關(guān)于柔軟細繩運動問題中加速度奇點的討論

路峻嶺，秦聯(lián)華，任乃敬

(清華大學 物理系，北京 100084)

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關(guān)于柔軟細繩運動問題中加速度奇點的討論

路峻嶺，秦聯(lián)華，任乃敬

(清華大學 物理系，北京 100084)

柔軟細繩的運動問題是大學物理力學課在“質(zhì)點系的動量定理”的教學中常常涉及的典型類型之一， 柔軟細繩是日常實際繩索的簡化的理想模型. 而理想模型的引入有時會出現(xiàn)在研究對象的某些點處的加速度變?yōu)闊o窮大，可稱之為奇點. 若不考慮加速度奇點的影響常常產(chǎn)生錯誤.本文借助柔軟細繩運動的一個實例對此加以討論.

物理模型；加速度奇點；柔軟細繩；質(zhì)心

1 問題的提出

國內(nèi)流行的不少大學物理教科書在力學之“質(zhì)點系的動量定理”的教學內(nèi)容中，常常在例題或習題中引入柔軟細繩的運動問題.所謂柔軟細繩指的是直徑可忽略、長度一定、質(zhì)量均勻分布且十分柔軟的線段狀模型， “十分柔軟”指的是在無張力存在時它可以任意彎折或收縮，例如豎直靜止的柔軟細繩在重力的作用下可以自動地被壓縮為一點(如圖1(e)).柔軟細繩是日常實際繩索的簡化的理想模型.

下面是此類問題的幾例，如圖1所示.設(shè)每條細繩的質(zhì)量均以m表示，位形參數(shù)均以x表示，單位長度柔軟細繩的質(zhì)量均以ρ表示.為了顯示清晰，其中“柔軟細繩”都被畫成了有一定粗細的繩索.圖1(a)表示[1-3]:長2l的柔軟細繩AB掛在一水平光滑細圓軸釘上，由平衡靜止狀態(tài)起，經(jīng)A端的一個向下的微小擾動后，在重力和軸釘力的作用下繞軸釘滑落.求柔軟細繩剛剛脫離軸釘時的速率和在整個滑落過程中軸釘受到細繩的力.圖1(b)表示[1]:長l的柔軟細繩AB，B端固定，A端自由，兩端并排放置，研究自由端A由靜止開始下落直至細繩整體處于豎直狀態(tài)的過程，求固定端在此過程中受到的細繩的力. 圖1(c)表示[2]:長l的柔軟細繩AB盤縮于距離地面l的水平光滑桌面上，其一端A處剛好有一光滑小孔，A端穿過小孔漏下少許，在重力的作用下柔軟細繩會通過小孔向下滑落，求柔軟細繩AB從開始下滑起至其整體落到地面上的一刻止所需要的時間. 圖1(d)表示[1]: 長l的柔軟細繩AB， 堆縮于水平光滑桌面上，其上端A在力F的作用下以速度v0勻速上升，求在此過程中力F的大小.圖1(e)表示[4-6]]：長l的柔軟細繩AB，A端由一力拉著，豎直地靜止于一水平桌面之上，其下端B剛剛與桌面接觸，突然A端的拉力消失，柔軟細繩將在重力的作用下下落.求下落過程中桌面受到的柔軟細繩的作用力.

若給出一定的初始條件，此類問題皆可得到解析解. 但此處柔軟細繩理想模型的引入使得在研究對象的某些點處的速度有躍變從而加速度變?yōu)闊o窮大，可稱之為加速度奇點.例如，對圖1(e)所示豎直柔軟細繩自由下落過程，我們用類似畫波形圖的方法畫出某時刻細繩上各質(zhì)元的位矢、速度和加速度，如圖2所示，其中，橫軸x′(設(shè)B為原點)表示細繩上質(zhì)元的坐標，空心箭頭表示過程發(fā)展的趨勢.

從圖2中可見，柔軟細繩上隨質(zhì)元位置的變化，位矢是連續(xù)的，速度有躍變，加速度出現(xiàn)奇點(無窮大).其他各例亦有類似情況.若不考慮加速度奇點的影響常常產(chǎn)生錯誤.對求解此類問題，文獻[4，5]中均有“質(zhì)心加速度的計算頗有微妙之處，如不注意容易弄錯.”的提示，并且建議盡量避開質(zhì)心加速度的計算.其所謂‘微妙之處’的含義就在于此.近幾年來，對此類問題持錯誤理解的文章時有發(fā)表[7，8]，因此，有必要予以糾正[9].

本文借助柔軟細繩運動的一個實例(圖1(a))對此加以說明.在該例中，圓軸釘半徑趨于0是其重要特征，軸釘圓周趨于其圓心點，據(jù)此可忽略環(huán)繞軸

圖1 柔軟細繩運動問題的幾例

圖2 柔軟細繩垂直自由下落時繩上質(zhì)元的位矢u、速度v及加速度a

釘?shù)睦K元質(zhì)量的影響，例如柔繩在圓軸釘兩側(cè)的張力可認為是相等的.為了敘述方便，有時要把軸釘截面畫為一個具有一定半徑的圓，本例指的是此圓半徑趨于0的極限情形.在圓軸釘半徑趨于0的極限情況下，繞軸釘運動的繩元速度方向的漸變成了速度方向的突變.

2 繞光滑水平細圓軸釘滑落的柔軟細繩運動問題的幾種解法

面對一道物理題，首先要做的不是馬上就進行計算，而是根據(jù)題意在腦中形成正確完整的物理圖像.否則，即使得到了正確的解析解它也不一定能夠被理解，如在狹義相對論中洛倫茲變換是洛倫茲首先得到的，而正確理解它的卻是愛因斯坦.

具體到本例，柔軟細繩上相鄰質(zhì)元間沒有收縮形變且繩上各點的速率相同，細圓軸釘光滑，所以整個滑落過程沒有能耗，柔軟細繩的機械能守恒.柔軟細繩繞水平光滑細圓軸釘?shù)幕溥^程是初速度為零、加速度從零開始越來越大(最大為重力加速度g)的過程.軸釘兩側(cè)長短繩段在同步加速，而跨過軸釘?shù)睦K元的速度突然反向，軸釘兩側(cè)長短繩段的拉力(柔繩的張力)與軸釘力的合力是使柔軟細繩元在軸釘處速度反向的力， 合力在軸釘圓周徑向的分量即是使其繞軸釘作圓周運動的向心力.當柔軟細繩運動的速率增大到一定值時，柔軟細繩的張力自身就可以使繞軸釘運動的柔軟細繩元的速度繞軸釘后而反向(不需要軸釘向上的力)，此時軸釘受到細繩向下的力為零，柔軟細繩即開始與軸釘脫離接觸.從此時刻起，柔軟細繩元已經(jīng)不能再繞圓軸釘作圓周運動了，欲使后續(xù)的柔軟細繩元繼續(xù)作圓周運動，需要軸釘對柔軟細繩元施以向下的力(本題給出的軸釘不可能提供)，除非“柔軟細繩最初繞細圓光滑軸釘懸掛”的條件改為“柔軟細繩最初穿過一個半徑很小的細光滑半圓形溝槽懸掛” (光滑半圓形溝槽)，只有溝槽才能夠?qū)?jīng)過它的柔軟細繩元施以向上或向下的力以使它保持作圓周運動.所以在本題中， 柔軟細繩的尾部在尚未到達軸釘時，貼近軸釘?shù)睦K元就已經(jīng)開始脫離軸釘了.

根據(jù)題意可先作一些簡單的計算，以期對柔軟細繩滑落的主要特征性物理量有所了解.

據(jù)圖1(a)， 若柔繩尚未脫離軸釘，則位形參數(shù)為x時的柔軟細繩質(zhì)心的坐標為

(1)

由初始平衡位形(x=l)到位形參數(shù)為x時，柔軟細繩質(zhì)心的下降高度為

(2)

由于柔軟細繩滑落過程無能耗，根據(jù)機械能守恒計算柔軟細繩的滑落速率.由

進而得柔軟細繩的滑落速率

(3)

而速率不是速度，但可以根據(jù)速率來確定速度. 柔軟細繩長側(cè)段(x)的速度沿正x方向， 柔軟細繩短側(cè)段(2l-x)的速度沿負x方向，速度的大小均由式(3)表示.

將式(3)對時間求導，可得到柔軟細繩的滑落加速率(加速度的大小)：

(4)

但加速率亦不是加速度，類似關(guān)于速度的描述，柔軟細繩長側(cè)段(x)的加速度沿正x方向， 短側(cè)段(2l-x)則沿負x方向，加速度的大小均由式(4)表示.特別需要指出的是，繞軸釘滑過的柔軟細繩元的速度由-v變?yōu)関，其加速度ao大小為無窮大(奇點)，方向沿正x方向，見下式：

(5)

由于圓軸釘半徑趨于0， 與軸釘相接觸的半圓形繩元為小量，它的加速不會使與軸釘相切的兩點處的柔軟細繩的張力值有差別，兩邊的張力相同，設(shè)為FT.可借助于式(4)把FT求解出來，它的大小FT可由下式表示：

(6)

當然，也可以通過長側(cè)段(x)的動力學方程求FT，結(jié)果是一樣的.

2.1 質(zhì)心運動定理法

本問題用質(zhì)心運動定理法求解最為簡捷. 將式(1)對時間求導可以得到質(zhì)心速度vc：

(7)

質(zhì)心速度亦可以通過加權(quán)平均法求得：

將式(7)對時間求導可以得到質(zhì)心加速度ac：

(8)

質(zhì)心加速度亦可以通過加權(quán)平均法求得，但必須考慮到加速度奇點的影響.在通過加權(quán)平均法求質(zhì)心加速度的過程中，加速度奇點的權(quán)為

(9)

它乘以式(5)即是加速度奇點對質(zhì)心加速度的貢獻.據(jù)此用加權(quán)平均法求得質(zhì)心加速度：

(10)

設(shè)在柔軟細繩的滑落過程中，軸釘受到細繩的向下的拉力為F，則細繩受到的力只有兩個:重力FG和軸釘施予細繩的向上的力-F.且FG=mg.根據(jù)質(zhì)心運動定理，列出動力學方程:

(11)

根據(jù)式(11)畫出F隨x的變化曲線如圖3所示[7].圖中AB段表示細繩接觸軸釘滑落，BD段表示細繩

圖3 軸釘受到向下的力F隨x的變化曲線

脫離軸釘后的情形.曲線ABC表示若細繩通過光滑的小半圓形溝槽滑落的情形.求出B點的坐標值xB即可求出柔軟細繩剛剛脫離軸釘時的速率.令式(11)為零，解此方程可得到在x>l條件下的解.

將它代入式(3)，可得柔軟細繩剛剛脫離軸釘時的滑落速率：

(12)

其實， 柔軟細繩剛剛脫離軸釘時的速率亦可通過對繞軸釘繩元作動力學分析得出[2].如圖4所示，設(shè)繩

圖4 跨過軸釘?shù)睦K元的動力學分析

FT(x)=ρv2(x)

(13)

這便是繩元剛剛脫離圓軸釘時的臨界方程.注意臨界張力與繩元作圓周運動的半徑無關(guān).故在本題中，在細軸釘處若柔軟細繩元段滿足該式時，柔繩就會脫離軸釘.求解式(3)、式(6)、式(13)聯(lián)立方程組得

此即柔軟細繩剛剛脫離軸釘時的速率vB，與式(12)相同.

總之，本題的答案是：

若柔軟細繩繞軸釘滑落時，則軸釘受到向下的力為

(14)

柔繩剛剛脫離軸釘時的速率為

(15)

如果把繞光滑細圓軸釘換成通過光滑小半圓形溝槽進行柔軟細繩的滑落實驗，結(jié)果是：

溝槽受到向下的力為

(16)

柔繩剛剛脫離溝槽時的速率為

(17)

2.2 按變質(zhì)量物體處理法

本例題可按變質(zhì)量物體處理法求解.在圖1(a) 中，設(shè)想用一含x軸且垂直于柔繩的平面把柔繩分為兩部分，左側(cè)短段 (2l-x)，在重力和軸釘向上的力(設(shè)為F1)的共同作用下，沿負x方向加速運動，且其上端的繩元以速度突變?yōu)榱愕姆绞蕉螠?；右?cè)長段 (x)，在重力和軸釘向上的力(設(shè)為F2)的共同作用下，沿x方向加速運動，且上端總有繩元以速度由零突變?yōu)関(x)而加入到右側(cè)長段的運動中來.以下分別求解.

左側(cè)短段 (2l-x)的情形見圖5(a)，設(shè)其初始時長度為(2l-x)，速度為[-v(x)]，動量即為[-(2l-x)ρv(x)].經(jīng)過時間Δt，湮滅掉的繩段長v(x)Δt，本繩段的速度變?yōu)?[ -v(x)-a(x)Δt]，動量變?yōu)閇2l-x-v(x)Δt]ρ[-v(x)-a(x)Δt].其間該繩段的受力為重力和軸釘?shù)南蛏系淖饔昧1.據(jù)動量定理：

[2l-x-v(x)Δt]ρ[-v(x)-a(x)Δt]-

(2l-x)ρ[-v(x)]=[(2l-x)ρg-F1]Δt

忽略高階小量，由此式解出

F1=(2l-x)ρ[g+a(x)]-v2(x)ρ

(18)

圖5 按變質(zhì)量物體處理法求解

右側(cè)長段(x)的情形見圖5(b)，設(shè)初始時長度為(x)，速率為(v(x))，動量即為ρxv(x).經(jīng)過時間Δt，由上端加入的繩段長為v(x)Δt，本繩段的速度變?yōu)閇v(x)+a(x)Δt]，動量變?yōu)閇x+v(x)Δt]ρ[v(x)+a(x)Δt].其間該繩段的受力為重力和軸釘?shù)南蛏系淖饔昧2.據(jù)動量定理：[x+v(x)Δt]ρ[v(x)+a(x)Δt]-xρv(x)=[xρg-F2]Δt忽略高階小量，由此式解出

F2=ρx[g-a(x)]-ρv2(x)

(19)

根據(jù)牛頓第三定律，軸釘受到柔繩向下的力為

F=F1+F2

將式(3)、(4)代入，最后得

(20)

結(jié)果與式(11)相同，進一步的分析不再重復.

2.3 直接對繞軸釘滑過的繩元進行分析法

如圖6所示，設(shè)在時間Δt內(nèi)，繩元Δm=ρΔx=ρv(x)Δt繞軸釘滑過，其速度由(-v(x))變?yōu)関(x)，為顯示出它繞軸釘?shù)倪\動，在圖中軸釘被畫得較大，實際上繞軸釘?shù)陌雸A形微段是更高階的小量，據(jù)此則其加速度為

圖6 瞬間改變運動方向的繩元的動力學分析

且繩元Δm共受到4個力:兩端各受到其他繩段提供的張力FT(x)，軸釘向上的支撐力F和繩元重力FG(FG=Δmg).根據(jù)牛頓第二定律，沿x方向列出方程：

令Δt→0，方程化為2FT(x)-F=2ρv2(x)，即得F=2FT(x)-2ρv2(x).把式(3)、式(6)代入該式，整理可得

(21)

結(jié)果亦與式(11)相同，進一步的分析亦不再重復.

3 對柔軟細繩繞水平光滑細圓軸釘滑落問題的進一步討論

設(shè)有一個由N個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，其第i個質(zhì)點的質(zhì)量為mi，位置坐標為xi，則其質(zhì)心坐標xc，質(zhì)心速度vc，質(zhì)心加速度ac，可按下列三公式由上至下依次求出，這是不會出錯的.

如果忽略含加速度奇點的一項，則由式(10)計算得質(zhì)心加速度值就會減少一半，即為式(10)的二分之一，據(jù)此再按照質(zhì)心運動定理求解，就會得到結(jié)果：

(22)

根據(jù)此式畫出F隨x的變化曲線如圖3中曲線AQD所示.文獻[7]花費大量篇幅論述該結(jié)果的合理性. 由式(9)知，加速度奇點的權(quán)是趨于零的，故它非常容易被忽略， 忽略它之后即得式(22).此式易被人接受的另一個原因是當x→2l時F=0，既然柔繩都要整個離開軸釘了，對軸釘?shù)淖饔昧榱闼坪鹾芎侠?但力F在x=2l處有躍變，如同圖1(e)柔軟細繩垂直自由下落實驗中桌面支持力FN在x=0處也有躍變一樣，當由x>0到x=0時FN等于細繩所受重力的3倍，一旦細繩完全落到桌面上，F(xiàn)N只等于細繩重力的一倍.認為式(22)正確的根本原因是未能理解加速度奇點的影響.

在用“直接對繞圓軸釘滑過的繩元分析法”求解時(見圖6)，若誤以為圖中兩倍FT(柔軟細繩張力)等于柔軟細繩所受的重力，也會得到式(22)所示的錯誤解[7].原因是：用繩子系一重物，若重物靜止或作勻速運動時，繩上張力才等于重物所受的重力，若重物作加速運動時則繩上張力就不再等于重物所受的重力了.

加速度奇點被忽略的一個典型對應(yīng)模型如圖7所示[7]，就是用一段輕質(zhì)細繩跨過一個質(zhì)量可以忽略的光滑滑輪，細繩兩端再分別連接到質(zhì)量分別等于長短柔軟細繩段的兩個質(zhì)量塊上，且它們一同以加速度a作加速運動，則滑輪受到細繩的向下的力即為式(22).該模型的關(guān)鍵是去除了有質(zhì)量的繩元速度突變而產(chǎn)生的加速度奇點.

圖7 柔繩滑落問題的一種錯誤對應(yīng)模型

誤以為式(22)為真的另一個陷阱是所謂實驗驗證，證明當x=1.707l時柔軟細繩不會脫離軸釘，進而認為：由x=l至x=2l，柔軟細繩在軸釘上一直在接觸軸釘作繞軸釘運動，繩元經(jīng)半周后速度反向[7].確實，牛頓力學的許多問題都可以通過實驗來驗證，但本問題卻不可以.其中的原因是由它的條件所決定的: 起始，x=l時柔軟細繩處于力學平衡狀態(tài)，軸釘受到的壓力最大(mg)，繩和釘之間一定的微小摩擦系數(shù)μ就可產(chǎn)生阻礙細繩滑落的具有一定值的摩擦力(μmg)(有限大量)，繩段的微小擾動(無窮小量)不會啟動柔繩的滑落運動.除非μ=0嚴格成立，而自然界中這樣的柔軟細繩和光滑軸釘是不存在的.在這里，首先需要的不是基于實物的實驗驗證，而是人腦中的理想物理實驗.

特別需要指出的是，對柔軟細繩繞光滑細圓軸釘滑落問題的正確理解早已有之[2]，但他們的敘述過于簡練且沒有指出問題的要害是加速度奇點的存在，從而未能為人們所理解和接受.

4 結(jié)論

柔軟細繩的運動問題中，加速度奇點是引入理想模型而產(chǎn)生的結(jié)果.嚴格地按照質(zhì)心坐標定義求其質(zhì)心坐標，將其對時間求導計算質(zhì)心速度，再對時間求導計算質(zhì)心加速度等運算都不會出錯，有時出錯就錯在用加權(quán)平均法時忽略了權(quán)趨于零的加速度奇點的影響.除此之外，對物理圖像的理解也至關(guān)重要.碰見問題首先要在腦中建立起研究對象運動的正確的物理圖像再進行具體計算，是非常必要的.

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A discussion about the acceleration strange point in some questions of soft and thin cords’ movement

LU Jun-ling,QIN Lian-hua，REN Nai-jing

(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Questions involving soft and thin cords’ movement are a kind of model of college physics. A soft and thin cord is an ideal model for the actual one, which makes the acceleration be infinite at some point of the soft and thin cord. This is the acceleration strange point. If the acceleration strange point is neglected, some mistakes may arise. A discussion is given here by an example of a soft and thin cord.

physics model; acceleration strange point; soft and thin cord; center of mass

2015-12-21；

2016-04-04

路峻嶺(1946—)，男，河北南宮人，清華大學物理系教授，主要從事大學物理教學和傳感器敏感元件物理學的研究工作.

O 313.2

A

1000- 0712(2016)12- 0007- 06