面積

(b)接觸力和面積圖4 不同模型無量綱曲線和銅材料實(shí)驗數(shù)據(jù)對比

從圖4b可以看出,不同模型的接觸力-面積曲線比較分散,在相對低的接觸力下,與實(shí)驗數(shù)據(jù)吻合得較好的是本文模型和Brake2012模型,其次是ZMC、AF、Stronge和Brake2015模型,Hertz和Thornton模型則有相對大的偏離。在相對高的接觸力下,本文模型表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢,有較好的吻合度,其次是Brake2012、Brake2015和Stronge模型,其他模型的吻合程度則相對差一些。

2.3 鋁合金材料的模型驗證及對比

Jamari等通過金剛砂平板對一鋁合金球進(jìn)行壓縮實(shí)驗[18],測試試件的幾何和材料數(shù)據(jù)如表2所示,鋁合金材料在不同模型下的計算結(jié)果和實(shí)驗測試結(jié)果對比如圖5所示。

表2 鋁合金球壓縮實(shí)驗中測試試件的參數(shù)

(a)變形量和接觸面積

(b)接觸力和面積圖5 不同模型無量綱曲線和鋁合金材料實(shí)驗數(shù)據(jù)對比

從圖5a可以看出,10個模型的接觸面積和變形量同樣地都呈現(xiàn)為線性關(guān)系,其斜率值和銅材料的情況類似。除了Hertz、Thornton和DW模型,其他7個模型近乎同一條直線,吻合得相當(dāng)好。從圖5b可以看出,對于接觸力-面積曲線,表現(xiàn)得比較分散,能夠和實(shí)驗數(shù)據(jù)吻合得較好的是本文模型和Brake2012模型,其次是Brake2015、AF和CEB模型,其他模型則有較大的偏離。

2.4 鎳材料的模型驗證及對比

表3 純鎳壓縮實(shí)驗中測試試件的參數(shù)

從圖6可以看出,對于不同模型的變形量-接觸力曲線,相互間的差別較大,能夠和實(shí)驗數(shù)據(jù)吻合得較好的是Brake2015、Brake2012和本文模型,其他模型的偏差則相對較大。

圖6 不同模型無量綱曲線和純鎳材料實(shí)驗數(shù)據(jù)對比

3 結(jié) 論

為了更加真實(shí)地反映實(shí)際的接觸情況,根據(jù)表面微凸體的連續(xù)性、單調(diào)性和光滑性原理提出了一種新的粗糙表面混合彈塑性接觸模型。該模型在兩球體初始接觸時,就考慮更小微凸體的塑性變形,同時,也考慮較大變形量時的應(yīng)變硬化。

將文獻(xiàn)中已有的銅、鋁合金和純鎳材料的實(shí)驗測試結(jié)果以及文獻(xiàn)中不同的彈塑性接觸模型與本文模型的計算結(jié)果進(jìn)行對比,結(jié)果表明,本文模型能夠較好地和實(shí)驗數(shù)據(jù)吻合,尤其是在銅和鋁合金材料大變形量的情況下,相對于其他模型更具有優(yōu)勢。

[1] HERTZ H. On the contact of elastic solids [J]. Journal fur die Reine und Andgewandte Mathematic, 1882, 92: 156-171.

[2] GREENWOOD J A, WILLIAMSON J B P. Contact of nominally flat surfaces [J]. Proceedings of the Royal Society of London: Series A, 1966, 295: 300-319.

[3] ABBOTT E J, FIRESTONE F A. Specifying surface quality: a method based on accurate measurement and comparison [J]. Mechanical Engineering, 1933, 55: 569-572.

[4] PULLEN J, WILLIAMSON B P. On the plastic contact of rough surfaces [J]. Proceedings of the Royal Society of London: Series A, 1972, 327: 159-173.

[5] CHANG W R, ETSION I, BOGY D B. An elastic-plastic model for the contact of rough surfaces [J]. ASME Journal of Tribology, 1987, 109(2): 257-263.

[6] ZHAO Y W, MAIETTA D M, CHANG L. An asperity microcontact model incorporating the transition from elastic deformation to fully plastic flow [J]. ASME Journal of Tribology, 2000, 122(1): 86-93.

[7] 趙永武, 呂彥明, 蔣建忠. 新的粗糙表面彈塑性接觸模型 [J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2007, 43(3): 95-101. ZHAO Yongwu, Lü Yanming, JIANG Jianzhong. New elastic-plastic model for the contact of rough surfaces [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2007, 43(3): 95-101.

[8] BRAKE M R. An analytical elastic-perfectly plastic contact model [J]. International Journal of Solids and Structures, 2012, 49(22): 3129-3141.

[9] 徐超, 王東. 一種改進(jìn)的粗糙表面法向彈塑性接觸解析模型 [J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報, 2014, 48(11): 115-121. XU Chao, WANG Dong. An improved analytical model for normal elastic-plastic contact of rough surfaces [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2014, 48(11): 115-121.

[10]BRAKE M R. An analytical elastic plastic contact model with strain hardening and frictional effects for normal and oblique impacts [J]. International Journal of Solids and Structures, 2015, 62(1): 104-123.

[11]KOGUT L, ETSION I. Elastic-plastic contact analysis of a sphere and a rigid flat [J]. Journal of Applied Mechanics, 2002, 69(5): 657-662.

[12]JACKSON R L, GREEN I. A finite element study of elasto-plastic hemispherical contact against a rigid flat [J]. ASME Journal of Tribology, 2005, 127(2): 343-354.

[13]朱林波, 莊艷, 洪軍. 一種考慮側(cè)接觸的微凸體彈塑性接觸力學(xué)模型 [J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報, 2013, 47(11): 48-52. ZHU Linbo, ZHUANG Yan, HONG Jun. Elastic-plastic model for contact of two asperities considering shoulder-shoulder contact [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2013, 47(11): 48-52.

[14]TABOR D. The hardness of metals [M]. Oxford, UK: Oxford University Press, 1951.

[15]KOGUT L, ETSION I. A static friction model for elastic-plastic contacting rough surfaces [J]. ASME Journal of Tribology, 2004, 126(1): 34-40.

[16]YU W, BLANCHARD J P. An elastic-plastic indentation model and its solutions [J]. Journal of Materials Research, 1996, 11(9): 2358-2367.

[17]SWADENER J G, GEORGE E P, PHARR G M. The correlation of the indentation size effect measured with indenters of various shapes [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2002, 50(4): 681-694.

[18]JAMARI J, SCHIPPER D J. Experimental investigation of fully plastic contact of a sphere against a hard flat [J]. ASME Journal of Tribology, 2006, 128(2): 230-235.

[19]THORNTON C. Coefficient of restitution for collinear collisions of elastic perfectly plastic spheres [J]. Journal of Applied Mechanics, 1997, 64(2): 383-386.

[20]STRONGE W J. Impact mechanics [J]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000.

[21]DU Y, WANG S. Energy dissipation in normal elastoplastic impact between two spheres [J]. Journal of Applied Mechanics, 2009, 76(6): 1089-1094.

(編輯 劉楊 苗凌)

A Mixed Elastic-Plastic Contact Model Considering Strain Hardening

WANG Qingpeng,ZHANG Li,SHANG Huichao,TANG Zhigang

(College of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

A new mixed elastic-plastic model for the real contact is developed to consider both plastic response of smaller asperity and strain hardening effects. It is assumed that the contact behavior is continuous, monotonic and smoothing. An arc-tangent function is used to express different contact status, and the Meyer hardness exponent is used to reflect the effect of strain hardening. Then a math model for both the contact area and the contact load is derived. The proposed model is tested using experimental results for copper, aluminum alloy and nickel reported in the literature, and compared with other contact models in the literature. The proposed model shows a good agreement with experimental results and a big advantage especially when strain hardening occurs.

asperity; mixed elastic-plastic; contact model; strain hardening

2015-06-03。

王慶朋(1987—),男,博士生;張力(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(51175530)。

時間:2016-01-12

10.7652/xjtuxb201602022

O343.3

A

0253-987X(2016)02-0132-06

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160112.1906.002.html